Un petit entraînement du week-end, sur ce qu'on a vu en classe : les règles des puissances, et une nouveauté — les exposants négatifs. Environ 30 minutes.
Tu sais déjà calculer a³ ou a⁵. Ici, tu vas apprendre à les combiner entre elles — et découvrir ce que veut dire un exposant négatif.
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1. Manipuler les règlesProduit, quotient, puissance de puissance, produit distribué
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2. Découvrir les puissances négativesLe quotient qui descend, l'exposant négatif comme inverse, puis le lien avec l'écriture décimale
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3. Automatismes mélangésToutes les règles, puis des calculs mixtes (fractions)
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4. Petit bilan + rédactionQuelques questions mélangées, puis une explication sur ton cahier
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🧮 Manipuler les règles
Règle 1 — le produit
2³ × 2², ça veut dire : trois 2 multipliés, fois deux 2 multipliés.
Touche le trait entre les deux groupes pour les réunir en un seul paquet.
Une fois réunis, combien de 2 sont multipliés en tout ?
2³ × 2² = 2⁵ · 3 + 2 = 5
Un deuxième exemple : 3² × 3⁴.
Même idée : 3² c'est deux 3, 3⁴ c'est quatre 3. Une fois réunis, combien de 3 en tout ?
Quand on multiplie deux puissances de la même base, qu'est-ce qu'on fait avec les exposants ?
Le piège : a³ × b² peut-il s'écrire comme UNE seule puissance ?
À savoirau × av = au+v — à une seule condition : la même base.
Encore un piège : x⁴ × x. Quel est l'exposant du résultat ?
x⁴ × x = x
À savoirx tout seul, c'est x1. On garde le 1 écrit : comme ça, on n'oublie jamais de le compter.
Règle 2 — le quotient
2⁵2², ça veut dire : cinq 2 au-dessus, deux 2 en-dessous.
Touche un 2 du haut, puis un 2 du bas, pour barrer une paire commune. Fais-le jusqu'à épuiser le bas.
Il ne reste plus rien en bas. Combien de 2 restent en haut ?
2⁵2² = 2³ · 5 − 2 = 3
Le piège : 3⁴3. Quel est l'exposant du résultat ?
3⁴3 = 3
À savoir3 tout seul, c'est 31. On garde le 1 écrit : 4 − 1 = 3, et pas 4 − 0.
Pour un quotient de puissances de la même base, qu'est-ce qu'on fait des exposants ?
À savoirauav = au−v — même base obligatoire.
Règle 3 — la puissance de puissance
(2³)², ça veut dire : le paquet « 2³ », répété 2 fois.
Touche les traits entre les paquets pour tout réunir en une seule file de facteurs.
Une fois réunis, combien de 2 en tout ?
(2³)² = 2⁶ · 3 × 2 = 6
Même idée avec (3²)⁴ : le paquet « 3² », répété 4 fois. Combien de 3 en tout ?
Pour une puissance de puissance, qu'est-ce qu'on fait des exposants ?
Le piège : (a³)² et a³ × a² donnent-ils le même résultat ?
À savoir(au)v = au×v — on MULTIPLIE, jamais on n'additionne.
Règle 4 — le piège des parenthèses
(5 × x)³, ça veut dire : (5 × x) × (5 × x) × (5 × x).
Touche le bouton pour regrouper tous les 5 ensemble, et tous les x ensemble.
Remplis les deux exposants.
(5 × x)³ = 5 × x
À savoir(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ — la puissance se distribue sur un PRODUIT.
Et sur une SOMME ? On va calculer (2 + 3)³ étape par étape, puis 2³ + 3³ étape par étape. Tu peux utiliser la calculatrice.
D'abord, ce qu'il y a dans la parenthèse.
2 + 3 =
Maintenant, mets ce résultat au cube.
(2 + 3)³ = 5³ =
Maintenant l'autre côté : calcule 2³ et 3³, séparément.
2³ =
3³ =
Additionne les deux résultats.
2³ + 3³ = 8 + 27 =
Jamais125 ≠ 35 : la puissance ne se distribue JAMAIS sur une somme. (a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ.
Petit bilan — les 4 règles
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🔎 Puissances négatives
Les deux chemins
Calculons a²a⁵ de deux façons différentes.
Chemin 1 — avec la règle du quotient. Écris sous forme de puissance : quel exposant obtient-on ?
a²a⁵ = a
Chemin 2 — en barrant les facteurs communs :
Touche un a du haut, puis un a du bas, pour barrer une paire commune.
Il ne reste rien en haut. Écris le nombre : combien de a restent en bas ?
a²a⁵ = 1a
À savoir par cœura⁻ⁿ = 1aⁿ — les deux chemins donnent la même chose : a⁻³ = 1a³. Une puissance négative, c'est l'inverse de la puissance positive.
Vérifions avec un exemple tout simple. Écris sous forme de puissance : quel est l'exposant du dénominateur ?
2⁻¹ = 12
À savoir2⁻¹ = 12¹ = 12. L'exposant ne change pas de valeur, seul son signe change : il passe « en bas », à l'inverse.
En bref — le lien avec l'écriture décimale
On vient de voir qu'une puissance négative est une fraction. Pour les puissances de 10, cette fraction s'écrit aussi en nombre décimal. Regarde cette suite :
10³ = 1000 → 10² = 100 → 10¹ = 10 → 10⁰ = 1
Qu'est-ce qu'on fait à chaque flèche, pour passer à la valeur suivante ?
La suite continue, en divisant encore par 10. Après 10⁰ = 1, combien vaut 10⁻¹ ? Écris le nombre, en écriture décimale.
10⁻¹ =
À savoir10⁻¹ = 110 = 0,1. C'est la même idée que a⁻ⁿ = 1aⁿ, juste écrite en décimal.
Complète le dénominateur de 10⁻³. Tu peux écrire 1000, ou 10³ si tu préfères — les deux sont acceptés.
10⁻³ = 1
Petit bilan — puissances négatives
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🎯 Automatismes mélangés
Les 4 règles, dans le désordre. Prends le temps de réfléchir avant de taper.
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🏁 Petit bilan
Petit bilan — calculs rédigés de bout en bout
Écris chaque étape sur une ligne, comme sur ton cahier : une ligne = une égalité avec le calcul de départ. La dernière ligne doit être une seule puissance.
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✎ Sur ton cahier
Exercice — sur ton cahier
Explique avec tes mots pourquoi (5 × x)³ = 5³ × x³, mais pourquoi (5 + x)³ n'est PAS égal à 5³ + x³. Donne un exemple avec des nombres pour le prouver.
📷 Refais cette explication sur une vraie feuille et montre ta copie :
📷 Prends en photo ta copie :
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Bravo, tu as terminé ! Tu sais maintenant combiner les puissances — et tu as découvert les exposants négatifs.