✕✖
Nombres relatifs
Multiplier, diviser — 4ème
Tu sais déjà additionner et soustraire des nombres relatifs. Aujourd'hui : les multiplier et les diviser — et mélanger tout ça avec les priorités que tu connais.
Avant de commencer — un petit rappel
Deux calculs éclairs, juste pour vérifier que l'addition et la soustraction des relatifs sont encore fraîches (vues l'an dernier).
1) 5 − (−2) = ?
2) −4 − 3 + 5 = ?
Un trou dans la mémoire ? Le chapitre « Addition et soustraction des relatifs » (5ème) reste à disposition depuis le menu.
Et pour multiplier ?
Une multiplication, c'est une succession d'additions
3 × 4, c'est additionner 3 quatre fois : 3 + 3 + 3 + 3. Et −3 × 4, d'après toi, ça donnerait quoi comme addition ?
On développe ensemble
−3 × 4 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3)
Ces 4 termes ont-ils le même signe ?
À savoir par cœur
Distances à zéro : 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Les 4 termes sont négatifs, donc le résultat l'est aussi : −3 × 4 = −12.
Un raccourci possible ?
On a trouvé −3 × 4 = −12 en développant l'addition. Mais c'est long…
Et si on faisait plutôt 4 × 3 = 12, puis qu'on mettait un signe moins devant ? Encore plus rapide, non ?
Ça continue juste après
La multiplication répétée donne toujours le bon résultat, mais elle est longue. Il existe un raccourci basé sur le signe — on le formalise dans la notion suivante.
Devine avant de calculer
Pour chaque produit, propose seulement le signe du résultat (pas la valeur) :
(+4) × (+2)
(−4) × (−2)
(+4) × (−2)
(−4) × (+2)
On vérifie
(+4) × (+2) = 4 + 4 = 8 → signe +
(−4) × (+2) = (−4) + (−4) = −8 → signe − (on additionne −4 deux fois, comme à la notion précédente)
(+4) × (−2) : « additionner 4 moins deux fois » n'a pas de sens. Mais l'ordre des facteurs ne change pas un produit : (+4) × (−2) = (−2) × (+4) = (−2) + (−2) + (−2) + (−2) = −8 → signe −
(−4) × (−2) : aucune addition répétée possible. On regarde la suite régulière : (−2) × 4 = −8, (−2) × 3 = −6, (−2) × 2 = −4, (−2) × 1 = −2, (−2) × 0 = 0 … le résultat augmente de 2 à chaque fois. En continuant : (−2) × (−1) = 2, (−2) × (−2) = 4, (−2) × (−3) = 6, (−2) × (−4) = 8. Donc (−4) × (−2) = +8 → signe +
(−4) × (+2) = (−4) + (−4) = −8 → signe − (on additionne −4 deux fois, comme à la notion précédente)
(+4) × (−2) : « additionner 4 moins deux fois » n'a pas de sens. Mais l'ordre des facteurs ne change pas un produit : (+4) × (−2) = (−2) × (+4) = (−2) + (−2) + (−2) + (−2) = −8 → signe −
(−4) × (−2) : aucune addition répétée possible. On regarde la suite régulière : (−2) × 4 = −8, (−2) × 3 = −6, (−2) × 2 = −4, (−2) × 1 = −2, (−2) × 0 = 0 … le résultat augmente de 2 à chaque fois. En continuant : (−2) × (−1) = 2, (−2) × (−2) = 4, (−2) × (−3) = 6, (−2) × (−4) = 8. Donc (−4) × (−2) = +8 → signe +
Compare avec tes hypothèses de signe : le cas «−×−» est souvent le plus surprenant !
À savoir par cœur
Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit de leurs distances à zéro. Il reste à trouver le signe : même signe → produit positif. Signes différents → produit négatif.
Cas particulier
Multiplier par (−1) revient à prendre l'opposé du nombre : (−1) × 5 = −5, et (−6) × (−1) = +6.
Exemple rédigé
A = (−4) × (−2)
Signe : deux facteurs négatifs → même signe → produit positif
Valeur : 4 × 2 = 8
A = 8
Bilan de la notion
Pour un produit de deux relatifs : distance à zéro = produit des distances à zéro. Signe : même signe → +, signes différents → −. Et multiplier par (−1), c'est prendre l'opposé.
Entraînement
Une idée pour aller plus vite ?
(−5) × (+6) × (−2) × (−10)
D'après toi, comment savoir vite si le résultat est positif ou négatif, sans tout calculer ?
À savoir par cœur
Avec plusieurs facteurs relatifs, on compte le nombre de facteurs négatifs. S'il est pair, le résultat est positif. S'il est impair, le résultat est négatif. Pour la valeur, on multiplie toutes les distances à zéro.
Cas particuliers à repérer
0 × a = 0 (dès qu'un facteur est nul, tout le produit vaut 0 — même avec plein d'autres facteurs). 1 × a = a. (−1) × a = −a (l'opposé de a).
Exemple rédigé
(−5) × (+6) × (−2) × (−10)
Facteurs négatifs : −5, −2, −10 → 3 facteurs négatifs (nombre impair)
Impair → résultat négatif
Distances à zéro : 5 × 6 × 2 × 10 = 600
= −600
Bilan de la notion
On compte les facteurs négatifs : pair → +, impair → −. Et deux réflexes à avoir : un facteur 0 rend tout le produit nul, un facteur 1 ne change rien.
Entraînement
Un produit à trou
7 × … = −35
Quel est le nombre manquant ?
On compare
7 × (−5) = −35, donc (−35) ÷ 7 = −5 : diviseur positif, dividende négatif → quotient négatif (signes différents).
(−6) × 7 = −42, donc (−42) ÷ (−6) = 7 : diviseur négatif, dividende négatif → quotient positif (même signe).
(−6) × 7 = −42, donc (−42) ÷ (−6) = 7 : diviseur négatif, dividende négatif → quotient positif (même signe).
Même signe → quotient positif. Signes différents → quotient négatif : exactement la même règle que pour la multiplication !
À savoir par cœur
Le quotient de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le quotient de leurs distances à zéro. Le signe suit la même règle que la multiplication : même signe → quotient positif, signes différents → quotient négatif.
Deux points de vigilance
On ne divise jamais par 0. Et déplacer le signe ne change pas le résultat :
−ab = a−b = −ab.
Exemple rédigé
B = −5−3
Signe : même signe (deux négatifs) → quotient positif
Valeur : 5 ÷ 3
B = 53
Bilan de la notion
Pour un quotient de deux relatifs : même règle de signe que la multiplication, et distance à zéro = quotient des distances à zéro. Jamais de division par 0 — et déplacer le signe ne change pas le résultat.
Entraînement
Rappel express
Tu sais déjà lire 5 − 2 + 3 comme une somme de termes signés (+5, −2, +3). La règle se dit aussi : deux signes qui se suivent peuvent se remplacer par un seul (+ si identiques, − si différents).
Essaie : (+3) + (−5) + (+6)
Comment réécrire cette écriture, sans les parenthèses ni les signes d'addition ?
À savoir par cœur
Pour simplifier une somme de relatifs : on supprime les signes d'addition + et les parenthèses. Le signe qui reste devant chaque terme est son signe propre — sauf devant le tout premier terme, où un + disparaît complètement (un −, lui, reste visible). Attention : dans une multiplication ou une division, les parenthèses autour d'un nombre négatif restent — on écrit 2 × (−3), jamais 2 × −3.
Exemple rédigé
(+3) + (−5) + (+6)
On enlève les + d'addition et les parenthèses
Le premier terme est positif : son + disparaît
= 3 − 5 + 6
Bilan de la notion
Une somme simplifiée se lit comme une suite de termes signés : plus besoin de + ni de parenthèses, sauf pour le signe − qui reste toujours visible.
Entraînement
Essaie, en écrivant chaque étape
A = −42 ÷ 7 − (10 − 15) × 9
Tu connais déjà l'ordre (parenthèses puis × ÷ puis + −) et tu connais maintenant les règles de signe. Pose ton calcul ci-dessous, étape par étape.
On corrige ensemble, étape par étape
A = −42 ÷ 7 − (10 − 15) × 9
1) On commence par la parenthèse : 10 − 15 = −5.
A = −42 ÷ 7 − (−5) × 9
2) Puis la division et la multiplication (dans l'ordre où elles apparaissent) : −42 ÷ 7 = −6, et (−5) × 9 = −45.
A = −6 − (−45)
3) Il reste l'addition-soustraction finale : −6 − (−45) = −6 + 45 = 39.
A = 39
1) On commence par la parenthèse : 10 − 15 = −5.
A = −42 ÷ 7 − (−5) × 9
2) Puis la division et la multiplication (dans l'ordre où elles apparaissent) : −42 ÷ 7 = −6, et (−5) × 9 = −45.
A = −6 − (−45)
3) Il reste l'addition-soustraction finale : −6 − (−45) = −6 + 45 = 39.
A = 39
Compare avec ta tentative : as-tu respecté cet ordre-là ?
À savoir par cœur
L'ordre ne change pas avec les relatifs : parenthèses, puis × et ÷ (dans l'ordre d'écriture), puis + et −. Une fois l'ordre respecté, on applique à chaque étape les règles de signe déjà connues.
Méthode de rédaction
On souligne le calcul qu'on va faire en premier, puis on recopie toute la ligne en remplaçant ce qui était souligné par son résultat. Une ligne = une seule étape, jamais deux calculs à la fois.
Exemple rédigé en colonne
B = 8 − (2 − 9) × (−3)
= 8 − (−7) × (−3) (parenthèse : 2 − 9 = −7)
= 8 − 21 (multiplication : deux facteurs négatifs → 21)
= −13
Bilan de la notion
Les priorités que tu connaissais déjà s'appliquent toujours à l'identique : parenthèses, puis × ÷, puis + −. On y ajoute simplement les règles de signe vues dans ce chapitre, étape après étape, une ligne à la fois.
Entraînement
Une situation à traduire
Il fait −24,5 °C à Iakoutsk. À Aurillac, il fait 45,3 °C de plus qu'à Iakoutsk.
Quel calcul permet de trouver la température à Aurillac ?
On compare
« Plus chaud » se traduit par une addition : on ajoute l'écart. Le bon calcul est donc −24,5 + 45,3. Le piège fréquent : soustraire au lieu d'additionner, ou inverser le sens de l'écart (calculer comme si Iakoutsk était plus chaud qu'Aurillac).
Méthode
1) Je note ce que je connais (la température ou l'altitude de départ). 2) Je note ce que je cherche. 3) Je traduis « plus chaud / plus froid / plus haut / plus bas » par + ou −, du bon côté. Si la même variation se répète, je multiplie ; si une variation se partage en parts égales, je divise. 4) Je pose le calcul et je le résous.
Exemple rédigé
Il fait −24,5 °C à Iakoutsk. À Aurillac, il fait 45,3 °C de plus.
Connu : température à Iakoutsk = −24,5 °C
Cherché : température à Aurillac
« Plus chaud de » → addition : −24,5 + 45,3
= 20,8 °C à Aurillac
Bilan de la notion
Pour traduire un problème : je repère ce que je connais et ce que je cherche, je traduis « plus » ou « moins » en + ou − du bon côté (et une variation répétée, c'est une multiplication), puis je calcule. La même méthode marche pour une température, une altitude ou un solde bancaire.
Entraînement
Tout le chapitre en un coup d'œil
- Multiplier un relatif, c'est d'abord une addition répétée — mais il existe un raccourci basé sur le signe.
- Pour un produit : même signe → résultat positif, signes différents → résultat négatif.
- Avec plusieurs facteurs : on compte les facteurs négatifs — pair → positif, impair → négatif.
- La division suit exactement la même règle de signe que la multiplication. On ne divise jamais par 0.
- Une écriture simplifiée se lit comme une suite de termes signés, sans + ni parenthèses.
- Les priorités opératoires (parenthèses, × ÷, puis + −) s'appliquent toujours, avec les règles de signe en plus.
- Pour un problème : connu, cherché, traduire « plus/moins » en + ou −, puis calculer.
Le conseil du grand frère
Devant un calcul avec des relatifs et plusieurs opérations, trois réflexes suffisent presque toujours :
1. Je repère l'ordre — parenthèses, puis × ÷, puis + −. Rien ne change par rapport à ce que tu connaissais déjà.
2. Je souligne, je recopie — une ligne = une étape. Je souligne ce que je vais calculer, je recopie toute la ligne avec le résultat à la place.
3. Signe d'abord, valeur ensuite — pour chaque multiplication ou division, je décide du signe avant de calculer la distance à zéro. Ça évite d'oublier un signe en cours de route.
1. Je repère l'ordre — parenthèses, puis × ÷, puis + −. Rien ne change par rapport à ce que tu connaissais déjà.
2. Je souligne, je recopie — une ligne = une étape. Je souligne ce que je vais calculer, je recopie toute la ligne avec le résultat à la place.
3. Signe d'abord, valeur ensuite — pour chaque multiplication ou division, je décide du signe avant de calculer la distance à zéro. Ça évite d'oublier un signe en cours de route.
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Un plongeur descend explorer une épave. Il commence sa plongée au niveau de la mer (altitude 0 m). Il descend d'abord de 18 m, puis encore de 2 fois 7 m pour atteindre l'épave.
À quelle altitude se trouve l'épave ? Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne (le signe = en début de ligne), puis termine par une phrase de conclusion avec l'unité.
À quelle altitude se trouve l'épave ? Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne (le signe = en début de ligne), puis termine par une phrase de conclusion avec l'unité.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.