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Suites numériques
Terminale — définition, arithmétiques et géométriques

Des listes de nombres qui obéissent à une règle. On apprend à les nommer, à les calculer vite, et à reconnaître les deux familles les plus importantes.

🔎 Départ

On commence par deviner
Voici une liste de nombres :
0
2
4
6
8
10
…
Et celle-là ?
Facile, non ? Essaie maintenant avec cette liste :
3
13
111
221
225
…

un Vocabulaire des suites

On numérote les termes
Reprenons une liste qui obéit à une règle (« +10 » à chaque fois) :
5
15
25
35
45
55
65
75
85
On numérote chaque terme à partir de 0 : le 1er terme s'appelle u0, le 2e s'appelle u1, etc.
Attention, un piège classique
Dans la même liste, le nombre 85 est le tout dernier terme.
u₀=5
u₁=15
u₂=25
u₃=35
u₄=45
u₅=55
u₆=65
u₇=75
u?=85
🎯 Essaie d'abord !
u5 est-il le 5e terme de la suite ?
On peut nommer ça
À savoir par cœur
Une suite numérique (un) est une liste de nombres construite en associant, à chaque entier naturel n, un nombre réel un.

un est appelé le terme de rang n (ou d'indice n) — ce n'est pas forcément le n-ième terme de la liste, comme on vient de le voir avec u8.

Le tout premier terme de la suite s'appelle le terme initial.
Deux écritures à ne pas confondre
(un) désigne la suite entière
un désigne un seul nombre, un terme précis
Exemple : « (un) est croissante » parle de toute la liste. « u5 = 55 » parle d'un seul terme.
Suivant, précédent
Dans la même liste, regarde u4.
u₀=5
u₁=15
u₂=25
u₃=35
u₄=45
u₅=55
u₆=65
Ça te rappelle quelque chose ?
n0123…
un5152535…
🎯 Essaie d'abord !
Ce tableau « n → un », ça ressemble à quoi que tu connais déjà, vu en 1ère ?
Une fonction, presque
À savoir par cœur
un joue le rôle d'une fonction de n, sauf que n est toujours un entier naturel.

u−3 ou u2,5 n'existent pas : on ne peut parler que de u0, u1, u2, u3, … jamais d'un indice négatif ou décimal.
À savoir par cœur
(un) est croissante si, pour tout entier n, un+1 ≥ un (chaque terme est au moins aussi grand que le précédent).

(un) est décroissante si, pour tout entier n, un+1 ≤ un.
📋 Bilan de la notion
• Une suite (un) associe à chaque entier n un nombre un, le terme de rang n.
• un n'est pas forcément le n-ième terme : le 1er terme est u0.
• (un) = la suite entière ; un = un seul terme.
• Le suivant de un est un+1 ; le précédent est un−1.
• un joue le rôle d'une fonction de n, avec n entier naturel uniquement.

⇄ Formule implicite ou explicite

On continue la liste, terme par terme
On reprend notre suite : u8 = 85, et la règle est toujours « +10 ».
Et si on veut aller loin ?
🎯 Essaie d'abord !
Pour calculer u100 de cette façon (de proche en proche, en ajoutant 10 à chaque fois), combien de calculs faut-il faire environ ?
Un premier nom
À savoir par cœur
Une relation qui donne un+1 à partir de un s'appelle une formule implicite (ou formule de récurrence).

Exemple : un+1 = un + 10.

Inconvénient : elle ne donne pas directement le résultat — il faut connaître le terme précédent pour calculer le suivant.
On peut aussi écrire une formule implicite avec une fonction f : un+1 = f(un) signifie qu'on obtient chaque terme en appliquant f au terme précédent.

Exemple : si un+1 = 2un + 1 (donc f(x) = 2x + 1), avec u0 = 3, alors u1 = f(u0) = 2×3 + 1 = 7, puis u2 = f(u1) = 2×7 + 1 = 15.
Et si on avait une autre formule ?
Cette fois, on te donne directement : un = 5 + 10n
Compare : avec la méthode « pas à pas » de tout à l'heure, il aurait fallu calculer u9, u10, u11, u12, u13, u14 — six calculs. Ici, un seul suffit !
Un lien avec ce que tu connais déjà
Tu as déjà manipulé des fonctions en 1ère : par exemple f(x) = 3x + 1. C'est une expression littérale où x est la variable — sa valeur dépend du x qu'on choisit : f(2) = 7, f(5) = 16, …
un = 5 + 10n, c'est exactement la même idée : une expression littérale, sauf que la variable s'appelle n (toujours un entier naturel) au lieu de x. Sa valeur dépend du n qu'on choisit, tout comme f(x) dépend de x.
C'est précisément ce que veut dire « un est une fonction de n » : on écrit parfois un = f(n) pour le signifier.
Deuxième nom
À savoir par cœur
Une relation du type un = f(n), qui donne un directement à partir de n (sans passer par les termes précédents), s'appelle une formule explicite.

Exemple : un = 5 + 10n, donc u100 = 5 + 10×100 = 1005, calculable directement.
Entraîne-toi : une suite plus corsée
u0 = 4, et pour tout n : un+1 = 2un − 3
📋 Bilan de la notion
• Formule implicite : un+1 en fonction de un — pas à pas, coûteuse pour un rang lointain.
• Formule explicite : un en fonction de n directement — un seul calcul.
• On ne sait pas toujours passer de l'une à l'autre… sauf pour deux familles très importantes : les suites arithmétiques et les suites géométriques. C'est ce qu'on découvre maintenant.

+r Suites arithmétiques

Encore une nouvelle liste
n012345
un71217222732
🎯 Essaie d'abord !
Quelle opération fait-on à chaque fois pour passer d'un terme au suivant ?
🎯 Et maintenant ?
Pour trouver u100, tu vas faire « +5 » cent fois à la main ?
Construisons le raccourci ensemble
Pour aller de u0 à u100, on ajoute 5, cent fois de suite. C'est donc u0 plus 100 fois 5.
Ça a un nom
À savoir par cœur
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un nombre r, appelé la raison, tel que pour tout entier n :
un+1 = un + r
La raison r peut être négative. Exemple : 11 ; 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 ; … est arithmétique de raison r = −2.
11
9
7
5
3
1
La formule explicite
À savoir par cœur
Si (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors pour tout n :
un = u0 + r×n
Pourquoi ce « ×n » ? Reprends le calcul de u100 fait juste avant : pour aller de u0 à un, on ajoute r un certain nombre de fois — il suffit de compter les sauts.
Certaines suites n'ont pas de terme u0 : le contexte impose parfois de commencer à u1 (par exemple un versement qui n'existe qu'à partir de la 1ère année). Le nombre de sauts change alors.
Réflexe à prendre : dès que tu identifies qu'une suite est arithmétique, écris tout de suite sa formule explicite — avant même de continuer l'exercice.
Comment le démontrer ?
Deux façons de prouver qu'une suite est arithmétique : soit c'est donné directement par une relation un+1 = un + r, soit on calcule un+1 − un et on vérifie qu'on obtient toujours le même nombre.
Exemple A : 4 ; 9 ; 14 ; 19 ; …
Exemple B (piège) : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; …
Ça monte ou ça descend ?
Le sens de variation d'une suite arithmétique se lit directement sur le signe de sa raison r, puisque un+1 − un = r. Rappel : (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n — donc ici, dès que r ≥ 0.
Une suite arithmétique de raison r = 3 (positive) est :
Une suite arithmétique de raison r = −2 (négative) est :
Et si on la dessine ?
Plaçons les points (n ; un) de la suite arithmétique 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 vue en tout début de notion.
n u_n
Pour une suite arithmétique, les points (n ; un) sont toujours alignés. C'est logique : on ajoute la même quantité r à chaque étape.
Deux termes connus, pas forcément consécutifs
Au bac, on te donne souvent deux termes pas voisins, plutôt que u0 et r directement. (vn)n≥1 est arithmétique, avec v5 = 11 et v20 = 56. Retrouve la raison, puis le premier terme.
📋 Bilan de la notion
• (un) est arithmétique de raison r si un+1 = un + r pour tout n.
• Formule explicite : un = u0 + r×n.
• Pour démontrer : par définition, ou en vérifiant que un+1 − un est constant.
• r > 0 → suite croissante. r < 0 → suite décroissante.
• Les points (n ; un) sont alignés.

×q Suites géométriques

Une autre famille de suites
n012345
un510204080160
🎯 Essaie d'abord !
Quelle opération fait-on à chaque fois pour passer d'un terme au suivant ?
Pour trouver u10, tu vas multiplier par 2 dix fois à la main ?
Et dans l'autre sens ?
Regarde cette autre liste : 64 000 ; 32 000 ; 16 000 ; 8 000 ; …
64 000
32 000
16 000
8 000
Ici, on divise par 2 à chaque fois. Est-ce que ça reste le même genre de suite que tout à l'heure ?
Diviser par 2 = multiplier par 12
Ça a un nom aussi
À savoir par cœur
Une suite (un) est géométrique s'il existe un nombre q, appelé la raison, tel que pour tout entier n :
un+1 = un × q

La raison q peut être négative ou inférieure à 1.
La formule explicite
À savoir par cœur
Si (un) est géométrique de raison q et de premier terme u0, alors pour tout n :
un = u0 × qn
Le choix du premier indice (u0 ou u1) n'est jamais un hasard : il dépend du contexte. Exemple : un club verse à un joueur un salaire de 100 000 € pour sa 1ère saison, payé à la fin de cette saison, avec ensuite +2 % chaque saison (coefficient 1,02). Il n'existe pas de « saison 0 » à payer avant d'avoir joué : on numérote donc à partir de v1, pas de v0.
Faut-il quand même définir un terme v0 pour ce salaire, « avant » la 1ère saison jouée ?
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Avantage de ce choix : en partant de v1, la nème saison correspond directement à vn — plus besoin de « décaler » l'indice.
Réflexe à prendre : dès que tu identifies qu'une suite est géométrique, écris tout de suite sa formule explicite — avant même de continuer l'exercice.
Comment le démontrer ?
Deux façons de prouver qu'une suite est géométrique : soit c'est donné directement par un+1 = un × q, soit on calcule le quotient un+1un et on vérifie qu'on obtient toujours le même nombre.
⚠️ Il faut que un soit non nul, à vérifier à chaque fois.
Exemple A : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …
Exemple B (piège) : 2 ; 4 ; 8 ; 12 ; …
Ça monte ou ça descend ?
Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, le sens de variation se lit sur la position de q par rapport à 1.
Une suite géométrique à termes positifs, de raison q = 3 (donc q > 1), est :
Une suite géométrique à termes positifs, de raison q = 12 (donc 0 < q < 1), est :
Ce résultat n'est valable ici que pour des termes strictement positifs.
Et si on la dessine ?
Plaçons les points (n ; un) de la suite géométrique 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; 160 vue en tout début de notion (q = 2 > 0).
n u_n
Compare avec le dessin de la suite arithmétique, dans la notion précédente. Qu'est-ce qui change ?
Deux termes connus, pas forcément consécutifs
Même situation que pour les suites arithmétiques : au bac, on te donne souvent deux termes pas voisins. (vn) est géométrique à termes positifs, avec v3 = 54 et v6 = 1458. Retrouve la raison, puis le premier terme v0.
📋 Bilan de la notion
ArithmétiqueGéométrique
Relationun+1 = un + run+1 = un × q
Formule expliciteun = u0 + r×nun = u0 × qn
Points (n ; un)alignéssur une courbe

Σ Sommes de termes

Une astuce vieille de 300 ans
On veut calculer 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10, sans les additionner un par un. Essaie d'associer le premier terme avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, etc.
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
Lis colonne par colonne : chaque nombre de la ligne du haut se retrouve en face d'un nombre de la ligne du bas.
Pourquoi une formule change tout
Terme à terme, une addition prend à peu près 2 secondes. Pour calculer S = u0 + u1 + … + u100 (101 termes), il faut 100 additions à la suite.
Avec la formule qu'on vient de construire (nombre de paires, puis multiplication), ce même calcul se fait en quelques secondes, quel que soit le nombre de termes — 10, 100 ou 10 000.
Somme d'une suite arithmétique
À savoir par cœur
S = nombre de termes × premier terme + dernier terme2
Pour trouver le nombre de termes quand on ne les voit pas tous : nombre de termes = dernier − premierraison + 1
Cette formule ne fonctionne que pour une suite arithmétique.
Même astuce pour une suite géométrique ?
On veut calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 (suite géométrique de raison 2, 5 termes). Essaie d'apparier comme tout à l'heure : 1+16, 2+8…
1+16 = 17, mais 2+8 = 10. Est-ce que l'astuce de Gauss (apparier premier et dernier) fonctionne encore ici ?
Nouvelle astuce : multiplie TOUTE la somme par la raison q = 2, et compare le résultat à S.
À savoir par cœur
S = premier terme × 1 − qnombre de termes1 − q
Cette formule ne fonctionne que pour une suite géométrique de raison q ≠ 1. Pas la même formule que pour une suite arithmétique !
Applique les deux formules
(un) est une suite arithmétique définie par u0 = 8 et, pour tout n, un+1 = un + 5. On veut calculer S = u0 + u1 + … + u30.
(vn) est une suite géométrique définie par v0 = 5000 et, pour tout n, vn+1 = 0,2 × vn. On veut calculer S = v0 + v1 + v2.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
📋 Bilan de la notion
• Suite arithmétique : S = nombre de termes × premier + dernier2, avec nombre de termes = dernier − premierraison + 1

• Suite géométrique : S = premier × 1 − qnb termes1 − q

• Ce n'est jamais la même formule selon le type de suite — il faut d'abord identifier laquelle on a.

🧩 Suite auxiliaire et arithmético-géométrique

Une situation qui résiste
Un lycée ouvre en 2021 avec 500 élèves. Chaque année, il perd 30 % de son effectif mais accueille 300 nouveaux élèves.

On note un le nombre d'élèves l'année 2021+n, avec u0 = 500.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Ni l'un ni l'autre
La relation est : un+1 = 0,7×un + 300

Ce n'est ni « + une constante » (pas arithmétique), ni « × une constante » (pas géométrique) — c'est un mélange des deux.
Ce genre de suite a un nom : une suite arithmético-géométrique. Un peu géométrique (le ×0,7), un peu arithmétique (le +300) — en gros, « un nombre qui multiplie un, et un nombre qu'on ajoute » : un+1 = a×un + b.
Repère les coefficients ailleurs
L'écriture un+1 = a×un + b peut changer de forme d'un exercice à l'autre : signe négatif, b écrit avant, etc. Entraîne-toi à repérer a et b à chaque fois, quelle que soit l'écriture.
Dans les quatre cas, a reste toujours ce qui multiplie un (avec son signe), et b ce qui reste tout seul — peu importe l'ordre d'écriture.
On pousse le calcul plus loin
Retournons à l'exemple du lycée (u0=500, u1=650, u2=755). Calcule encore deux termes, pour voir où ça mène. 🧮 Les nombres deviennent décimaux : prends la calculatrice.
🎯 Essaie d'abord !
u0=500, u1=650, u2=755, u3=828,5, u4≈879,95 : les termes montent, mais de moins en moins vite à chaque fois. Vers quel nombre semblent-ils se rapprocher ?
La mécanique du point fixe
Si la suite (un) se stabilise vraiment autour d'un nombre — appelons-le L — alors, à partir d'un certain rang, un est très proche de L. Mais un+1, c'est juste le terme suivant de la même suite : lui aussi se rapproche donc de L.
Or à chaque rang, un+1 = 0,7×un + 300, autrement dit un+1 = f(un) avec f(x) = 0,7x + 300, une fonction affine. Une fonction affine est continue : concrètement, ça veut dire que si un se rapproche d'un nombre, alors f(un) se rapproche de l'image de ce nombre par f, sans saut brusque. Donc quand un se rapproche de L, f(un) se rapproche de f(L).
un+1 et f(un) sont la même chose. Donc un+1 se rapproche à la fois de L (puisque c'est un terme de la suite) ET de f(L) (à cause de la continuité). Une suite ne peut se rapprocher que d'un seul nombre à la fois : donc f(L) = L.
Concrètement, dans un+1 = 0,7×un + 300, quelle égalité obtient-on en remplaçant à la fois un ET un+1 par L ?
À savoir par cœur
Le point fixe d'une fonction f est un nombre L tel que f(L) = L — appliquer f à L redonne L, ça ne « bouge » plus.

Si (un) est définie par un+1 = f(un) et qu'elle converge vers une limite L, alors cette limite est forcément un point fixe de f — c'est exactement ce qu'on vient de voir.
Deux précautions à garder en tête : ① ce raisonnement suppose que la suite converge vraiment — ici, on l'a seulement observé sur les valeurs numériques, pas démontré. ② ça ne marche pas non plus à l'envers : trouver un point fixe ne prouve pas que la suite s'en rapproche — certaines suites, au contraire, s'éloignent de leur point fixe. Le théorème complet, avec les bonnes conditions, sera vu au chapitre sur les limites de suites.
Calcule le point fixe, deux fois
À toi de calculer L pour notre exemple du lycée : L est le point fixe de f, donc L = 0,7×L + 300.
Et voilà : L = 1000, exactement l'estimation que tu avais faite un peu plus tôt !
Refais-le avec un autre exemple, pour être sûr d'avoir la méthode : un+1 = 0,5×un − 12 (celui de tout à l'heure). Trouve son point fixe L.
La méthode complète
Tu sais maintenant repérer a et b, et calculer le point fixe L. Voici la méthode complète, avec son nom, pour aller jusqu'à la formule explicite de un.
Cette suite auxiliaire (vn) n'est pas tombée du ciel : elle est construite exprès, à partir du point fixe L qu'on vient de calculer, pour se ramener à une suite géométrique qu'on sait déjà manier.
À savoir par cœur — suite arithmético-géométrique : la technique de la suite auxiliaire
Quand un+1 = a×un + b (a ≠ 1) — une suite arithmético-géométrique — on ne sait pas trouver directement une formule explicite. On introduit une suite auxiliaire (vn) :

① On pose vn = un − L, où L est le point fixe de f (celui qu'on vient d'apprendre à calculer : L = a×L + b).
② On montre que (vn) est géométrique.
③ On exprime vn avec la formule explicite des suites géométriques.
④ On en déduit un, puisque un = vn + L.
Étapes ① et ② — poser vn et montrer que (vn) est géométrique
Reprenons l'exemple du lycée, où L = 1000. On pose vn = un − 1000. Exprimons vn+1 en fonction de vn.
Étape ③ — exprimer vn
vn+1 = 0,7×vn : (vn) est donc géométrique, de raison 0,7. Il ne reste qu'à trouver v0.
Étape ④ — en déduire un
On a posé vn = un − 1000, et on vient de trouver vn = −500 × 0,7n. Il reste à revenir à un.
On utilise la formule
Maintenant qu'on a la formule explicite un = 1000 − 500×0,7n, on peut répondre directement à une question concrète : combien d'élèves en 2028 (donc n = 7) ?
🧮 Prends la calculatrice : calculer 0,7 à la puissance 7 à la main serait trop long et risqué.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
À toi de refaire la méthode
Une autre suite arithmético-géométrique : u0 = 50 et, pour tout n, un+1 = 0,95×un + 3. On pose vn = un − L. Refais les mêmes étapes, en allant plus vite.
Une question pour la suite du programme
Dans un = 1000 − 500×0,7n, que devient 0,7n quand n devient très grand ?
📋 Bilan de la notion
• Une suite un+1 = a×un + b (a ≠ 1, b ≠ 0) est arithmético-géométrique : ni arithmétique, ni géométrique.

• Son point fixe L vérifie L = a×L + b — le nombre vers lequel elle semble se stabiliser (on le démontrera proprement au chapitre sur les limites de suites ; un point fixe ne garantit pas à lui seul la convergence).

• La méthode de la suite auxiliaire, en 4 étapes : ① vn = un − L ② (vn) est géométrique de raison a ③ on exprime vn ④ on en déduit un = vn + L.

📋 Bilan général

📋 Bilan général du chapitre
Avant de passer à la pratique, un petit récap de tout ce que tu as vu :

• Vocabulaire : (un) associe à chaque entier n un terme un, de rang n. Le 1er terme est souvent u0.
• Implicite / explicite : un+1 en fonction de un (pas à pas), ou un en fonction de n directement (un seul calcul).
• Suites arithmétiques : un+1 = un + r, formule explicite un = u0 + r×n, points alignés.
• Suites géométriques : un+1 = un × q, formule explicite un = u0 × qn, points sur une courbe.
• Sommes : deux formules différentes selon le type de suite, à ne jamais confondre.
• Suite arithmético-géométrique et suite auxiliaire : quand une suite n'est ni arithmétique ni géométrique (un+1 = a×un + b), on pose vn = un − L pour se ramener à une suite géométrique.
Pour finir, un bilan qui mélange toutes les notions du chapitre, questions tirées au hasard à chaque fois.

🎓 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère
🎓 Face à une suite donnée par récurrence, la première question à se poser est toujours la même : arithmétique ? géométrique ? ni l'une ni l'autre ? Dès que tu as identifié le type, écris tout de suite sa formule explicite — c'est un réflexe à prendre, ça évite de rester bloqué dans le pas à pas.

Le premier exercice, tu es guidé pas à pas. Le deuxième, un peu moins. Le troisième, tu te débrouilles presque seul.
Exercice 1 — très guidé
Une suite (un) vérifie u0 = 2 et, pour tout n, un+1 = un + 4.

Détermine la nature de cette suite, puis calcule u10.
💡 Étape 1 — Calcule u1 = u0 + 4, puis u2 = u1 + 4 : observe l'opération qui se répète.

✍️ Je rédige seul

Exercice de synthèse
Une entreprise de livraison a transporté 1 200 colis en 2023. Chaque année, le nombre de colis augmente de 8 %, et l'entreprise ajoute une tournée supplémentaire qui livre 50 colis en plus.

On note un le nombre de colis livrés l'année 2023+n, avec u0 = 1 200 et, pour tout n, un+1 = 1,08×un + 50.

1. Calcule u1 et u2.
2. Cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifie.
3. On pose vn = un − L, où L est un nombre à déterminer (L peut être négatif). Trouve L, puis montre que (vn) est géométrique et donne sa raison.
4. Exprime vn puis un en fonction de n.
5. Rédige une phrase de réponse pour conclure.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

🎯 S'entraîner par notion

Choisis une notion : tu retrouves directement les exercices qui la travaillent.

Calculer terme par terme
Reconnaître arithmétique ou géométrique
Écrire la formule explicite
Retrouver une suite à partir de deux termes
Calculer une somme de termes
Ne pas se faire piéger par le départ
Construire une suite auxiliaire
Exercices complets

📝 Exercices d'entraînement

Exercices d'entraînement
Les exercices sont numérotés 1 à 9, rangés par thème. Choisis par lequel commencer — tu peux changer d'exercice à tout moment avec le bouton 🏠.

Pour t'entraîner sur des suites en situation concrète :

Pour t'entraîner sur les suites arithmétiques et géométriques :

Pour aller plus loin :

Exercices de synthèse (toutes les notions mélangées) :

Avant l'exercice — un automatisme
Dans l'exercice qui arrive, tu vas devoir ajouter un décimal à un décimal, de tête, plusieurs fois de suite (par exemple 13,9 + 0,9). Un petit tour de chauffe avant d'y aller.
🎯 Essaie d'abord !
13,9 + 0,9, ça fait combien à ton avis ?
À savoir par cœur
Pour ajouter vite un décimal à un décimal : complète d'abord le premier nombre jusqu'à l'unité entière juste au-dessus, puis ajoute ce qu'il reste.

13,9 + 0,9 : il manque 0,1 pour arriver à 14 (13,9 + 0,1 = 14). Il reste donc 0,9 − 0,1 = 0,8 à ajouter : 14 + 0,8 = 14,8.

Ça marche aussi en pensant à des centimes : 13,90 € + 0,90 €, c'est 14,80 €.
Dans 13,9, le chiffre 9 est juste après la virgule. Il a un nom.
🎯 Essaie d'abord !
Comment s'appelle le rang du chiffre juste après la virgule ?
À savoir par cœur
Après la virgule, les rangs s'appellent dans l'ordre : les dixièmes (1er chiffre), les centièmes (2e chiffre), les millièmes (3e chiffre).

Exemple : dans 0,347, le 3 est le chiffre des dixièmes, le 4 celui des centièmes, le 7 celui des millièmes.
Exercice 1
Une entreprise de déchetterie a récupéré 13 tonnes de déchets au cours de l'année 2019. Chaque année, le nombre de déchets récupérés augmente de 0,9 tonne.

On note un le nombre de tonnes de déchets récupérés au cours de l'année (2019+n).
Avant l'exercice — un rappel de 3e
Dans l'exercice qui arrive, un salaire augmente de 2 % chaque saison. Avant d'y aller, on retrouve le coefficient multiplicateur, vu en 3e.
🎯 Essaie d'abord !
Un salaire de 1000 € augmente de 10 %. Par quoi peut-on multiplier 1000 pour trouver directement le nouveau salaire, en une seule multiplication ?
À savoir par cœur
Pour une augmentation de t % : coefficient multiplicateur = 1 + t100.
Pour une diminution de t % : coefficient multiplicateur = 1 − t100.

Un coefficient supérieur à 1 fait monter la quantité ; un coefficient inférieur à 1 la fait descendre.
Exercice 2
Un joueur de foot signe un contrat avec un club : un salaire de 100 000 € pour sa 1ère saison, versé à la fin de cette saison, avec une augmentation salariale de 2 % chaque saison (ni le club, ni le joueur ne renégocient un nouveau salaire).

Il n'y a rien à payer « avant » la 1ère saison jouée : on numérote donc à partir de v1. On note v1 = 100 000 le salaire de la 1ère saison, et vn le salaire de la nème saison.
Exercice 3 — Partie A
La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2019 et a enregistré 2 500 inscriptions en 2019. Chaque année : 20 % des anciens inscrits ne renouvellent pas leur inscription l'année suivante, et 400 nouveaux adhérents débarquent.

On note u0 = 2500 le nombre d'inscrits en 2019, et un le nombre d'inscrits pendant l'année 2019+n.
3) On veut un algorithme qui affiche au bout de combien d'années le nombre d'inscrits sera inférieur à 2150. Complète les pointillés.
Variables : N est un entier, U est un nombre réel
Initialisation :
N prend la valeur …
U prend la valeur …
Traitement :
Tant que … faire
U prend la valeur … (à l'intérieur de la boucle)
N prend la valeur …
Fin Tant que
Sortie : Afficher …
Exercice 3 — Partie B
On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 2000 (avec un de la partie A : u₀=2500, un+1=0,8×un+400).
2) Reprends les termes que tu as calculés en partie A (en faisant tourner l'algorithme) : 2500 ; 2400 ; 2320 ; 2256 ; 2204,8 ; 2163,84 ; 2131,07… Vers quel nombre semblent-ils se rapprocher ?
C'est une intuition. Justifions-la maintenant par le calcul, à partir de la formule un = 500×0,8n + 2000.
Le responsable démissionne si le nombre d'adhérents devient inférieur à 1900. Doit-il démissionner ?
📷 Refais maintenant les questions 1) et 2) de cette partie B entièrement sur ton cahier — c'est exactement ce genre d'exercice qui peut tomber à l'évaluation.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Exercice 4 — les questions sont indépendantes
Exercice 5 — les questions sont indépendantes
Exercice 6
(un) est définie pour tout entier naturel n par un+1 = 56 un + 2, avec u₀ = 3.
Exercice 7
Soit (un) la suite définie par u1 = 1 et, pour n ≥ 1, un+1 = un − 1n(n+1).
Avant l'entraînement
Dans ces exercices, tu vas avoir besoin de ça : entraîne-toi avant de commencer — mettre une puissance en facteur commun, pour simplifier une différence ou un quotient de termes.
Exercice 8 — synthèse a) suite géométrique à deux termes non consécutifs
(vn)n≥0 est géométrique, avec v3 = 100 et v15 = 409600. Détermine la raison et le premier terme, puis exprime vn en fonction de n.
b) et c) deux suites « réelles » (bourse, impôt)
Bourse d'étude de 420 €/mois la première année, qui augmente de 40 € chaque année. (vn) = montant mensuel de la bourse selon l'année d'étude — ici on numérote à partir de 0 : v0 est le montant de la première année, v1 celui de la deuxième…
Même famille de calcul, mais à la baisse cette fois : impôt de 3200 € en 2025, qui baisse de 5 % chaque année. (un) = impôt payé l'année 2025+n.
d) suite arithmétique à deux termes non consécutifs
Suite arithmétique avec u7 = 17 et u22 = 84,5. Retrouve toi-même la raison et le premier terme.
Exercice 9 — synthèse
Une ville a 10 000 coureurs en 2023. Chaque année, 25 % des coureurs se retirent, mais 3 000 nouveaux arrivent. (un) = nombre de coureurs en 2023+n.
On cherche à partir de quelle année le nombre de coureurs dépassera 11 500. Complète l'algorithme (même esprit que celui déjà vu dans le parcours Limites).
Variables : N est un entier, U est un nombre réel Initialisation : N prend la valeur … U prend la valeur … Traitement : Tant que … faire U prend la valeur … N prend la valeur … Fin Tant que Sortie : Afficher N
Partie B — on pose vn = un − 12000.

🐍 Algorithmique

Sous-parcours
On reprend la même suite (bibliothèque : u₀ = 2500, un+1 = 0,8 × un + 400), mais avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on prédit, on complète, on corrige, et on finit par écrire.
📌 Point de vigilance : l'indice d'un terme n'est pas sa place dans la liste. u₀ est le 1er terme, u₁ le 2e, … Donc u₀, u₁, u₂, …, un : ça fait n + 1 termes, pas n.
Chargement de la console Python…

⚔️ L'arène des suites !

Entraînement libre, sans note. Choisis ton thème !

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