📈🖉
Trigonométrie
3ème
La pente d'un toit, la hauteur d'un arbre, une distance impossible à mesurer directement : dans un triangle rectangle, un angle et des longueurs sont enfin reliés. Tu vas découvrir ce lien, puis apprendre à calculer une longueur ou un angle — comme au brevet.
Pour commencer
💡 Tu as déjà vu plusieurs propriétés en géométrie : certaines permettent de démontrer que deux droites sont parallèles, d'autres qu'elles sont perpendiculaires, d'autres encore de calculer des longueurs (Pythagore, Thalès…).
Mais la mesure d'un angle et les longueurs des côtés, ce sont d'habitude deux choses indépendantes : connaître un angle ne te dit rien sur les longueurs, et inversement.
Le triangle rectangle a une propriété à part : il crée un vrai pont entre l'angle et les longueurs. Tu vas le découvrir toi-même.
Mais la mesure d'un angle et les longueurs des côtés, ce sont d'habitude deux choses indépendantes : connaître un angle ne te dit rien sur les longueurs, et inversement.
Le triangle rectangle a une propriété à part : il crée un vrai pont entre l'angle et les longueurs. Tu vas le découvrir toi-même.
🃴 Le savais-tu ? On peut aller très loin avec cette idée ▶
Plus tard, au lycée, tu retrouveras cette même idée — le lien entre angles et longueurs — appliquée cette fois à n'importe quel triangle, pas seulement au triangle rectangle. Ça porte un nom savant : le théorème d'Al-Kashi. Pour l'instant, on reste au collège : un seul triangle particulier, le triangle rectangle, et un lien tout aussi puissant.
L'activité — 3 triangles, un seul angle
📊 Voici trois triangles rectangles, un après l'autre. Ils n'ont pas la même taille, mais ils ont tous le même angle marqué : 60°.
Pour chacun, lis sur la figure la longueur du côté qui touche l'angle marqué (sans être le grand côté en face de l'angle droit) et celle du grand côté. Puis calcule la division : premier côté ÷ grand côté.
Pour chacun, lis sur la figure la longueur du côté qui touche l'angle marqué (sans être le grand côté en face de l'angle droit) et celle du grand côté. Puis calcule la division : premier côté ÷ grand côté.
÷
=
La leçon — étape 1 sur 2
🎯 Essaie d'abord !
Voici un triangle ABC rectangle en C, avec l'angle en B marqué. Regarde bien la figure : d'après toi, quel côté est en face de l'angle B ?
📈 Tu viens de découvrir un rapport qui ne change jamais. Dans l'activité, tu as fait à chaque fois la division avec les mêmes côtés. Pour donner un nom à ce rapport, il faut d'abord savoir nommer précisément les trois côtés d'un triangle rectangle.
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit — c'est toujours le plus long des trois côtés, et tu la connais déjà (Pythagore).
Pour un angle aigu donné (par exemple l'angle en B), les deux autres côtés ont des rôles précis :
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit — c'est toujours le plus long des trois côtés, et tu la connais déjà (Pythagore).
Pour un angle aigu donné (par exemple l'angle en B), les deux autres côtés ont des rôles précis :
- Le côté adjacent : il touche l'angle B, sans être l'hypoténuse. « Adjacent », ça veut dire « qui touche ».
- Le côté opposé : il est en face de l'angle B, il ne le touche pas — c'est celui que tu viens de trouver.
Hypoténuse [AB] (la plus longue, face à l'angle droit en C) · opposé [AC] (en face de B) · adjacent [BC] (touche B).
⭐ À savoir par cœur
Hypoténuse = côté en face de l'angle droit (le plus long).
Adjacent = côté qui touche l'angle aigu étudié (sans être l'hyp.).
Opposé = côté en face de l'angle aigu étudié.
Hypoténuse = côté en face de l'angle droit (le plus long).
Adjacent = côté qui touche l'angle aigu étudié (sans être l'hyp.).
Opposé = côté en face de l'angle aigu étudié.
💬 En clair : si l'angle change de sommet, les côtés adjacent et opposé changent aussi — l'hypoténuse, elle, ne change jamais.
La leçon — étape 2 sur 2
👁 La méthode « placer tes yeux ». Le côté opposé et le côté adjacent ne sont pas fixés sur le triangle : ils changent de nom selon l'angle que tu regardes. Avant tout calcul, tu dois d'abord « placer tes yeux » sur le bon angle :
- Tu veux calculer une longueur ? Tu connais forcément un angle — place tes yeux dessus.
- Tu veux calculer un angle ? Tu connais deux longueurs, et l'angle cherché est là où tu dois placer tes yeux.
Même triangle ABC, mais regarde bien : si on place ses yeux sur l'angle en A cette fois, ce ne sont plus les mêmes côtés qui sont adjacent et opposé qu'à l'étape 1 (où l'angle regardé était en B). Seule l'hypoténuse [AB] ne bouge pas.
☝️ Attention : face à l'angle droit = toujours l'hypoténuse (ça ne change jamais). Face à l'angle aigu que tu regardes = le côté opposé (ça, ça change avec l'angle). Ces deux « faces » ne sont pas la même chose.
🃴 Le savais-tu ? La trigonométrie a 2 000 ans ▶
Le mot « trigonométrie » vient du grec : trigonon (triangle) et metron (mesure). Le mathématicien grec Hipparque de Nicée (vers 190–120 av. J.-C.) est souvent considéré comme son inventeur.
Il construisait des tables de cordes pour calculer les positions des étoiles — l'ancêtre de nos tables de sinus et cosinus. Pendant des siècles, ces outils ont servi aux astronomes, architectes et navigateurs pour mesurer des distances inaccessibles.
Il construisait des tables de cordes pour calculer les positions des étoiles — l'ancêtre de nos tables de sinus et cosinus. Pendant des siècles, ces outils ont servi aux astronomes, architectes et navigateurs pour mesurer des distances inaccessibles.
Hipparque de Nicée, père de la trigonométrie.
🎯 Essaie d'abord !
Dans un triangle rectangle (angle droit en C), quel est le côté adjacent à l'angle en B ?
Bilan de la notion
Hypoténuse = face à l'angle droit, toujours. Adjacent et opposé dépendent de l'angle que tu regardes : place toujours tes yeux dessus avant de répondre.
La leçon — étape 1 sur 2
📌 Rappelle-toi le rapport constant de l'activité des trois triangles : tu as divisé à chaque fois le côté qui touche l'angle par le grand côté — c'est-à-dire le côté adjacent par l'hypoténuse. Ce rapport, qui ne dépend que de l'angle, on lui a donné un nom : le cosinus de l'angle.
Que ce soit bien clair : le cosinus, c'est juste le nom de cette division, toujours faite avec les mêmes côtés. Rien de plus.
Que ce soit bien clair : le cosinus, c'est juste le nom de cette division, toujours faite avec les mêmes côtés. Rien de plus.
cos(A) = côté adjacenthypoténuse
Hypoténuse · côté adjacent à A — ce sont ces deux côtés que compare le cosinus.
⭐ À savoir par cœur
cos(A) = adjacenthypoténuse
Pour calculer une longueur :
adjacent = hypoténuse × cos(A)
hypoténuse = adjacent ÷ cos(A)
cos(A) = adjacenthypoténuse
Pour calculer une longueur :
adjacent = hypoténuse × cos(A)
hypoténuse = adjacent ÷ cos(A)
Exemple : ABC rectangle en C, AB = 10 cm, angle A = 35°. Calculer AC.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
cos(A) = ACAB
donc cos(35°) = AC10
donc AC = 10 × cos(35°)
donc AC ≈ 8,2 cm
La leçon — étape 2 sur 2
⭐ Canevas de rédaction — Trigonométrie
- J'écris dans quel triangle je travaille : « Dans le triangle ABC rectangle en C : »
- J'écris la relation avec les noms des côtés : cos(A) = ACAB
- Je remplace par les nombres connus
- J'isole la longueur cherchée
- Je calcule avec la calculatrice (mode degrés !), j'arrondis et j'écris l'unité
💬 En clair : le cosinus est toujours entre 0 et 1 (pour un angle entre 0° et 90°). Un résultat de cosinus supérieur à 1 signale une erreur de calcul.
🎯 Essaie d'abord !
Dans un triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse AC mesure 8 cm et l'angle en A vaut 50°. Quel calcul donne AB, le côté adjacent à A ?
Bilan de la notion
cos(A) = adjacenthypoténuse — c'est le rapport de l'activité, maintenant il a un nom. Il te permet de calculer l'adjacent (si tu connais l'hypoténuse) ou l'hypoténuse (si tu connais l'adjacent), dès que tu connais l'angle A.
La leçon — étape 1 sur 2
📌 Et si on divise un autre côté par l'hypoténuse ? Avec le cosinus, tu as divisé l'adjacent par l'hypoténuse. Si maintenant tu divises le côté opposé par l'hypoténuse, ce rapport ne change pas non plus quand le triangle grandit — seul l'angle compte, exactement comme dans l'activité. Cette division-là, on lui donne un autre nom : le sinus de l'angle.
sin(A) = côté opposéhypoténuse
Hypoténuse · côté opposé à A — ce sont ces deux côtés que compare le sinus.
⭐ À savoir par cœur
sin(A) = opposéhypoténuse
Pour calculer une longueur :
opposé = hypoténuse × sin(A)
hypoténuse = opposé ÷ sin(A)
sin(A) = opposéhypoténuse
Pour calculer une longueur :
opposé = hypoténuse × sin(A)
hypoténuse = opposé ÷ sin(A)
Exemple : ABC rectangle en C, AB = 12 cm, angle A = 42°. Calculer BC.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
sin(A) = BCAB
donc sin(42°) = BC12
donc BC = 12 × sin(42°)
donc BC ≈ 8,0 cm
La leçon — étape 2 sur 2
📊 Comment choisir entre cos et sin ?
On repère les deux côtés en jeu (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche) par rapport à l'angle :
• Adjacent + hypoténuse → cosinus
• Opposé + hypoténuse → sinus
• Opposé + adjacent → tangente (vu au prochain thème)
On repère les deux côtés en jeu (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche) par rapport à l'angle :
• Adjacent + hypoténuse → cosinus
• Opposé + hypoténuse → sinus
• Opposé + adjacent → tangente (vu au prochain thème)
SOH : sin = OpposéHypoténuse
CAH : cos = AdjacentHypoténuse
TOA : tan = OpposéAdjacent
🎯 Essaie d'abord !
On connaît l'hypoténuse (15 cm) et l'angle (38°). On cherche le côté opposé. Quelle relation utiliser ?
Bilan de la notion
sin(A) = opposéhypoténuse. Deuxième rapport constant, deuxième nom — il sert quand l'opposé et l'hypoténuse sont en jeu.
La leçon — étape 1 sur 2
📌 Un dernier rapport possible avec ces trois côtés : opposé et adjacent, sans l'hypoténuse cette fois. Ce rapport porte le nom de tangente de l'angle. On l'utilise quand l'hypoténuse n'est pas en jeu.
tan(A) = côté opposécôté adjacent
Côté opposé à A · côté adjacent à A — la tangente compare ces deux-là, jamais l'hypoténuse.
⭐ À savoir par cœur
tan(A) = opposéadjacent
Pour calculer une longueur :
opposé = adjacent × tan(A)
adjacent = opposé ÷ tan(A)
tan(A) = opposéadjacent
Pour calculer une longueur :
opposé = adjacent × tan(A)
adjacent = opposé ÷ tan(A)
Exemple : ABC rectangle en C, AC = 6 cm, angle A = 55°. Calculer BC.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
tan(A) = BCAC
donc tan(55°) = BC6
donc BC = 6 × tan(55°)
donc BC ≈ 8,6 cm
La leçon — étape 2 sur 2
📊 Récapitulatif des trois relations :
⭐ Les 3 relations — cœur du chapitre
cos(A) = adjacenthypoténuse sin(A) = opposéhypoténuse tan(A) = opposéadjacent
cos(A) = adjacenthypoténuse sin(A) = opposéhypoténuse tan(A) = opposéadjacent
SOH — sin
CAH — cos
TOA — tan
💬 En clair : « SOH-CAH-TOA » est le mot-clé pour retenir les trois. S comme Sinus, C comme Cosinus, T comme Tangente — chacun avec ses deux côtés dans l'ordre.
🎯 Essaie d'abord !
Dans un triangle ABC rectangle en B, l'angle A vaut 40° et le côté adjacent AB mesure 5 cm. Quel calcul donne BC, le côté opposé à A ?
Bilan de la notion
tan(A) = opposéadjacent — le seul des trois rapports qui ne fait pas intervenir l'hypoténuse. Avec cos, sin et tan, tu as maintenant les trois relations de SOHCAHTOA.
Le vrai défi du chapitre
🎯 Tu connais les trois relations. Le plus dur, c'est de choisir la bonne, vite, sans hésiter. La méthode ne change jamais : place tes yeux sur l'angle, repère les DEUX côtés qui sont en jeu (celui que tu connais + celui que tu cherches), puis choisis.
⭐ SOHCAHTOA
SOH — sin(A) = opposéhypoténuse
CAH — cos(A) = adjacenthypoténuse
TOA — tan(A) = opposéadjacent
CAH — cos(A) = adjacenthypoténuse
TOA — tan(A) = opposéadjacent
Adjacent + hypoténuse → cosinus
Opposé + hypoténuse → sinus
Opposé + adjacent → tangente
💬 En clair : le côté qui n'apparaît dans aucune des deux données (ni connu, ni cherché), c'est celui que tu ignores complètement — inutile de le calculer.
Entraîne-toi à repérer
Sur cette figure, place tes yeux sur l'angle marqué : quels sont les deux côtés en jeu (le connu et le « ? ») ?
🎯 Essaie d'abord !
On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté adjacent à l'angle. Quelle relation choisir ?
Bilan de la notion
Deux côtés en jeu (un connu, un cherché) déterminent la relation : adjacent + hypoténuse → cos, opposé + hypoténuse → sin, opposé + adjacent → tan.
La leçon — étape 1 sur 2
🎯 Jusqu'ici, tu connaissais l'angle et tu cherchais une longueur. Maintenant c'est l'inverse. Tu connais deux longueurs, et l'angle cherché est là où tu dois « placer tes yeux ». On calcule d'abord le rapport, puis on demande à la calculatrice : « quel angle a ce cosinus / sinus / tangente ? »
Les touches sont notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹ (ou arccos, arcsin, arctan) sur la calculatrice.
Les touches sont notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹ (ou arccos, arcsin, arctan) sur la calculatrice.
⭐ À savoir par cœur
Si cos(A) = adjhyp alors A = cos⁻¹(adjhyp)
Si sin(A) = opphyp alors A = sin⁻¹(opphyp)
Si tan(A) = oppadj alors A = tan⁻¹(oppadj)
Si cos(A) = adjhyp alors A = cos⁻¹(adjhyp)
Si sin(A) = opphyp alors A = sin⁻¹(opphyp)
Si tan(A) = oppadj alors A = tan⁻¹(oppadj)
📱 Où trouver ces touches ? Sur une calculatrice de collège, cos⁻¹, sin⁻¹ et tan⁻¹ ne sont pas écrits directement sur les touches : il faut d'abord appuyer sur 2nde (ou SHIFT), puis sur la touche cos, sin ou tan.
La leçon — étape 2 sur 2
☝️ Canevas de rédaction officiel pour calculer un angle :
Exemple : ABC rectangle en C, AC = 5 cm, AB = 9 cm. Calculer l'angle A.
Dans le triangle ABC rectangle en C :
cos(A) = ACAB
donc cos(A) = 59
donc A = cos⁻¹(59)
donc A ≈ 56°
💬 En clair : vérifier que la calculatrice est en mode degrés (DEG) avant tout calcul trigonométrique. En mode RAD le résultat sera faux. Et un angle aigu d'un triangle rectangle est toujours entre 0° et 90° : si tu trouves plus, c'est une erreur.
🎯 Essaie d'abord !
On sait que sin(A) = 0,6. Quelle touche de la calculatrice donne l'angle A ?
Bilan de la notion
Pour calculer un angle : place tes yeux dessus, écris cos, sin ou tan avec les deux longueurs connues, puis utilise la touche inverse (cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹) à la calculatrice, en mode degrés.
Tout le chapitre en un coup d'œil
Le rapport constant — dans un triangle rectangle, pour un angle donné, un rapport bien choisi entre deux côtés reste toujours le même, quelle que soit la taille du triangle.
Les côtés — hypoténuse (face à l'angle droit, toujours), adjacent et opposé (dépendent de l'angle regardé : « placer tes yeux »).
Les 3 relations — cos(A) = adjacenthypoténuse, sin(A) = opposéhypoténuse, tan(A) = opposéadjacent.
Choisir la relation — deux côtés en jeu (connu + cherché) déterminent laquelle des trois utiliser.
Calculer un angle — avec la fonction inverse (cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹) : touche 2nde (ou SHIFT) puis cos, sin ou tan, calculatrice en degrés.
La rédaction — « Dans le triangle … rectangle en … », la relation avec les noms des côtés, on remplace, on isole, on calcule, on arrondit avec l'unité.
SOHCAHTOA
sin(A) = opposéhypoténuse
cos(A) = adjacenthypoténuse
tan(A) = opposéadjacent
Le conseil du grand frère
⚕ Ton grand frère te file ses tuyaux avant le contrôle :
Un exercice de trigo, ça se résout toujours dans le même ordre :
1. Je repère le triangle rectangle et je l'écris : « Dans le triangle … rectangle en … ».
2. Je place mes yeux sur l'angle et je vois quels côtés sont en jeu (connu + cherché).
3. Je choisis cos, sin ou tan selon SOH-CAH-TOA.
4. J'écris la relation avec les noms des côtés, je remplace, j'isole, je calcule.
5. J'arrondis, j'écris l'unité et je conclus par une phrase.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul.
Un exercice de trigo, ça se résout toujours dans le même ordre :
1. Je repère le triangle rectangle et je l'écris : « Dans le triangle … rectangle en … ».
2. Je place mes yeux sur l'angle et je vois quels côtés sont en jeu (connu + cherché).
3. Je choisis cos, sin ou tan selon SOH-CAH-TOA.
4. J'écris la relation avec les noms des côtés, je remplace, j'isole, je calcule.
5. J'arrondis, j'écris l'unité et je conclus par une phrase.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul.
Exercice 1
📐 Dans le triangle ABC rectangle en C, l'angle en B vaut 40° et l'hypoténuse [AB] mesure 13 cm.
1. Identifier les côtés adjacent et opposé à l'angle en B.
2. Calculer la longueur BC (arrondir au dixième de centimètre).
3. Rédiger la réponse comme au brevet.
1. Identifier les côtés adjacent et opposé à l'angle en B.
2. Calculer la longueur BC (arrondir au dixième de centimètre).
3. Rédiger la réponse comme au brevet.
💡 Repère l'angle droit (en C) et l'angle étudié (en B). Le côté adjacent touche B sans être l'hypoténuse.
✏️ Brouillon (facultatif)
Exercice — Sur la feuille numérique
📐 Dans le triangle KLM rectangle en L :
• L'angle en K vaut 32°.
• Le côté [KM] mesure 14 cm.
1. Calculer la longueur KL (arrondir au dixième de centimètre).
2. Calculer la longueur LM (arrondir au dixième de centimètre).
3. Rédiger les deux calculs en colonne, avec « donc » à chaque étape et une phrase de conclusion pour chacun.
• L'angle en K vaut 32°.
• Le côté [KM] mesure 14 cm.
1. Calculer la longueur KL (arrondir au dixième de centimètre).
2. Calculer la longueur LM (arrondir au dixième de centimètre).
3. Rédiger les deux calculs en colonne, avec « donc » à chaque étape et une phrase de conclusion pour chacun.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.