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Symétrie centrale
5ème
Une nouvelle façon de déplacer une figure : non plus par rapport à une droite, mais par rapport à un point — le demi-tour.
Avant de commencer
Tu connais déjà la symétrie axiale (le pliage le long d'une droite). Dans ce chapitre, tu vas découvrir une transformation cousine — la symétrie centrale — apprendre à construire l'image d'un point ou d'une figure, et à repérer si une figure a elle-même un centre de symétrie. Prévois environ 35 minutes, coupées en plusieurs petites étapes.
Devine avant qu'on t'explique
Ces deux images ont chacune été obtenues à partir de la figure violette, avec une seule transformation. L'une par un pliage le long d'une droite, l'autre par un demi-tour autour d'un point. Laquelle est laquelle ?
Image 1
Image 2
Ce que tu viens de repérer
L'image 2 est obtenue par un demi-tour autour d'un point : chaque sommet « tourne » autour de ce point pour retomber de l'autre côté, à la même distance. L'image 1, elle, est un pliage le long d'une droite — c'est la symétrie axiale que tu connais depuis la 6ème.
Le mouvement de l'image 2 s'appelle la symétrie centrale : comme son nom l'indique, elle se fait par rapport à un centre, c'est-à-dire un point, et non plus une droite.
Le mouvement de l'image 2 s'appelle la symétrie centrale : comme son nom l'indique, elle se fait par rapport à un centre, c'est-à-dire un point, et non plus une droite.
Axiale : par rapport à une droite
Centrale : par rapport à un point
Le mouvement à retenir
Pour la symétrie centrale, le plus important est de comprendre le mouvement : le demi-tour. En réalité, on ne fait pas vraiment tourner la figure : on trace simplement un segment pour lequel on va retrouver l'autre extrémité, de l'autre côté du centre.
À savoir par cœur
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (l'axe) : c'est un pliage, l'image est retournée comme dans un miroir.
La symétrie centrale se fait par rapport à un point (le centre) : c'est un demi-tour, la figure change de place sans être retournée.
La symétrie centrale se fait par rapport à un point (le centre) : c'est un demi-tour, la figure change de place sans être retournée.
✅ Bilan — ce qu'il faut retenir
- La symétrie axiale se fait par rapport à une droite ; la symétrie centrale se fait par rapport à un point.
- Le mouvement de la symétrie centrale, c'est le demi-tour autour du centre.
Essaie d'abord
Sur le quadrillage, O est 2 carreaux à droite et 1 carreau en haut de A. Le point A' est le symétrique de A par rapport à O. D'après toi, où se trouve A' par rapport à O ?
Caractériser, c'est quoi ?
Tu viens de retrouver A' en refaisant, à partir de O, exactement le même déplacement que celui qui va de A vers O. C'est exactement la méthode de construction de la symétrie centrale.
Savoir construire une symétrie, c'est important. Savoir la caractériser, c'est encore plus important. Caractériser, c'est décrire une chose avec les éléments qui suffisent à ne la confondre avec aucune autre — comme ton nom, ton prénom, ton âge et ta classe suffisent à te distinguer de n'importe quel autre élève.
Savoir construire une symétrie, c'est important. Savoir la caractériser, c'est encore plus important. Caractériser, c'est décrire une chose avec les éléments qui suffisent à ne la confondre avec aucune autre — comme ton nom, ton prénom, ton âge et ta classe suffisent à te distinguer de n'importe quel autre élève.
Pour une symétrie centrale
Il suffit de connaître deux éléments : le centre de symétrie et le point de départ.
On dira par exemple que A' est le symétrique de A par rapport au point O. A' est l'image de A : on l'obtient à partir de A en tournant d'un demi-tour autour de O.
On dira par exemple que A' est le symétrique de A par rapport au point O. A' est l'image de A : on l'obtient à partir de A en tournant d'un demi-tour autour de O.
À savoir par cœur
A' est le symétrique de A par rapport à O ⟺ O est le milieu du segment [AA'].
Construction à la règle : trace la droite (OA), place A' sur cette droite tel que OA' = OA, de l'autre côté de O.
Construction sur quadrillage : repère le déplacement de A vers O, puis refais exactement ce même déplacement à partir de O.
Construction à la règle : trace la droite (OA), place A' sur cette droite tel que OA' = OA, de l'autre côté de O.
Construction sur quadrillage : repère le déplacement de A vers O, puis refais exactement ce même déplacement à partir de O.
✅ Bilan — ce qu'il faut retenir
- Une symétrie centrale se caractérise par deux éléments : le centre O et un point de départ.
- A' symétrique de A par rapport à O ⟺ O milieu de [AA'].
- Sur quadrillage : le déplacement de A vers O, refait une deuxième fois à partir de O, donne A'.
Devine avant qu'on t'explique
Le triangle ABC ci-dessous a un périmètre de 12 cm. On construit A'B'C', son symétrique par rapport à O (chaque sommet a été transformé). D'après toi, quel est le périmètre de A'B'C', sans le mesurer ?
Comment on construit l'image d'une figure
Pour construire le symétrique d'une figure, on applique la symétrie centrale à chaque sommet (A, B, C deviennent A', B', C'), puis on relie les images dans le même ordre que la figure de départ.
Une transformation qui permet de déduire
Tu viens de trouver le périmètre de A'B'C' sans rien mesurer : la symétrie centrale permet de déduire des choses. Et qui dit déduire, dit propriété.
Quand tu appliques une symétrie centrale à un polygone, le nouveau polygone a exactement le même périmètre, les mêmes aires et les mêmes angles que le polygone de départ. C'est ce qu'on appelle la propriété de conservation.
Quand tu appliques une symétrie centrale à un polygone, le nouveau polygone a exactement le même périmètre, les mêmes aires et les mêmes angles que le polygone de départ. C'est ce qu'on appelle la propriété de conservation.
⚠️ Attention à une confusion fréquente : contrairement à la symétrie axiale (qui « retourne » la figure comme dans un miroir), la symétrie centrale ne retourne rien. Après un vrai demi-tour, le sens de la figure (l'ordre dans lequel on tourne autour d'elle) reste le même : ce n'est pas une propriété qui « change », c'est aussi une propriété conservée.
À savoir par cœur
La symétrie centrale conserve : les longueurs, le périmètre, les aires, les angles, le parallélisme et le sens de la figure.
Seule la position change : la figure image se retrouve « de l'autre côté » du centre O.
Seule la position change : la figure image se retrouve « de l'autre côté » du centre O.
✅ Bilan — ce qu'il faut retenir
- Pour construire l'image d'une figure : appliquer la symétrie à chaque sommet, puis relier dans le même ordre.
- La symétrie centrale conserve longueurs, périmètre, aires, angles et sens — seule la position change.
Essaie d'abord
ABCD est un parallélogramme, ses diagonales [AC] et [BD] sont tracées. D'après toi, où se trouve son centre de symétrie (le point O tel qu'un demi-tour autour de O renvoie la figure sur elle-même) ?
Une figure qui a son propre centre
Certaines figures ont un point O tel qu'un demi-tour autour de O renvoie la figure sur elle-même. On dit que O est le centre de symétrie de cette figure — c'est exactement ce que tu viens de retrouver pour le parallélogramme.
À savoir par cœur
O est un centre de symétrie d'une figure si, après un demi-tour de 180° autour de O, la figure se superpose à elle-même.
Le parallélogramme a toujours un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Pour vérifier : O doit être à la fois le milieu de [AC] et le milieu de [BD].
Le parallélogramme a toujours un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Pour vérifier : O doit être à la fois le milieu de [AC] et le milieu de [BD].
✅ Bilan — ce qu'il faut retenir
- O est centre de symétrie d'une figure si le demi-tour autour de O la renvoie sur elle-même.
- Pour un quadrilatère : vérifier que O est le milieu des deux diagonales.
Tout ce que tu as vu dans ce chapitre
- Axiale vs centrale : la symétrie centrale se fait par rapport à un point (le centre), avec le mouvement du demi-tour.
- Définition et construction : A' symétrique de A par rapport à O ⟺ O milieu de [AA'] ; sur quadrillage, le déplacement de A vers O refait à partir de O donne A'.
- Figure et propriétés : on transforme chaque sommet puis on relie dans le même ordre ; longueurs, périmètre, aires, angles et sens sont conservés.
- Centre de symétrie : un point O tel que le demi-tour renvoie la figure sur elle-même ; pour un parallélogramme, c'est l'intersection des diagonales.
Le conseil du grand frère
① Identifie le centre O et le premier sommet à transformer.
② Pour chaque sommet A : trace la droite (OA) et place A' sur cette droite tel que OA' = OA, de l'autre côté de O.
③ Relie les images dans le même ordre que la figure de départ.
④ Vérifie : le périmètre et les angles de la figure obtenue doivent être identiques à ceux de la figure de départ.
② Pour chaque sommet A : trace la droite (OA) et place A' sur cette droite tel que OA' = OA, de l'autre côté de O.
③ Relie les images dans le même ordre que la figure de départ.
④ Vérifie : le périmètre et les angles de la figure obtenue doivent être identiques à ceux de la figure de départ.
Exercice 1 — très guidé
Placer un point O au centre de la feuille. Placer un triangle ABC : A à 3 carreaux à gauche et 1 carreau au-dessus de O ; B à 4 carreaux à gauche et 2 carreaux en dessous de O ; C à 1 carreau à gauche et 3 carreaux en dessous de O.
1. Construire A', B' et C', symétriques de A, B et C par rapport à O.
2. Relier A'B'C' dans le même ordre que ABC. Que peut-on dire des longueurs des côtés et des angles de A'B'C' par rapport à ceux de ABC ? Justifier.
1. Construire A', B' et C', symétriques de A, B et C par rapport à O.
2. Relier A'B'C' dans le même ordre que ABC. Que peut-on dire des longueurs des côtés et des angles de A'B'C' par rapport à ceux de ABC ? Justifier.
💡 ① Repère le centre O et le premier sommet à transformer (A).
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Sur ton cahier à carreaux, place un point O. Place un point A situé à 4 carreaux à droite de O et 1 carreau au-dessus. Place un point B situé à 1 carreau à droite de O et 3 carreaux au-dessus.
1. Construis le point A', symétrique de A par rapport à O, puis le point B', symétrique de B par rapport à O.
2. Trace le quadrilatère ABA'B' (dans cet ordre). Sans mesurer, compare les longueurs AB et A'B'. Justifie en utilisant une propriété de la symétrie centrale.
3. O est-il un centre de symétrie du quadrilatère ABA'B' ? Justifie ta réponse.
4. Ce quadrilatère a-t-il aussi un axe de symétrie ? Explique comment tu peux répondre à cette question.
1. Construis le point A', symétrique de A par rapport à O, puis le point B', symétrique de B par rapport à O.
2. Trace le quadrilatère ABA'B' (dans cet ordre). Sans mesurer, compare les longueurs AB et A'B'. Justifie en utilisant une propriété de la symétrie centrale.
3. O est-il un centre de symétrie du quadrilatère ABA'B' ? Justifie ta réponse.
4. Ce quadrilatère a-t-il aussi un axe de symétrie ? Explique comment tu peux répondre à cette question.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.