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Théorème de Thalès
4ème — Introduction
Situation
Une ombre portée d'un arbre sur le sol : la lumière du soleil crée des rayons parallèles.
Comment calculer la hauteur de l'arbre sans monter dedans ?
À savoir par cœur
Configuration de Thalès : un point O, deux droites sécantes en O,
et deux droites parallèles coupant ces sécantes.
À savoir par cœur
Si (BC) // (B'C'), alors :
OBOB' = OCOC' = BCB'C'
OBOB' = OCOC' = BCB'C'
Exemple
OB = 3, OB' = 5, BC = 4. Calculer B'C'.
BCB'C' = OBOB' donc B'C' = BC × OB'OB = 4 × 53 ≈ 6,67.
BCB'C' = OBOB' donc B'C' = BC × OB'OB = 4 × 53 ≈ 6,67.
L'essentiel
Ombre d'un arbre, hauteur d'un bâtiment par miroir, plans et maquettes :
cherche toujours les deux droites parallèles et le point de convergence.
cherche toujours les deux droites parallèles et le point de convergence.
Le conseil du grand frère
① Justifie : (BC) // (B'C') car…
② Invoque : d'après le théorème de Thalès,
③ Écris : OBOB' = OCOC' = BCB'C'
④ Calcule la longueur inconnue en isolant.
② Invoque : d'après le théorème de Thalès,
③ Écris : OBOB' = OCOC' = BCB'C'
④ Calcule la longueur inconnue en isolant.
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Léa veut connaître la hauteur d'un poteau électrique sans y grimper. Elle plante verticalement un bâton devant le poteau, bien aligné avec lui et avec le soleil. Les rayons du soleil, parallèles entre eux, rasent le sommet du bâton et le sommet du poteau ; leurs ombres se rejoignent en un même point O au sol.
Sur ton cahier, trace la figure suivante (elle n'est pas à l'échelle) : place un point O, puis deux demi-droites issues de O formant un angle d'environ 30°. Sur l'une des deux demi-droites, place le point B (pied du bâton), puis, plus loin dans son prolongement, le point B' (pied du poteau) — indique OB = 3 m et OB' = 9 m. Sur l'autre demi-droite, place le point C (sommet du bâton) à la même hauteur relative que B, puis le point C' (sommet du poteau), aligné avec O et B'. Trace les segments [BC] (le bâton) et [B'C'] (le poteau), et indique sur ta figure que (BC) est parallèle à (B'C') car les deux sont verticaux.
1. Quelle configuration de Thalès reconnais-tu dans cette figure ? Nomme le point commun aux deux droites sécantes, et les deux droites parallèles.
2. Sachant que le bâton BC mesure 1,6 m, calcule la hauteur réelle B'C' du poteau.
3. Rédige la solution complète en suivant le canevas vu en cours : justifie le parallélisme, invoque le théorème de Thalès, écris l'égalité des rapports, puis mène le calcul en cascade jusqu'au résultat avec son unité.
Sur ton cahier, trace la figure suivante (elle n'est pas à l'échelle) : place un point O, puis deux demi-droites issues de O formant un angle d'environ 30°. Sur l'une des deux demi-droites, place le point B (pied du bâton), puis, plus loin dans son prolongement, le point B' (pied du poteau) — indique OB = 3 m et OB' = 9 m. Sur l'autre demi-droite, place le point C (sommet du bâton) à la même hauteur relative que B, puis le point C' (sommet du poteau), aligné avec O et B'. Trace les segments [BC] (le bâton) et [B'C'] (le poteau), et indique sur ta figure que (BC) est parallèle à (B'C') car les deux sont verticaux.
1. Quelle configuration de Thalès reconnais-tu dans cette figure ? Nomme le point commun aux deux droites sécantes, et les deux droites parallèles.
2. Sachant que le bâton BC mesure 1,6 m, calcule la hauteur réelle B'C' du poteau.
3. Rédige la solution complète en suivant le canevas vu en cours : justifie le parallélisme, invoque le théorème de Thalès, écris l'égalité des rapports, puis mène le calcul en cascade jusqu'au résultat avec son unité.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Entraînement libre, sans note.