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Transformations du plan
4ème — Translation et rotation
On fait glisser un meuble sans le déformer, on regarde tourner une roue de vélo, on répète un motif sur une frise : à chaque fois, une figure se déplace mais garde exactement sa forme et sa taille. Ce chapitre apprend à décrire ce déplacement avec précision — et à en construire l'image.
Pour commencer
Tu as déjà vu la symétrie axiale (le pliage le long d'un axe) et la symétrie centrale (le demi-tour autour d'un centre). Ce sont deux transformations du plan : elles déplacent une figure en gardant exactement sa forme et sa taille.
Pour caractériser une transformation — dire exactement ce qu'elle fait, sans se tromper — on a besoin d'informations précises.
Pour caractériser une transformation — dire exactement ce qu'elle fait, sans se tromper — on a besoin d'informations précises.
🤔 Avant de continuer
Pour être sûr·e de reproduire une symétrie axiale à l'identique, quelle information est indispensable ?
À savoir par cœur
Symétrie axiale : il faut connaître l'axe de symétrie, la droite le long de laquelle on plie la figure.
Symétrie centrale : il faut connaître le centre de symétrie, le point autour duquel on fait un demi-tour.
Les deux conservent longueurs, angles et aires.
Symétrie centrale : il faut connaître le centre de symétrie, le point autour duquel on fait un demi-tour.
Les deux conservent longueurs, angles et aires.
En clair
Sur le plan, on peut aussi transformer une figure autrement : la faire glisser (translation) ou la faire tourner (rotation). Chacune, elle aussi, se caractérise par des informations précises — c'est ce qu'on découvre dans les deux prochaines notions.
Bilan
Pour décrire une transformation du plan, il faut toujours donner des informations précises (un axe, un centre, un vecteur, un angle…), jamais juste son nom.
Situation
On fait glisser un meuble sur le sol, sans le faire tourner : il part d'un point P et arrive en un point P'. Pour dire à quelqu'un exactement comment le meuble a bougé, que dois-tu préciser ?
🤔 À ton avis
Pour décrire ce glissement sans se tromper, combien d'informations faut-il donner ?
Formalisation
On appelle translation qui transforme P en P' le glissement :
• selon la direction de la droite (PP') ;
• dans le sens de P vers P' ;
• d'une longueur égale à PP'.
On résume ces trois informations en une seule flèche, le vecteur v⃗ qui va de P à P'. C'est le vecteur qui caractérise entièrement la translation.
• selon la direction de la droite (PP') ;
• dans le sens de P vers P' ;
• d'une longueur égale à PP'.
On résume ces trois informations en une seule flèche, le vecteur v⃗ qui va de P à P'. C'est le vecteur qui caractérise entièrement la translation.
À savoir par cœur
Une translation est définie par un vecteur v⃗ (direction, sens, longueur).
Le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur v⃗.
Le point A' est l'image du point A par la translation de vecteur v⃗.
🖐️ Manipule le vecteur
Fais glisser la pointe de la flèche avec le doigt : le bateau glisse en direct, dans la même direction et le même sens que le vecteur.
Bilan
La translation, c'est un vecteur : direction, sens, longueur — les trois informations qui la caractérisent complètement.
Construire l'image
Pour construire l'image d'un point par une translation de vecteur v⃗, on reproduit exactement le vecteur en partant de ce point (même direction, même sens, même longueur).
Sur papier quadrillé : on compte les carreaux du vecteur, puis on les recompte à partir de chaque sommet à translater.
Sur papier blanc : on reporte la longueur du vecteur au compas depuis chaque sommet, en gardant la même direction.
Pour translater une figure entière, on translate chaque sommet un par un, puis on relie les images dans le même ordre que les points de départ.
Sur papier quadrillé : on compte les carreaux du vecteur, puis on les recompte à partir de chaque sommet à translater.
Sur papier blanc : on reporte la longueur du vecteur au compas depuis chaque sommet, en gardant la même direction.
Pour translater une figure entière, on translate chaque sommet un par un, puis on relie les images dans le même ordre que les points de départ.
🎯 À toi de jouer !
Fais glisser le bateau bleu jusqu'à sa bonne image, puis relâche pour vérifier.
À savoir par cœur
La translation conserve l'alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Les segments AA', BB', CC' sont parallèles (notés (AA') // (BB') // (CC')), de même sens et de même longueur.
Les segments AA', BB', CC' sont parallèles (notés (AA') // (BB') // (CC')), de même sens et de même longueur.
Bilan
Translater une figure = translater chaque sommet avec le même vecteur, puis relier. Rien ne se déforme : la figure image est superposable à la figure de départ.
Situation
Sur une grande roue (une fête foraine), un siège qui part en S se retrouve, un peu plus tard, en S'. Le siège n'a pas glissé en ligne droite : il a tourné. Comment décrire ce mouvement pour qu'il n'y ait aucune ambiguïté ?
🤔 À ton avis
Qui dit « tourner » dit forcément tourner autour d'un point — puisque tourner, c'est parcourir un cercle, et un cercle a toujours un centre. Quelles autres informations faut-il, en plus de ce centre ?
Formalisation
Le siège tourne de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et il reste tout le temps à la même distance du centre de la roue.
On dit : le siège S' est l'image du siège S par la rotation de centre O (le centre de la roue), d'angle 90°, dans le sens anti-horaire.
Une rotation se caractérise donc par trois informations : un centre, un sens (horaire — celui des aiguilles d'une montre — ou anti-horaire), et une mesure d'angle.
On dit : le siège S' est l'image du siège S par la rotation de centre O (le centre de la roue), d'angle 90°, dans le sens anti-horaire.
Une rotation se caractérise donc par trois informations : un centre, un sens (horaire — celui des aiguilles d'une montre — ou anti-horaire), et une mesure d'angle.
À savoir par cœur
Une rotation est définie par un centre O, un sens (horaire ou anti-horaire) et un angle α.
Si A' est l'image de A par cette rotation, alors OA = OA' et l'angle AOA' mesure α.
Remarque : l'image du centre O par la rotation est O lui-même — on dit que O est invariant.
Si A' est l'image de A par cette rotation, alors OA = OA' et l'angle AOA' mesure α.
Remarque : l'image du centre O par la rotation est O lui-même — on dit que O est invariant.
🖐️ Manipule la rotation
Fais glisser la figure avec le doigt pour la faire tourner autour du centre, jusqu'à un quart de tour (90°), dans le sens que tu veux.
Bilan
La rotation, c'est un centre, un sens (horaire ou anti-horaire) et un angle — les trois informations qui la caractérisent complètement.
Construire l'image
Pour construire l'image A' du point A par la rotation de centre O, d'angle α et de sens donné : on trace, avec le rapporteur, un angle de sommet O et de mesure α, en partant de [OA] et en tournant dans le sens demandé. Le point A' est sur ce nouveau côté, tel que OA = OA'.
Pour tourner une figure entière, on tourne chaque sommet un par un (même centre, même sens, même angle), puis on relie les images dans le même ordre que les points de départ.
Pour tourner une figure entière, on tourne chaque sommet un par un (même centre, même sens, même angle), puis on relie les images dans le même ordre que les points de départ.
🎯 À toi de jouer !
Fais tourner la figure jusqu'à un demi-tour exactement (180°), puis relâche pour vérifier.
Angles remarquables
Trois angles de rotation reviennent tout le temps :
• 90° = un quart de tour ;
• 180° = un demi-tour ;
• 270° = trois quarts de tour.
Remarque importante : une rotation d'angle 180° est exactement une symétrie centrale de centre O — c'est la même transformation, juste vue autrement !
• 90° = un quart de tour ;
• 180° = un demi-tour ;
• 270° = trois quarts de tour.
Remarque importante : une rotation d'angle 180° est exactement une symétrie centrale de centre O — c'est la même transformation, juste vue autrement !
À savoir par cœur
Une rotation conserve l'alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Une rotation de 180° = une symétrie centrale de même centre.
Une rotation de 180° = une symétrie centrale de même centre.
Bilan
Tourner une figure = tourner chaque sommet autour du même centre, avec le même sens et le même angle, puis relier. 180° = symétrie centrale.
Situation
Sur une frise (une bordure décorative), le même motif se répète, toujours identique, à intervalles réguliers : ★ ★ ★ ★. On passe d'une étoile à la suivante par une translation — toujours le même vecteur.
Un pavage (un carrelage) répète un motif en couvrant tout le plan : selon le motif, on y trouve des translations, des rotations, ou les deux à la fois.
Un pavage (un carrelage) répète un motif en couvrant tout le plan : selon le motif, on y trouve des translations, des rotations, ou les deux à la fois.
Dans la vraie vie
Deux roues dentées en contact tournent en sens contraire l'une de l'autre : si la roue A tourne dans le sens horaire, la roue B tourne dans le sens anti-horaire. Les pales d'une éolienne, les aiguilles d'une montre, le manège : à chaque fois, il s'agit d'une rotation, à caractériser avec un centre, un sens et un angle.
Bilan
Dans une frise ou un pavage, on repère toujours la même transformation répétée. Dans une situation réelle, on identifie d'abord si la figure glisse (translation) ou tourne (rotation), puis on précise ses caractéristiques.
Tout le chapitre en un coup d'œil
Quatre transformations du plan, chacune caractérisée par des informations précises — et toutes conservent longueurs, angles et aires.
À savoir par cœur
Symétrie axiale : un axe (une droite).
Symétrie centrale : un centre.
Translation : un vecteur (direction, sens, longueur).
Rotation : un centre, un sens (horaire/anti-horaire), un angle.
Rappel : une rotation de 180° est une symétrie centrale.
Symétrie centrale : un centre.
Translation : un vecteur (direction, sens, longueur).
Rotation : un centre, un sens (horaire/anti-horaire), un angle.
Rappel : une rotation de 180° est une symétrie centrale.
La phrase à savoir écrire
« Le point A' est l'image du point A par [la transformation] de [ses caractéristiques]. »
Exemples : « A' est l'image de A par la translation de vecteur v⃗. » — « A' est l'image de A par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. »
Exemples : « A' est l'image de A par la translation de vecteur v⃗. » — « A' est l'image de A par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens anti-horaire. »
Le conseil du grand frère
① Identifie la transformation (translation, rotation, symétrie axiale, symétrie centrale).
② Repère ce qui la caractérise (vecteur ; ou centre + sens + angle ; ou axe ; ou centre).
③ Applique-la à chaque sommet de la figure.
④ Relie les images dans le même ordre que les points de départ.
② Repère ce qui la caractérise (vecteur ; ou centre + sens + angle ; ou axe ; ou centre).
③ Applique-la à chaque sommet de la figure.
④ Relie les images dans le même ordre que les points de départ.
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Sur ton cahier quadrillé, place un point O au milieu de la page (les images iront aussi à gauche de O), puis construis le triangle ABC en comptant les carreaux à partir de O : A est à 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de O ; B est à 5 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de O ; C est à 4 carreaux à droite et 5 carreaux au-dessus de O.
1. Construis le vecteur u⃗ qui va de 4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. Construis le triangle A'B'C', image du triangle ABC par la translation de vecteur u⃗, en reportant ce vecteur depuis chacun des points A, B et C.
2. Construis le triangle A''B''C'', image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle 90° dans le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre). Aide-toi des carreaux pour placer chaque point avec précision.
3. Sans les mesurer, indique quelles longueurs et quels angles du triangle A''B''C'' sont égaux à ceux du triangle ABC. Justifie en citant la propriété de la rotation.
4. Le triangle A''B''C'' peut-il être obtenu à partir du triangle ABC par une simple translation ? Justifie ta réponse.
5. Rédige tes réponses aux questions 3 et 4 avec des phrases complètes.
1. Construis le vecteur u⃗ qui va de 4 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. Construis le triangle A'B'C', image du triangle ABC par la translation de vecteur u⃗, en reportant ce vecteur depuis chacun des points A, B et C.
2. Construis le triangle A''B''C'', image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle 90° dans le sens anti-horaire (sens inverse des aiguilles d'une montre). Aide-toi des carreaux pour placer chaque point avec précision.
3. Sans les mesurer, indique quelles longueurs et quels angles du triangle A''B''C'' sont égaux à ceux du triangle ABC. Justifie en citant la propriété de la rotation.
4. Le triangle A''B''C'' peut-il être obtenu à partir du triangle ABC par une simple translation ? Justifie ta réponse.
5. Rédige tes réponses aux questions 3 et 4 avec des phrases complètes.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Entraînement libre, sans note.