🔎✨
Transformations
3ème
Tu sais déjà plier, retourner et glisser une figure. Il te manque une dernière façon de la déplacer — et elle t'emmène jusqu'au lycée.
Depuis la 6ème, tu as appris à déplacer une figure de quatre façons : la plier le long d'une droite (symétrie axiale), la retourner autour d'un point (symétrie centrale), la tourner (rotation), ou la glisser (translation).
Il reste une dernière chose que tu peux faire avec une figure : la rapprocher ou l'éloigner d'un point de référence — comme quand tu agrandis une photo sur ton téléphone, quand un architecte dessine un plan à l'échelle, ou quand on construit une maquette. Cette transformation s'appelle l'homothétie : c'est la nouveauté de ce chapitre.
Pour finir, tu retrouveras la translation sous un nouveau nom — le vecteur — qui te servira en physique et au lycée.
Avant de commencer — étape 1 sur 3
🔎 Regarde ces deux figures.
D'après toi, qu'est-ce qui a été fait pour passer de la figure 1 à la figure 2 ?
🎯 Essaie d'abord !
Choisis la bonne réponse :
Étape 2 sur 3
C'est un demi-tour autour d'un point : la symétrie centrale. Tu la connais déjà — avec trois autres transformations, depuis le début du collège. Remets-les en mouvement pour te rafraîchir la mémoire :
Symétrie axiale — un pliage
Symétrie centrale — un demi-tour
Rotation — un angle, un sens
Translation — un glissement
Direction, sens, longueur : c'est ce qui caractérise ce glissement.
Étape 3 sur 3
⭐ À savoir par cœur
Pour caractériser une transformation, une phrase suffit :
« Le point A' est l'image du point A par [nom de la transformation], de [ses caractéristiques : axe / centre / vecteur / angle et sens]. »
Ces quatre transformations conservent toujours les longueurs, les angles et les aires : la figure et son image sont superposables.
Pour caractériser une transformation, une phrase suffit :
« Le point A' est l'image du point A par [nom de la transformation], de [ses caractéristiques : axe / centre / vecteur / angle et sens]. »
Ces quatre transformations conservent toujours les longueurs, les angles et les aires : la figure et son image sont superposables.
Symétrie axiale → une droite (l'axe)
Symétrie centrale → un point (le centre)
Rotation → un centre, un angle, un sens
Translation → un vecteur (direction, sens, longueur)
Exemple
B' est l'image de B par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens direct. C'est une phrase complète : le nom, et tous les paramètres.
🎯 À toi
Une figure a été pliée le long d'une droite (d). Quelle phrase caractérise correctement cette transformation ?
🏆 Bilan de la notion
Tu sais reconnaître et caractériser les 4 transformations vues avant la 3ème, et tu sais qu'elles conservent toutes longueurs, angles et aires. C'est ce repère qui va être bousculé avec l'homothétie.
Étape 1 sur 4
📷 Kenji agrandit une photo sur son téléphone. Il y a un point de référence O (le coin qui ne bouge pas), et un point A sur la photo.
Si on éloigne A de O, deux fois plus loin, où va se trouver son image A' ?
🎯 Essaie d'abord !
Clique sur le point qui te semble être la bonne image A' :
Étape 2 sur 4
Tu viens de trouver l'image de A en l'éloignant de O, deux fois plus loin, sur la droite (OA). C'est exactement le principe d'une nouvelle transformation : l'homothétie.
Pour rapprocher ou éloigner un point d'un point de référence, il faut dire trois choses : selon quelle droite (facile : la droite qui relie le point et O), dans quel sens, et de combien. Pour le sens et la distance, un seul nombre suffit : le rapport.
Pour rapprocher ou éloigner un point d'un point de référence, il faut dire trois choses : selon quelle droite (facile : la droite qui relie le point et O), dans quel sens, et de combien. Pour le sens et la distance, un seul nombre suffit : le rapport.
⭐ À savoir par cœur
Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k (un nombre, jamais nul). L'image A' d'un point A est sur la droite (OA), et la distance OA' vaut OA multipliée par k — k pris sans son signe : le signe sert seulement à dire de quel côté de O.
Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k (un nombre, jamais nul). L'image A' d'un point A est sur la droite (OA), et la distance OA' vaut OA multipliée par k — k pris sans son signe : le signe sert seulement à dire de quel côté de O.
⚠️ Attention, le rapport peut être positif ou négatif — c'est toute la subtilité de l'homothétie.
k = 2 (positif) : A' du même côté que A
k = −2 (négatif) : A' de l'autre côté de O
🖐️ Manipule l'homothétie
Fais glisser le centre O, puis règle le curseur du rapport k : l'image du bateau se met à jour en direct. Regarde ce qui se passe quand k dépasse 1, quand il est entre 0 et 1, et quand il devient négatif.
⭐ k positif ou négatif
• k > 0 : l'image reste du même côté de O que le point de départ.
• k < 0 : l'image passe de l'autre côté de O — comme un demi-tour autour de O — puis s'éloigne ou se rapproche selon la valeur de k (sans son signe).
• k > 0 : l'image reste du même côté de O que le point de départ.
• k < 0 : l'image passe de l'autre côté de O — comme un demi-tour autour de O — puis s'éloigne ou se rapproche selon la valeur de k (sans son signe).
Étape 3 sur 4
Construire l'image d'un point, sans formule :
Homothétie de centre O, rapport k = 3. Point E, on veut construire E'.
On trace la droite (OE).
k = 3 > 0 donc E' se trouve du même côté que E par rapport à O.
OE' = 3 × OE : on reporte 3 fois la longueur OE à partir de O, sur la droite (OE).
Même centre O, rapport k = −1,5. Point F, on veut construire F'.
On trace la droite (OF).
k = −1,5 < 0 donc F' se trouve de l'autre côté de O par rapport à F.
OF' = 1,5 × OF : on reporte 1,5 fois la longueur OF, à partir de O, de l'autre côté.
🎯 À toi de construire
Homothétie de centre O, rapport k = −2. Clique sur la bonne image de A :
Étape 4 sur 4
Avec des coordonnées, une formule retrouve directement l'image :
⭐ Formule
Centre O(0 ; 0) : A'(k×x ; k×y) — on multiplie chaque coordonnée de A par k, sans oublier le signe de k.
Centre O(0 ; 0) : A'(k×x ; k×y) — on multiplie chaque coordonnée de A par k, sans oublier le signe de k.
Homothétie de centre O(0 ; 0), rapport k = 2. A(3 ; 1).
donc A'x = 2 × 3 = 6
donc A'y = 2 × 1 = 2
donc A'(6 ; 2)
🎯 Essaie d'abord !
Homothétie de centre O(0 ; 0), rapport k = −3. B(2 ; −1). Quelle est B' ?
🎯 Défi : retrouve le rapport
Le centre O et l'image cible (en pointillés) sont fixés. Règle le curseur de k jusqu'à ce que ton bateau vienne se superposer exactement à l'image cible.
🏆 Bilan de la notion
Tu sais qu'une homothétie a un centre et un rapport k, que k>0 garde le même côté et k<0 passe de l'autre côté de O, et tu sais construire ou calculer l'image d'un point.
Étape 1 sur 3
Tu te souviens : la symétrie axiale, la symétrie centrale, la rotation et la translation conservent toujours les longueurs, les angles et les aires.
Un segment mesure 4 cm. On lui applique une homothétie de rapport k = 2.
🎯 Essaie d'abord !
D'après ce que tu sais des transformations précédentes, quelle sera la longueur du segment-image ?
Étape 2 sur 3
Si tu as répondu 4 cm, c'est normal : c'est ce que tu as toujours vu jusqu'ici. Mais ici, la longueur du segment-image est bien 8 cm — le double, exactement comme le rapport k = 2.
⭐ Ce qui change avec l'homothétie
L'homothétie conserve les angles et les alignements (l'image a la même forme), mais PAS les longueurs : une longueur est multipliée par k (si k est négatif, par k sans son signe — une longueur reste positive).
C'est la première transformation du collège qui ne conserve pas tout.
L'homothétie conserve les angles et les alignements (l'image a la même forme), mais PAS les longueurs : une longueur est multipliée par k (si k est négatif, par k sans son signe — une longueur reste positive).
C'est la première transformation du collège qui ne conserve pas tout.
Étape 3 sur 3
Et l'aire, dans tout ça ? Un carré de 2 cm de côté a une aire de 2 × 2 = 4 cm². On lui applique une homothétie de rapport k = 2 : son côté est multiplié par 2, il mesure maintenant 4 cm.
🎯 Essaie d'abord !
Calcule l'aire du nouveau carré, de côté 4 cm :
Étape 1 sur 3
🌐 Anya dessine le plan de sa chambre. Sa chambre mesure 4 m de long. Sur le plan, elle trace un segment de 8 cm pour représenter cette longueur.
🎯 Essaie d'abord !
En passant tout en centimètres (4 m = 400 cm), quel est le rapport k entre le plan et la vraie chambre ?
Étape 2 sur 3
⭐ À savoir par cœur
Rapport k = longueur sur l'image ÷ longueur réelle (avec la même unité des deux côtés).
• k > 1 → agrandissement
• 0 < k < 1 → réduction
Rapport k = longueur sur l'image ÷ longueur réelle (avec la même unité des deux côtés).
• k > 1 → agrandissement
• 0 < k < 1 → réduction
Ici : k = 8 ÷ 400 = 0,02. C'est une réduction — normal, un plan est toujours plus petit que la réalité.
Étape 3 sur 3
Une fois k connu, on l'applique à toutes les longueurs :
Un mur de la chambre mesure 3 m dans la réalité. Rapport k = 0,02.
Longueur sur le plan = 3 m × 0,02 = 0,06 m = 6 cm
🎯 Essaie d'abord !
Un rectangle de 4 cm de long est agrandi : son image mesure 10 cm de long. Quel est le rapport k ?
🏆 Bilan de la notion
Tu sais trouver le rapport k d'un plan, d'une photo ou d'une maquette, et l'utiliser pour calculer une longueur réelle ou une longueur réduite.
Étape 1 sur 3
Tu connais maintenant toutes les transformations du collège. Reviens un instant sur la translation : elle va beaucoup servir en physique et au lycée. Sur la figure, elle se dessine avec une flèche, de A vers A'.
🎯 Essaie d'abord !
Lis la flèche : horizontalement, de combien de carreaux se déplace-t-on, et dans quel sens ?
🖐️ Manipule le vecteur
Fais glisser la pointe de la flèche avec le doigt : le bateau glisse en direct, dans la même direction et le même sens que le vecteur.
Étape 2 sur 3
5 carreaux vers la droite, 3 carreaux vers le haut : avec ces deux nombres, tu as retrouvé les 3 informations d'une translation — sa direction (la pente de la flèche), son sens (vers la droite et vers le haut) et sa longueur.
Cette flèche a un nom : c'est un vecteur. Le vecteur qui envoie A sur A' se note AA' (une petite flèche au-dessus, à l'écrit), et on l'écrit aussi avec ses deux nombres : t(5 ; 3).
Cette flèche a un nom : c'est un vecteur. Le vecteur qui envoie A sur A' se note AA' (une petite flèche au-dessus, à l'écrit), et on l'écrit aussi avec ses deux nombres : t(5 ; 3).
⭐ À savoir par cœur
Un vecteur, c'est exactement les 3 informations de la translation : direction, sens, longueur. Rien de nouveau — juste un nouveau mot, et une écriture : t(dx ; dy), le premier nombre pour l'horizontale (droite +, gauche −), le second pour la verticale (haut +, bas −).
Un vecteur, c'est exactement les 3 informations de la translation : direction, sens, longueur. Rien de nouveau — juste un nouveau mot, et une écriture : t(dx ; dy), le premier nombre pour l'horizontale (droite +, gauche −), le second pour la verticale (haut +, bas −).
🔭 Ouverture : en physique, un vecteur représente souvent une force (sa direction, son sens, et sa mesure en Newton). Pour parler de sa « longueur » quelle que soit la matière, on dit sa norme. Tu en entendras beaucoup parler au lycée — pas la peine de t'en inquiéter maintenant.
Étape 3 sur 3
Exemple : le vecteur t(3 ; −2) veut dire : 3 vers la droite, 2 vers le bas.
🎯 À toi de jouer !
Le vecteur t(3 ; −2) (3 carreaux vers la droite, 2 vers le bas) est fixé. Fais glisser le bateau bleu jusqu'à sa bonne image, puis relâche pour vérifier.
🎯 Essaie d'abord !
Un vecteur va de 4 vers la gauche et 1 vers le haut. Comment le note-t-on ?
🏆 Bilan de la notion
Tu sais lire un vecteur sur une figure (direction, sens, longueur), l'écrire t(dx ; dy), et tu sais que « norme » est un autre mot pour sa longueur — utile en physique et au lycée.
Avant de passer à la pratique, voici ce que tu as vu dans ce chapitre :
⭐ L'essentiel à retenir
Caractériser une transformation, c'est dire son nom ET ses paramètres. L'homothétie (centre O, rapport k) rapproche ou éloigne un point : k>0 garde le même côté de O, k<0 passe de l'autre côté. Elle conserve les angles et les alignements, mais PAS les longueurs (×k), ni les aires (×k²), ni les volumes (×k³).
Caractériser une transformation, c'est dire son nom ET ses paramètres. L'homothétie (centre O, rapport k) rapproche ou éloigne un point : k>0 garde le même côté de O, k<0 passe de l'autre côté. Elle conserve les angles et les alignements, mais PAS les longueurs (×k), ni les aires (×k²), ni les volumes (×k³).
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te donne ses tuyaux avant le contrôle :
Pour toute transformation, le canevas est toujours le même :
① Identifier / caractériser la transformation (et ses paramètres)
② Appliquer la formule ou la construction, étape par étape
③ Conclure avec les coordonnées ou les mesures de l'image
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque seul.
Pour toute transformation, le canevas est toujours le même :
① Identifier / caractériser la transformation (et ses paramètres)
② Appliquer la formule ou la construction, étape par étape
③ Conclure avec les coordonnées ou les mesures de l'image
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque seul.
Exercice 1 — très guidé
Imane observe une figure et son image après une translation de vecteur t(−3 ; 4). Le point de départ est A(2 ; 1).
① Caractérise la transformation avec la phrase-type.
② Applique la formule pour trouver A'.
③ Conclus avec les coordonnées de A'.
① Caractérise la transformation avec la phrase-type.
② Applique la formule pour trouver A'.
③ Conclus avec les coordonnées de A'.
💡 Commence par nommer la transformation avec la phrase-type : « A' est l'image de A par la … de vecteur … ».
✏️ Brouillon (facultatif)
Exercice — Sur la feuille numérique
1. La rotation de 90° dans le sens direct autour de O(0 ; 0) envoie B(−2 ; 3) sur B'. Donne les coordonnées de B' et caractérise cette transformation par une phrase.
2. L'homothétie de centre O(0 ; 0) et de rapport k = −2 envoie C(2 ; −1) sur C'. Donne les coordonnées de C'.
3. Un segment de 5 cm subit cette même homothétie (k = −2). Quelle est la longueur de son image ? Justifie.
Pour chaque question : identifie/caractérise la transformation, applique la formule, conclus.
2. L'homothétie de centre O(0 ; 0) et de rapport k = −2 envoie C(2 ; −1) sur C'. Donne les coordonnées de C'.
3. Un segment de 5 cm subit cette même homothétie (k = −2). Quelle est la longueur de son image ? Justifie.
Pour chaque question : identifie/caractérise la transformation, applique la formule, conclus.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.