🌡📍

Nombres relatifs
Repérage
5ème

Découvrir les nombres positifs et négatifs, les placer sur la droite graduée, comparer, et repérer dans le plan.
Durée estimée : 3 à 4 séances.

🌡 Positifs et négatifs

La leçon — étape 1 sur 5
🌡 C'est l'hiver. Le thermomètre affiche 3 °C.
La température baisse de 5 degrés.
🎯 Essaie d'abord !
3 − 5 = ? D'après toi, quelle température fait-il maintenant ?
La leçon — étape 2 sur 5
Et oui : 3 − 5 ne peut pas s'écrire avec un nombre positif. Il fait −2 °C : en dessous de zéro.

💳 Autre exemple : un compte en banque affiche 50 €.
On retire 70 €. Le compte passe à −20 € : il est à découvert, en dessous de zéro.
Les nombres positifs ne suffisent plus !

On regroupe tous ces nombres, positifs ou négatifs, décimaux ou non, dans une famille : les nombres relatifs. « Relatif » veut dire qu'on compare toujours le nombre par rapport à zéro.

🎬 Le savais-tu ? Une idée longtemps refusée en Europe ▶
Pendant des siècles, les mathématiciens européens ont refusé d'accepter les nombres négatifs : comment un nombre pourrait-il être « plus petit que rien » ? On les appelait parfois des nombres « absurdes » ou « fictifs ».

Pourtant, en Chine, dès le début de notre ère, on utilisait déjà des baguettes de calcul de deux couleurs pour représenter les gains et les dettes. En Inde, des mathématiciens comme Brahmagupta posaient dès le 7e siècle des règles de calcul sur les nombres négatifs, notamment pour représenter des dettes.

Il a fallu attendre le 17e, et surtout le 19e siècle, pour que les nombres relatifs soient pleinement acceptés par les mathématiciens européens.
La leçon — étape 3 sur 5
Un nombre relatif a un signe :

➕ +3 ou 3 : nombre positif (au-dessus de zéro)
➖ −2 : nombre négatif (en dessous de zéro)
⚫ 0 : ni positif ni négatif (la frontière)
Signe + ou −
Partie numérique
La leçon — étape 4 sur 5
Chaque nombre relatif a deux parties :
• Le signe : + ou −
• La distance à zéro : le nombre sans son signe

Exemple : −7 → signe −, distance à zéro 7.

⚠️ −3 et 3 sont deux nombres différents : de part et d'autre du zéro !

À savoir par cœurUn nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro. Positif = au-dessus de zéro, négatif = en dessous.
📋 Bilan
  • Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro.
  • Positif = au-dessus de zéro, négatif = en dessous, 0 = ni l'un ni l'autre.

📏 La droite graduée

La leçon — étape 1 sur 4
Tu connais la droite graduée avec les nombres positifs. Mais un nombre négatif comme −2, d'après toi, il irait où ?
🎯 Essaie d'abord !
Sur la droite graduée, où se trouve −2 ?
La leçon — étape 2 sur 4
Et voilà : la droite graduée se prolonge vers la gauche pour les nombres négatifs.
0 −4 −3 −2 −1 +1 +2 +3 +4 négatifs positifs
Plus à gauche = plus petit
Plus à droite = plus grand
La leçon — étape 3 sur 4
Méthode pour placer −3 :
① Repérer le 0.
② Signe − → aller vers la gauche.
③ Compter 3 graduations.
④ Marquer le point.
À savoir par cœurSigne − → vers la gauche. Signe + → vers la droite. Plus à droite = plus grand.
📋 Bilan
  • Les positifs sont à droite de zéro, les négatifs à gauche.
  • Plus on est à droite, plus le nombre est grand.

🔄 L'opposé d'un nombre

La leçon — étape 1 sur 4
Imagine que le zéro est un miroir. D'après toi, quel nombre apparaît en face de −9 dans ce miroir ?
🎯 Essaie d'abord !
Quel est l'opposé de −9 ?
La leçon — étape 2 sur 4
Exactement, +9 ! Le zéro est un miroir. De chaque côté, un « jumeau » :
• Jumeau de +3 : −3
• Jumeau de −7 : +7
• Jumeau de 0 : 0

Ces jumeaux sont des opposés. Leur somme fait 0.
(+3) + (−3) = 0
Donc +3 et −3 sont opposés.
La leçon — étape 3 sur 4
Règle : pour trouver l'opposé, changer le signe.

• Opposé de +5 : −5
• Opposé de −2,4 : +2,4
• Opposé de 0 : 0

⚠️ Opposé de −6 = +6. Un négatif devient positif !

À savoir par cœurPour trouver l'opposé d'un nombre, on change son signe. Un nombre et son opposé ont toujours une somme de 0.
📋 Bilan
  • Deux nombres opposés ont la même distance à zéro mais un signe différent.
  • Leur somme fait toujours 0.

⚖️ Comparer et ranger

La leçon — étape 1 sur 4
🛗 Dans un ascenseur, tu sais que deux est plus grand que un — ça, c'est habituel.

Mais d'après toi, entre quelqu'un au niveau −2 et quelqu'un au niveau −1, qui est le plus bas ?
🎯 Essaie d'abord !
Qui est le plus bas dans l'ascenseur ?
La leçon — étape 2 sur 4
Eh oui ! Quand tu es au niveau −2, tu es plus bas que quand tu es au niveau −1. Comparer des nombres relatifs, c'est contre-intuitif : pour les négatifs, on inverse nos habitudes.

🌡 Températures d'hiver :
Moscou −15 °C · Paris +2 °C · Oslo −8 °C · Alger +10 °C · Berlin −3 °C
Tout positif > tout négatif
Deux positifs : comme d'habitude
Deux négatifs : c'est l'inverse !

−3 > −15 car −3 est plus proche de zéro (plus à droite).

⚠️ Ça peut encore se compliquer avec des nombres décimaux relatifs, ou même des fractions relatives — les décimaux arrivent un peu plus loin dans ce parcours, les fractions plus tard dans l'année.

La leçon — étape 3 sur 4
Exemple : comparer −7 et −3

Deux négatifs → distances à zéro : 7 et 3.
7 > 3 donc −7 est plus loin vers la gauche = plus petit.
Conclusion : −7 < −3.

⚠️ −15 n'est PAS plus grand que −3. Penser au thermomètre !

✍️ Comment rédiger :
• < veut dire « est plus petit que » → le plus petit à gauche
• > veut dire « est plus grand que » → le plus grand à gauche

Ordre croissant (du plus petit au plus grand) : on utilise <
Exemple : −15 < −8 < −3 < +2 < +10

Ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : on utilise >
Exemple : +10 > +2 > −3 > −8 > −15
À savoir par cœurTout positif est plus grand que tout négatif. Entre deux négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand.
📋 Bilan
  • Un positif est toujours plus grand qu'un négatif.
  • Entre deux négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand.

📏 Distance à zéro

La leçon — étape 1 sur 4
🐜 Deux fourmis partent du 0.
Fourmi A va au point +7.
Fourmi B va au point −9.
🎯 Essaie d'abord !
D'après toi, laquelle des deux fourmis a parcouru le plus long chemin ?
La leçon — étape 2 sur 4
Exactement : la fourmi B est plus loin (9 unités parcourues contre 7), même si elle est du côté négatif !

Cette idée a un nom : la distance à zéro, aussi appelée valeur absolue. C'est tout simplement la valeur d'un nombre sans regarder son signe.
Distance à zéro (valeur absolue) = nombre sans le signe
La leçon — étape 3 sur 4
• Distance à zéro de +7 : 7
• Distance à zéro de −9 : 9
• Distance à zéro de −3,5 : 3,5
• Distance à zéro de 0 : 0

Deux opposés ont la même distance à zéro.

Préfères-tu avoir 5 € ou −5 € sur ton compte en banque ? Ce ne sont pas les mêmes nombres — mais ils ont la même distance à zéro : 5.

À savoir par cœurLa distance à zéro (valeur absolue) d'un nombre, c'est ce nombre sans son signe. Deux opposés ont la même distance à zéro.
📋 Bilan
  • La distance à zéro (valeur absolue) d'un nombre, c'est ce nombre sans son signe.
  • Deux opposés ont toujours la même distance à zéro.

📍 Repérage dans le plan

La leçon — étape 1 sur 5
Tu sais repérer un nombre relatif sur une droite graduée. Mais un point qui n'est pas sur cette droite — par exemple, un point situé au-dessus et à droite du zéro — comment le repérer ?
🎯 Essaie d'abord !
D'après toi, de combien de nombres a-t-on besoin pour repérer un point dans le plan ?
La leçon — étape 2 sur 5
Exactement, il faut deux nombres ! Tu connais déjà la droite graduée horizontale, sur laquelle tu places tes nombres relatifs. On va l'accompagner d'une seconde droite graduée, verticale cette fois — elle passe elle aussi par le même zéro, et respecte les mêmes conventions.

Pour distinguer les deux droites : l'horizontale est la droite des abscisses, la verticale est la droite des ordonnées. Ensemble, elles forment un repère cartésien.

🎬 Le savais-tu ? D'où vient le mot « cartésien » ▶
Ce nom vient de René Descartes, mathématicien et philosophe français du 17e siècle. C'est lui qui a eu l'idée de repérer un point du plan grâce à deux nombres, en utilisant deux droites graduées perpendiculaires. D'où le nom de repère « cartésien », en son honneur.
La leçon — étape 3 sur 5
Les nombres de la droite des abscisses s'appellent des abscisses, ceux de la droite des ordonnées s'appellent des ordonnées. N'importe quel point du plan peut — et doit — être repéré par son abscisse et son ordonnée.

🗺 Vois ça comme une adresse : chaque point a une adresse composée d'un couple de nombres — son abscisse et son ordonnée.
−2 −1 1 2 3 1 2 3 −1 −2 O x y abscisses ordonnées A(3;−2) B(2;3)

Pour lire l'abscisse d'un point, marche perpendiculairement vers l'axe des abscisses. Pour lire son ordonnée, marche perpendiculairement vers l'axe des ordonnées. Le mieux est de manipuler pour comprendre : place un point où tu veux sur un repère, et entraîne-toi à lire ses deux nombres.

La leçon — étape 4 sur 5
Pour placer un point :
① Partir de O.
② Abscisse : droite (+) ou gauche (−).
③ Ordonnée : haut (+) ou bas (−).

Pour écrire les coordonnées d'un point, on met une parenthèse, et on écrit toujours l'abscisse en premier, l'ordonnée en second.

⚠️ Abscisse avant Ordonnée (A avant O dans l'alphabet).

Ces repères te serviront bientôt, notamment pour construire des graphiques.

À savoir par cœurUn point se repère par deux nombres : son abscisse (horizontale) puis son ordonnée (verticale), toujours dans cet ordre.
🎯 Vérifie que tu as compris !
Abscisse −3, ordonnée +1. Coordonnées ?
📋 Bilan
  • Un point du plan se repère par deux nombres : son abscisse et son ordonnée.
  • On les écrit toujours dans cet ordre : (abscisse ; ordonnée).

Entraînement

✏️ Brouillon (facultatif)

🏆 Bilan du chapitre

📋 Ce que tu as appris
  • Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro.
  • Sur la droite graduée, les positifs sont à droite, les négatifs à gauche.
  • Deux nombres opposés ont la même distance à zéro, un signe différent, et une somme de 0.
  • Un positif est toujours plus grand qu'un négatif ; entre deux négatifs, le plus proche de zéro est le plus grand.
  • La distance à zéro (valeur absolue), c'est le nombre sans son signe.
  • Un point du plan se repère par deux nombres : son abscisse puis son ordonnée.

📝 Exercice de synthèse

Exercice de synthèse — rédiger en autonomie :
Sur la droite graduée, placer les nombres suivants : +3, −2, +0,5, −4,5.

Ranger ces nombres du plus petit au plus grand.

📸 Photographier la copie quand c'est fini.

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

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