√

Racine carrée
3ème

Certains carrés ont un côté qui ne s'écrit avec aucun nombre entier ni aucune fraction simple. Tu vas apprendre à nommer ce nombre, à le calculer, et à ne jamais te faire piéger par une addition sous la racine.

🧩 Le carré mystère

Un défi pour commencer
L'aire d'un carré mystère
Un carré a une aire de 7 m². Sans calculatrice, peux-tu deviner, même approximativement, la longueur de son côté ?

🔍 Sens de la racine carrée

Un deuxième carré
Le côté d'un carré d'aire 25 m²
On a vu que le côté d'un carré d'aire 7 m² se note √7. Et pour une aire de 25 m² ? Quelle est la longueur du côté, cette fois ?

🔢 Carrés parfaits

Entraîne ton œil
49 ou 50 ?
Parmi 49 et 50, lequel est le carré d'un nombre entier ?

↔️ Encadrer une racine

Sans calculatrice
√50, entre quels entiers ?
50 n'est pas un carré parfait. Peux-tu, sans calculatrice, encadrer √50 entre deux entiers consécutifs ?

✖️ Multiplier deux racines

Un raccourci à tester
√4 × √9, comparé à √(4×9)
Calcule √4 × √9 d'un côté, puis √(4 × 9) de l'autre. Que constates-tu ?

⚠️ Le piège de la somme

⚠️ Attention, cette fois avec un +
√9 + √16, comparé à √(9+16)
Tu viens de voir que ça marche avec un ×. Essaie maintenant avec un + : calcule √9 + √16 d'un côté, puis √(9 + 16) de l'autre. Que constates-tu, cette fois ?

✂️ Simplifier une racine

La meilleure décomposition
Trois façons d'écrire 72
√72 n'est pas un carré parfait, mais on peut l'écrire plus simplement grâce à la propriété du produit. Parmi ces trois décompositions de 72, laquelle est la plus utile pour simplifier √72 ?

🎯 Valeur exacte ou approchée ?

Une calculatrice qui n'en finit pas
Les décimales de √2
La calculatrice affiche √2 ≈ 1,4142135... Si tu continues les décimales encore et encore, un motif va-t-il finir par se répéter, comme pour 13 = 0,333... ?

🏆 Bilan général

Tout le chapitre en un coup d'œil
1. Sens — √a est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)² = a et √(a²) = a.
2. Carrés parfaits — de 1² à 15² à connaître par cœur (1, 4, 9, 16… jusqu'à 225).
3. Encadrement — trouver les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre.
4. Propriété du produit — √(a×b) = √a × √b.
5. Le piège — √(a+b) ≠ √a + √b : on ne sépare pas une somme sous une racine.
6. Simplifier — extraire le plus grand carré parfait possible, et continuer si besoin.
7. Valeur exacte — garder l'écriture avec √ sauf demande explicite d'arrondi ; √2 et la plupart des racines sont irrationnelles.
Les deux règles à ne jamais confondre √(a × b) = √a × √b  (ça marche)
√(a + b) ≠ √a + √b  (ça ne marche pas)

🧭 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère

Sur un exercice avec des racines carrées, je passe toujours par les mêmes étapes, dans cet ordre :

Le canevas à suivre à chaque fois
  1. Identifier ce que demande la question : calculer, encadrer, simplifier, comparer, valeur exacte ou approchée ?
  2. Si le nombre sous la racine est un carré parfait, calcule-le directement (table des carrés).
  3. Sinon, cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre pour simplifier (√n = k√r), et continue si ce n'est pas fini.
  4. Ne jamais séparer une racine d'une somme comme un produit : √(a+b) ≠ √a + √b.
  5. Garde la valeur exacte (avec √) sauf si l'énoncé demande un arrondi — utilise alors la calculatrice.

L'entraînement qui suit mélange toutes les notions du chapitre, du plus simple au plus difficile.

Entraînement

✏️ Brouillon

✎ Je rédige seul

Exercice — Sur la feuille numérique
Un premier carré a une aire de 20 cm². Un second carré a une aire de 45 cm².

1. Donne un encadrement du côté du premier carré entre deux entiers consécutifs.
2. Calcule la valeur exacte du côté de chaque carré, sous la forme la plus simplifiée possible.
3. Léa affirme que √20 + √45 = √65. A-t-elle raison ? Justifie ta réponse par un calcul (à la calculatrice si besoin).
4. Rédige l'ensemble de ta réponse, calculs en colonne, une transformation par ligne.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

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