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Suites — récurrence & suites bornées
Deuxième volet du chapitre Suites. On y démontre des propriétés vraies pour tout entier n, et on apprend à encadrer une suite.
Avant de commencer
Ce chapitre prolonge ce qu'on a déjà vu sur les suites (un) : notation, suites arithmétiques, suites géométriques. Ici, on apprend à démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les rangs n, et à encadrer une suite.
Étape 1 sur 5
Avant de démontrer par récurrence, il faut être à l'aise avec les puissances : c'est ce qui sert à chaque hérédité. On révise vite fait.
Étape 2 sur 5
Maintenant, dis par combien on multiplie pour passer de l'exposant n à l'exposant n+1.
Étape 3 sur 5 — attention, piège fréquent
⚠️ Quand l'exposant n'est pas juste « n » mais quelque chose comme « 3(n+1) », il faut d'abord développer avant de séparer le produit. Regardons ensemble.
Complète, étape par étape : 23(n+1)
Étape 4 sur 5 — le vrai piège
Même question : par combien on multiplie pour passer de l'exposant en n à l'exposant en n+1 ? Développe d'abord l'exposant si besoin.
Étape 5 sur 5 — petit pont vers l'exercice
1,002 × 113,2 × 1,002n. Deux écritures sont justes : 113,4264 × 1,002n et 113,2 × 1,002n+1.
Laquelle rapproche du but un+1 = 113,2 × 1,002n+1 − 50 ?
Étape 1 sur 19
Traduisons la rue de voitures en langage mathématique.
« La voiture n°0 a le volant à gauche » ⟶ P(0) est vraie.
« Si une voiture l'a, celle d'après aussi » ⟶ si P(n) est vraie à un rang, alors elle est aussi vraie au rang suivant.
« Si une voiture l'a, celle d'après aussi » ⟶ si P(n) est vraie à un rang, alors elle est aussi vraie au rang suivant.
En clair : si ces deux faits sont vrais, alors la propriété P(n) est vraie pour tous les rangs, sans exception.
Étape 2 sur 19
⭐ À savoir par cœur
Le raisonnement par récurrence, en 3 étapes :
1. Initialisation : on vérifie que P(n0) est vraie (souvent n0 = 0) — c'est la voiture n°0.
2. Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n fixé (choisi une fois pour toutes) — c'est l'hypothèse de récurrence —, et on démontre qu'alors P(n+1) est vraie aussi — c'est « si une voiture l'a, celle d'après aussi ».
3. Conclusion : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 — c'est toute la rue.
Le raisonnement par récurrence, en 3 étapes :
1. Initialisation : on vérifie que P(n0) est vraie (souvent n0 = 0) — c'est la voiture n°0.
2. Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n fixé (choisi une fois pour toutes) — c'est l'hypothèse de récurrence —, et on démontre qu'alors P(n+1) est vraie aussi — c'est « si une voiture l'a, celle d'après aussi ».
3. Conclusion : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 — c'est toute la rue.
C'est exactement l'idée de la rue de voitures : la n°0 a le volant à gauche (initialisation), chaque voiture qui l'a entraîne la suivante (hérédité), donc toute la rue l'a (conclusion).
Étape 3 sur 19 — attention, piège fréquent
⚠️ Deux « n » à ne pas confondre.
Le n de l'énoncé (« pour tout n ») court sur toute la rue : n'importe quel rang, un par un.
Le n utilisé pendant l'hérédité est un seul n, fixé, choisi juste pour la démonstration — une seule voiture précise qu'on regarde, pour vérifier que celle d'après suit.
Le n de l'énoncé (« pour tout n ») court sur toute la rue : n'importe quel rang, un par un.
Le n utilisé pendant l'hérédité est un seul n, fixé, choisi juste pour la démonstration — une seule voiture précise qu'on regarde, pour vérifier que celle d'après suit.
Pour chaque phrase, le « n » désigne-t-il toute la rue, ou une seule voiture qu'on a choisie ?
« Pour tout entier n, si une voiture a le volant à gauche, celle d'après aussi. »
« On suppose que la voiture n a le volant à gauche, pour un n qu'on a choisi et qu'on fixe. »
« La propriété est vraie pour tout n à partir de 0. »
Étape 4 sur 19 — comment on va rédiger
À partir de maintenant, chaque démonstration par récurrence suit toujours le même squelette de phrases. Ces phrases-là ne changent jamais : elles sont écrites en rouge. Ce qui change à chaque exercice (la propriété, les nombres, le calcul) va dans une bulle blanche.
Le squelette, toujours le même
Soit P(n) la propriété : … (ce qu'on veut démontrer)
Initialisation. Pour n = … : … (la vérification). Donc P au premier rang est vraie.
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire … (l'hypothèse). Montrons que P(n+1) est vraie, autrement dit que … (l'objectif au rang n+1).
… (le calcul qui relie l'hypothèse et l'objectif) Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P au premier rang est vraie et P(n) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n.
On va tout de suite le remplir sur un exemple, ligne par ligne.
Étape 5 sur 19 — exemple fil rouge
Une suite (un) est définie par u0 = 2 et, pour tout entier n : un+1 = 2×un − 1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier n : un = 2n + 1.
Soit P(n) la propriété : un = 2n + 1
Initialisation. Pour n = 0 : on doit vérifier que u0 = 20 + 1.
Étape 6 sur 19 — avant de chercher
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire un = 2n + 1 (c'est l'hypothèse de récurrence).
⚠️ Avant de chercher le lien, écris l'objectif : que doit-on prouver au rang n+1 ? Remplace n par n+1 dans la propriété. Ne cherche pas encore la démonstration : écris juste la cible.
Étape 7 sur 19 — exemple fil rouge
On vise la cible déjà écrite : un+1 = 2n+1 + 1. On part de un+1 = 2×un − 1, et on remplace un par 2n+1 (hypothèse). Complète les cases pour te rapprocher de la cible.
Étape 8 sur 19 — exemple fil rouge
un+1 = 2×un − 1 = 2×(2n+1) − 1 = 2×2n + 2 − 1 = 2n+1 + 1 Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P(0) est vraie et P(n) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, un = 2n + 1 pour tout entier n.
Étape 9 sur 19 — le modèle complet
Voici la démonstration complète, dans le squelette qu'on réutilisera à chaque récurrence : les phrases rouges ne changent jamais, seules les bulles blanches changent d'un exercice à l'autre.
Soit P(n) la propriété : un = 2n + 1
Initialisation. Pour n = 0 : u0 = 2 et 20+1 = 2, les deux valeurs sont égales. Donc P(0) est vraie.
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire un = 2n + 1. Montrons que P(n+1) est vraie, autrement dit que un+1 = 2n+1 + 1.
un+1 = 2×un − 1 = 2×(2n+1) − 1 = 2×2n + 2 − 1 = 2n+1 + 1 Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P(0) est vraie et P(n) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, un = 2n + 1 pour tout entier n.
📌 Petit bilan : pour démontrer par récurrence, on vérifie l'initialisation (P au premier rang), puis, pour l'hérédité, on écrit d'abord l'objectif (remplacer n par n+1) avant de chercher, puis on démontre le lien par le calcul, puis on conclut. C'est ce qu'on vient de faire avec le squelette rouge / bulles blanches sur un = 2n + 1.
⚠️ Ne confonds pas les deux « n » : celui de l'énoncé (« pour tout n ») court sur toute la rue ; celui de l'hérédité est un seul n, fixé, choisi pour la démonstration.
Étape 11 sur 19 — deuxième exemple, guidé
Démontrons par récurrence que, pour tout entier n : 6n − 1 est un multiple de 5. Cette fois, c'est toi qui remplis les bulles blanches du squelette.
Soit P(n) la propriété : 6n − 1 est un multiple de 5
Initialisation. Pour n = 0 : calcule 60 − 1, et vérifie que c'est bien un multiple de 5.
Étape 12 sur 19 — hérédité : hypothèse et objectif
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que 6n − 1 = 5k (hypothèse de récurrence).
⚠️ Avant de chercher le lien, écris l'objectif : que doit-on prouver au rang n+1 ? Remplace n par n+1.
Étape 13 sur 19 — le calcul
On part de 6n+1 − 1 et on fait apparaître (6n − 1) pour pouvoir utiliser l'hypothèse.
Étape 14 sur 19 — récapitulatif
Soit P(n) la propriété : 6n − 1 est un multiple de 5
Initialisation. Pour n = 0 : 60 − 1 = 0 = 5×0. Donc P(0) est vraie.
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie, c'est-à-dire 6n − 1 = 5k. Montrons que 6n+1 − 1 est un multiple de 5.
6n+1 − 1 = 6×(6n−1) + 5 = 6×5k + 5 = 30k + 5 = 5×(6k+1) Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P(0) est vraie et P(n) est héréditaire : 6n − 1 est un multiple de 5 pour tout entier n.
Étape 15 sur 19 — à toi de rédiger, seul
Maintenant, rédige toi-même l'intégralité de la démonstration : « 7n − 1 est un multiple de 6, pour tout entier n ». Utilise le squelette : propriété, initialisation, hérédité (hypothèse, objectif écrit avant de chercher, puis calcul), conclusion.
✏️ Écris au moins le début de ta démonstration (avec « on suppose… ») pour débloquer un exemple de rédaction.
📌 Bilan — Raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n :
1. Initialisation : on vérifie P au premier rang.
2. Hérédité : on suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence), on écrit l'objectif (remplacer n par n+1) avant de chercher, puis on démontre P(n+1) par le calcul.
3. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n à partir du premier rang.
Et on n'oublie pas : le n de l'énoncé (toute la rue) n'est pas le n de l'hérédité (une seule voiture choisie).
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n :
1. Initialisation : on vérifie P au premier rang.
2. Hérédité : on suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence), on écrit l'objectif (remplacer n par n+1) avant de chercher, puis on démontre P(n+1) par le calcul.
3. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n à partir du premier rang.
Et on n'oublie pas : le n de l'énoncé (toute la rue) n'est pas le n de l'hérédité (une seule voiture choisie).
Petit quiz avant de t'entraîner :
Étape 17 sur 19 — 🎯 Exercice de révision (1)
Exercice de révision : démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n : 23n − 1 est un multiple de 7.
Soit P(n) la propriété : 23n − 1 est un multiple de 7
Initialisation. Pour n = 0 : calcule 23×0 − 1 et vérifie que c'est un multiple de 7.
Refais maintenant cette démonstration entièrement sur ton cahier, avec les mêmes valeurs : c'est exactement ce qui peut tomber à l'évaluation.
Étape 18 sur 19 — 🎯 Exercice de révision (2)
(un) est définie par u0 = 63,2 et, pour tout n : un+1 = 1,002×un + 0,1. Démontre que, pour tout entier n : un = 113,2 × 1,002n − 50.
💡 Pose P(n) : « un = 113,2 × 1,002n − 50 ». Initialisation : calcule 113,2 × 1,0020 − 50 et compare à u0.
💬 Méthode 2, si tu préfères : on peut aussi partir de un+1 = 1,002×un + 0,1, remplacer un par son expression (hypothèse de récurrence), puis distribuer.
Étape 19 sur 19 — 🎯 Pour t'entraîner en plus
(un) est définie par u0 = 50 et, pour tout n : un+1 = 0,95×un + 3. Démontre que, pour tout entier n : un = 60 − 10 × 0,95n.
💡 Pose P(n) et fais l'initialisation (u0 = 50, compare avec 60 − 10×0,950). À l'hérédité, pars de l'hypothèse, multiplie les deux membres par 0,95, puis ajoute 3.
Étape 1 sur 4
Pour démontrer qu'une suite reste toujours entre deux bornes, il faudra transformer un encadrement entier, membre par membre. Avant d'y aller : qu'est-ce qui conserve le sens d'une inégalité, et qu'est-ce qui le retourne ?
Étape 2 sur 4 — multiplier, puis ajouter
On part de l'encadrement 10 ≤ x ≤ 40. Applique les opérations les unes après les autres, une à la fois (jamais tout d'un coup).
Étape 3 sur 4 — le piège du négatif
⚠️ Même encadrement : 10 ≤ x ≤ 40. Cette fois, on multiplie par −2 (négatif : le sens se retourne). Range les deux résultats du plus petit au plus grand.
Étape 4 sur 4 — appliquer une fonction
On ne multiplie pas toujours par un nombre : parfois, on applique une fonction aux trois membres (par exemple la racine carrée). Tout dépend si cette fonction est croissante ou décroissante.
On part de 4 ≤ z ≤ 9 (deux nombres positifs). La racine carrée est croissante sur les nombres positifs.
Étape 1 sur 5
Une suite (un) est définie par u0 = 1 et, pour tout n : un+1 = √(2×un). Calcule les premiers termes (arrondis à 0,01 près).
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Étape 2 sur 5
⭐ À savoir par cœur
Une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout n : un ≤ M (M est un majorant).
Elle est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout n : un ≥ m (m est un minorant).
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout n : un ≤ M (M est un majorant).
Elle est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout n : un ≥ m (m est un minorant).
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Notre suite (un) semble majorée par 2, et minorée par 0 : elle serait donc bornée. Il reste à le démontrer, proprement.
Étape 3 sur 5 — récurrence
Démontrons par récurrence que, pour tout entier n : 0 < un ≤ 2.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n fixé : 0 < un ≤ 2 (hypothèse de récurrence).
Objectif (avant de chercher le calcul) : montrons que 0 < un+1 ≤ 2.
📌 Bilan — Suites bornées
Une suite est majorée (un ≤ M), minorée (un ≥ m), ou bornée (les deux à la fois).
Le réflexe à avoir : pour démontrer qu'une suite est bornée, on utilise très souvent un raisonnement par récurrence.
Une suite est majorée (un ≤ M), minorée (un ≥ m), ou bornée (les deux à la fois).
Le réflexe à avoir : pour démontrer qu'une suite est bornée, on utilise très souvent un raisonnement par récurrence.
📌 Rappel
Une suite (un) est croissante si, pour tout n : un+1 ≥ un ; elle est décroissante si, pour tout n : un+1 ≤ un. Pour le savoir, on étudie le signe de un+1 − un.
Une suite (un) est croissante si, pour tout n : un+1 ≥ un ; elle est décroissante si, pour tout n : un+1 ≤ un. Pour le savoir, on étudie le signe de un+1 − un.
Petit quiz avant de t'entraîner :
Étape 5 sur 5 — 🎯 Exercice de révision (3)
(un) est définie par u0 = 1500 et, pour tout n : un+1 = 45 un + 50.
1) Démontre que, pour tout entier naturel n : 250 ≤ un ≤ 1600.
💡 Pose P(n) : « 250 ≤ un ≤ 1600 ». Initialisation : place u0 = 1500 entre les bornes.
📌 Rappel : une suite (un) est croissante si, pour tout n : un+1 ≥ un ; elle est décroissante si, pour tout n : un+1 ≤ un. Pour le savoir, on étudie le signe de un+1 − un.
2) Étudie les variations de la suite (un).
💡 Calcule un+1 − un et réduis l'expression.
📌 Ce qu'on retient
Raisonner par récurrence : pour montrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n, on démontre l'initialisation (P au premier rang), puis l'hérédité (on suppose P(n) vraie pour un n fixé, on écrit la cible à atteindre au rang n+1 avant de chercher, puis on démontre le lien), puis on conclut.
Suites bornées : une suite est majorée, minorée, ou bornée (les deux à la fois). Pour le démontrer, on utilise très souvent un raisonnement par récurrence.
Raisonner par récurrence : pour montrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n, on démontre l'initialisation (P au premier rang), puis l'hérédité (on suppose P(n) vraie pour un n fixé, on écrit la cible à atteindre au rang n+1 avant de chercher, puis on démontre le lien), puis on conclut.
Suites bornées : une suite est majorée, minorée, ou bornée (les deux à la fois). Pour le démontrer, on utilise très souvent un raisonnement par récurrence.
En clair : la récurrence est l'outil que tu utiliseras chaque fois qu'il faut prouver quelque chose « pour tout n », y compris pour encadrer une suite.
Bilan général : un mélange des deux notions.
Avant de foncer dans le calcul
À l'évaluation, l'énoncé ne dit pas toujours « démontre par récurrence » : il dit souvent « démontre que pour tout n… », « montre que un = … », ou « montre que un ≤ … ». À toi de repérer si la récurrence est le bon outil — et si oui, de quel type.
Pour chaque énoncé : dis d'abord s'il faut une récurrence, puis si oui, de quel type (A, B ou C — les trois types d'exercices).
Ce qui fait perdre des points
Quatre pièges reviennent tout le temps dans une démonstration par récurrence. On les regarde un par un.
Piège 1
On confond ce qu'on suppose (l'hypothèse, au rang n) et ce qu'on veut prouver (l'objectif, au rang n+1). Dans l'hérédité, on part toujours de l'hypothèse pour arriver à l'objectif — jamais l'inverse.
Piège 2
Les indices dans l'exposant. Quand n devient n+1, il faut remplacer partout où n apparaît — y compris dans un exposant comme 2n+1 ou n+2 — en recalculant, pas en devinant.
Piège 3
« C'est à toi de trouver le bon moment pour utiliser l'hypothèse de récurrence. » Dans le calcul de l'hérédité, on part toujours de l'hypothèse, ou on y revient à un moment donné — sinon la démonstration ne prouve rien.
Piège 4
Sur la copie, on n'efface rien : chaque ligne de calcul est justifiée par une phrase courte (« j'ai multiplié par 9 des deux côtés », « j'ai factorisé par 7 »…). C'est ce qui montre que tu maîtrises le calcul, pas juste que tu as trouvé le bon nombre.
📌 Les 4 réflexes
1. Ne pas confondre hypothèse (rang n) et objectif (rang n+1).
2. Recalculer les indices dans l'exposant quand n devient n+1.
3. Partir de l'hypothèse (ou y revenir) dans le calcul de l'hérédité.
4. Justifier chaque ligne par le calcul : jamais de ligne sans explication.
1. Ne pas confondre hypothèse (rang n) et objectif (rang n+1).
2. Recalculer les indices dans l'exposant quand n devient n+1.
3. Partir de l'hypothèse (ou y revenir) dans le calcul de l'hérédité.
4. Justifier chaque ligne par le calcul : jamais de ligne sans explication.
La fausse preuve 2 = 1
La fausse preuve. Soient a et b deux nombres réels égaux. Regarde ce raisonnement : une des lignes le fait devenir faux. Clique sur la ligne où ça part de travers.
Avant de commencer
Dans chaque exercice, P(n) est déjà donnée et l'initialisation est déjà faite : tu ne t'occupes QUE de l'hérédité, l'étape où ça bloque le plus souvent. Rédige toi-même l'hypothèse, l'objectif au rang n+1, le calcul et la conclusion. Un correcteur te dit ce qui manque, jamais la réponse. 600 caractères maxi : va à l'essentiel, comme sur une copie.
Exercice 1 — pour commencer, guidé
Soit P(n) : 2n ≥ n+1, pour tout entier naturel n. Initialisation déjà faite (n = 0 : 2⁰ = 1 ≥ 1, vrai). Commence par écrire toi-même l'hypothèse, puis l'objectif.
Exercice 2 — exactement le cours de ce matin
Suite (un) : u0 = 2 et, pour tout n : un+1 = √(2un+3). Soit P(n) : 2 ≤ un ≤ 3. Initialisation déjà faite (u0 = 2, et 2 ≤ 2 ≤ 3, vrai). Rédige toute l'hérédité : hypothèse, objectif, calcul, conclusion.
Exercice 3 — puissances
Soit P(n) : 3n ≥ 2n+1, pour tout entier naturel n. Initialisation déjà faite (n = 0 : 3⁰ = 1 ≥ 1, vrai). Rédige toute l'hérédité.
Exercice 4 — suite définie par une formule
Suite (un) : u0 = 0 et, pour tout n : un+1 = un+42. Soit P(n) : 0 ≤ un ≤ 4. Initialisation déjà faite (u0 = 0, et 0 ≤ 0 ≤ 4, vrai). Rédige toute l'hérédité, jusqu'à l'encadrement demandé.
Exercice 5 — suite à termes positifs
Suite (un) : u0 = 1 et, pour tout n : un+1 = 1un+2. Soit P(n) : un > 0. Initialisation déjà faite (u0 = 1 > 0). Rédige toute l'hérédité.
Exercice 6 — formule explicite d'une somme
Pour tout entier n ≥ 1, on pose Sn = 1 + 2 + … + n. Soit P(n) : Sn = n(n+1)2. Initialisation déjà faite (n = 1 : S1 = 1, et 1×22 = 1, vrai). Rédige toute l'hérédité.
Exercice 7 — suite décroissante
Suite (un) : u0 = 4 et, pour tout n : un+1 = √(un+2). On admet que tous les termes de la suite sont positifs, et que f(x) = √(x+2) est croissante sur [−2;+∞[. Soit P(n) : un+1 ≤ un (la suite est décroissante). Initialisation déjà faite (u1 = √6 ≤ 4 = u0, vrai). Rédige toute l'hérédité. Attention à ce que devient P(n) au rang n+1.
Exercice 8 — niveau bac
Suite (un) : u0 = 2 et, pour tout n : un+1 = 3un. On admet que f(x) = 3x est décroissante sur ]0;+∞[. Soit P(n) : 1 ≤ un ≤ 3. Initialisation déjà faite (u0 = 2, et 1 ≤ 2 ≤ 3, vrai). Rédige toute l'hérédité.
Et sur ton cahier
Reprends l'un de ces exercices et rédige l'hérédité entièrement sur ton cahier, comme à l'évaluation.
Avant de commencer
Ici, le but n'est pas de trouver juste le bon encadrement, mais de justifier pourquoi : quelle fonction, sur quel intervalle, avec quel droit.
Choisis une notion : tu retrouves directement les exercices qui la travaillent.
Démontrer un multiple
Démontrer une formule par récurrence
Démontrer un encadrement
Conjecturer puis démontrer
Monotonie et limite d'une suite bornée
Hérédité et justification
Reconnaître le bon outil (pièges)
Exercices complets
Les 3 premiers types sont prioritaires
Choisis un type d'exercice ci-dessous. Multiple de…, Formule explicite et Encadrement sont prioritaires : fais-les en premier. Conjecturer et Pour aller plus loin sont des exercices en plus.
Multiple de 8 : 3²ⁿ − 1 (guidé)
Multiple de 8. Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n : 32n − 1 est un multiple de 8.
Soit P(n) la propriété : 32n − 1 est un multiple de 8
Initialisation. Pour n = 0 : calcule 32×0 − 1 et vérifie que c'est un multiple de 8.
Multiple de 3 : 4ⁿ + 5 (guidé)
Multiple de 3. Prouve que, pour tout entier naturel n : 4n + 5 est un multiple de 3.
Soit P(n) la propriété : 4n + 5 est un multiple de 3
Initialisation. Pour n = 0 : calcule 40 + 5 et vérifie que c'est un multiple de 3.
Semi-guidé — attention aux indices
Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n : 32n+1 + 2n+2 est un multiple de 7.
Vérification : n = 0 → 3+4 = 7 ✓ ; n = 1 → 27+8 = 35 = 7×5 ✓.
⚠️ Ici, le vrai piège, c'est les indices. Avant tout calcul, écris l'objectif au rang n+1 : remplace n par (n+1) dans chaque exposant.
Multiple de 3 : n³ + 2n (autonome)
Multiple de 3. Démontre par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1 : n³ + 2n est un multiple de 3.
Rédige seul, en t'aidant du squelette : propriété, initialisation (n = 1), hérédité (hypothèse, objectif, calcul), conclusion.
Soit P(n) la propriété : …
Initialisation. Pour n = … : …. Donc P au premier rang est vraie.
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire …. Montrons que P(n+1) est vraie, autrement dit que ….
… Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P au premier rang est vraie et P(n) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 1.
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te file sa méthode :
Ne saute jamais l'initialisation, même si elle paraît évidente. Et à l'hérédité, écris toujours clairement l'hypothèse de récurrence avant de t'en servir : « on suppose que… ».
Ne saute jamais l'initialisation, même si elle paraît évidente. Et à l'hérédité, écris toujours clairement l'hypothèse de récurrence avant de t'en servir : « on suppose que… ».
⭐ Canevas officiel
1. Écrire la propriété P(n) à démontrer.
2. Initialisation : vérifier P(n0).
3. Hérédité : écrire l'hypothèse « on suppose P(n) vraie pour un n fixé », écrire la cible à atteindre au rang n+1 (remplacer n par n+1) avant de chercher, puis démontrer le lien.
4. Conclusion : « d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n0 ».
1. Écrire la propriété P(n) à démontrer.
2. Initialisation : vérifier P(n0).
3. Hérédité : écrire l'hypothèse « on suppose P(n) vraie pour un n fixé », écrire la cible à atteindre au rang n+1 (remplacer n par n+1) avant de chercher, puis démontrer le lien.
4. Conclusion : « d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n0 ».
Exercice 1 — très guidé
Démontre par récurrence que, pour tout entier n :
1 + 3 + 5 + … + (2n+1) = (n+1)²
1 + 3 + 5 + … + (2n+1) = (n+1)²
💡 Commence par l'initialisation : calcule les deux membres pour n = 0.
Exercice de synthèse, sans aide
Démontre par récurrence que, pour tout entier n :
2n ≥ n + 1
Rédige la démonstration complète : initialisation, hérédité (avec l'hypothèse de récurrence), conclusion.
2n ≥ n + 1
Rédige la démonstration complète : initialisation, hérédité (avec l'hypothèse de récurrence), conclusion.
Garde le squelette ci-dessous sous les yeux pendant que tu rédiges sur ton cahier — à toi de remplir chaque bulle, sur le papier, pas ici.
Soit P(n) la propriété : …
Initialisation. Pour n = … : …. Donc P au premier rang est vraie.
Hérédité. Supposons que P(n) soit vraie pour un entier n fixé, c'est-à-dire …. Montrons que P(n+1) est vraie, autrement dit que ….
… Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion. P au premier rang est vraie et P(n) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n.
📸 Refaire ensuite l'exercice sur une vraie feuille et, si tu le souhaites, montrer la copie.
Sous-parcours
On reprend la même suite (u₀ = 1, un+1 = √(2×un + 3), majorée par 3), mais avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on prédit, on complète, on corrige, et on finit par écrire.
📌 Point de vigilance : une fonction récursive s'appelle elle-même pour le rang précédent — c'est exactement l'idée d'une récurrence mathématique (on suppose la propriété vraie au rang n pour la démontrer au rang n+1).
Chargement de la console Python…
Entraînement libre, sans note. Choisis ton thème !