📐
Pythagore
4ème
Reconnaître le triangle rectangle, calculer une longueur avec le théorème de Pythagore, et prouver qu'un triangle est rectangle avec sa réciproque — le tout rédigé comme au brevet.
Ce chapitre tombe presque toujours au brevet, et il rapporte beaucoup de points.
Bonne nouvelle : la méthode est toujours la même. Ici, on va l'apprendre pas à pas, du vocabulaire jusqu'à la rédaction parfaite. À ton rythme.
Bonne nouvelle : la méthode est toujours la même. Ici, on va l'apprendre pas à pas, du vocabulaire jusqu'à la rédaction parfaite. À ton rythme.
La leçon — étape 1 sur 3
📄 Prends une feuille de papier. Touche du doigt le coin en bas à gauche.
Regarde bien sa forme, puis observe les quatre triangles ci-dessous. Un seul a un coin qui a exactement cette forme-là.
Regarde bien sa forme, puis observe les quatre triangles ci-dessous. Un seul a un coin qui a exactement cette forme-là.
🎯 Devine avant de savoir !
Un seul de ces triangles a un coin « bien carré », comme le coin de ta feuille. Lequel ?
Ce coin qui a exactement la même forme que celui de ta feuille s'appelle un angle droit : il mesure exactement 90°. Sur les figures, on le reconnaît grâce au petit carré dessiné dans le coin.
Un triangle qui possède un angle droit s'appelle un triangle rectangle. Pas d'angle droit, pas de Pythagore — on y reviendra souvent.
Un triangle qui possède un angle droit s'appelle un triangle rectangle. Pas d'angle droit, pas de Pythagore — on y reviendra souvent.
Dans un triangle rectangle, chaque côté a un nom. Comme dans une équipe : chacun a sa place.
Le petit carré marque l'angle droit, en C. Les deux côtés qui le touchent sont les côtés de l'angle droit.
Le côté qui est en face de l'angle droit : c'est le plus grand côté du triangle. Il s'appelle l'hypoténuse. Ici : [AB].
Le mot « hypoténuse » vient du grec ancien : « ce qui s'étend en dessous ». Retiens juste : c'est le grand côté, celui qui est en face de l'angle droit.
Le mot « hypoténuse » vient du grec ancien : « ce qui s'étend en dessous ». Retiens juste : c'est le grand côté, celui qui est en face de l'angle droit.
La leçon — étape 2 sur 3
Comment trouver l'hypoténuse à coup sûr — méthode en 3 temps :
① Je cherche l'angle droit (le petit carré).
② Je regarde quel côté est en face de cet angle droit.
③ Ce côté-là, c'est l'hypoténuse — c'est toujours le plus grand côté.
① Je cherche l'angle droit (le petit carré).
② Je regarde quel côté est en face de cet angle droit.
③ Ce côté-là, c'est l'hypoténuse — c'est toujours le plus grand côté.
Astuce : l'hypoténuse ne touche jamais l'angle droit. Si un côté touche le petit carré, ce n'est pas l'hypoténuse.
Attention — le triangle peut être tourné !
Un triangle rectangle n'est pas toujours posé « bien droit » avec l'angle droit en bas à gauche. Il peut être tourné, penché, retourné — comme un meuble qu'on déplace dans une pièce.
Un triangle rectangle n'est pas toujours posé « bien droit » avec l'angle droit en bas à gauche. Il peut être tourné, penché, retourné — comme un meuble qu'on déplace dans une pièce.
Même triangle, tourné : l'angle droit est en A, et l'hypoténuse est toujours le côté en face — [BC].
Peu importe comment le triangle est posé : cherche le petit carré, regarde en face, c'est l'hypoténuse.
La leçon — étape 3 sur 3
Trois pièges du débutant :
⚠️ Piège 1 : croire que l'hypoténuse est le côté du bas. Non ! C'est le côté en face de l'angle droit, quelle que soit la position du triangle.
⚠️ Piège 2 : croire que l'hypoténuse est le côté le plus court. C'est l'inverse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.
⚠️ Piège 3 : confondre « côté de l'angle droit » et « hypoténuse ». Les côtés de l'angle droit touchent le petit carré. L'hypoténuse est en face.
⚠️ Piège 1 : croire que l'hypoténuse est le côté du bas. Non ! C'est le côté en face de l'angle droit, quelle que soit la position du triangle.
⚠️ Piège 2 : croire que l'hypoténuse est le côté le plus court. C'est l'inverse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.
⚠️ Piège 3 : confondre « côté de l'angle droit » et « hypoténuse ». Les côtés de l'angle droit touchent le petit carré. L'hypoténuse est en face.
⭐ À savoir par cœur
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (marqué par le petit carré).
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le plus grand côté du triangle.
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (marqué par le petit carré).
L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le plus grand côté du triangle.
🎯 Essaie d'abord !
Le triangle MNP est rectangle en N. Quel côté est l'hypoténuse ?
✅ Bilan : un triangle rectangle a un angle droit (le petit carré). L'hypoténuse est le côté en face de cet angle droit — c'est toujours le plus grand côté, quelle que soit la façon dont le triangle est tourné.
La leçon — étape 1 sur 3
📜 Le savais-tu ? Les Babyloniens le savaient déjà ▶
Le théorème de Pythagore porte le nom d'un mathématicien grec, Pythagore de Samos, né vers 570 avant Jésus-Christ. Il a fondé une école en Italie, à Crotone, où ses élèves étudiaient les mathématiques, la musique et la philosophie.
Mais voilà le plus surprenant : Pythagore n'était pas le premier à connaître cette règle.
Des chercheurs ont étudié une tablette d'argile babylonienne appelée Plimpton 322, conservée à l'université de Columbia, à New York. Elle date d'environ 1800 avant J.-C. — soit plus de 1 000 ans avant la naissance de Pythagore. Elle contient une liste de nombres qui vérifient exactement la relation du théorème : les fameux « triplets pythagoriciens », comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13.
Les Babyloniens utilisaient cette propriété pour mesurer des terrains, construire et observer le ciel. Ce que les Grecs ont apporté en plus, c'est l'idée de démontrer que la règle est toujours vraie, pour tous les triangles rectangles — pas seulement pour quelques exemples. C'est ça, faire des mathématiques.
Mais voilà le plus surprenant : Pythagore n'était pas le premier à connaître cette règle.
Des chercheurs ont étudié une tablette d'argile babylonienne appelée Plimpton 322, conservée à l'université de Columbia, à New York. Elle date d'environ 1800 avant J.-C. — soit plus de 1 000 ans avant la naissance de Pythagore. Elle contient une liste de nombres qui vérifient exactement la relation du théorème : les fameux « triplets pythagoriciens », comme 3, 4, 5 ou 5, 12, 13.
Les Babyloniens utilisaient cette propriété pour mesurer des terrains, construire et observer le ciel. Ce que les Grecs ont apporté en plus, c'est l'idée de démontrer que la règle est toujours vraie, pour tous les triangles rectangles — pas seulement pour quelques exemples. C'est ça, faire des mathématiques.
La tablette Plimpton 322, écrite environ 1 000 ans avant la naissance de Pythagore.
🟦 Imagine un triangle rectangle. Sur chacun de ses trois côtés, on construit un carré — comme si on collait un carré en carton sur chaque bord du triangle.
Le grand carré (sur l'hypoténuse) et les deux petits carrés (sur les côtés de l'angle droit) : à ton avis, que se passe-t-il si on compare leurs aires ?
Le grand carré (sur l'hypoténuse) et les deux petits carrés (sur les côtés de l'angle droit) : à ton avis, que se passe-t-il si on compare leurs aires ?
🎯 Devine avant de savoir !
L'aire du grand carré, comparée à la somme des aires des deux petits carrés :
C'est exactement ça : l'aire du grand carré (celui construit sur l'hypoténuse) est exactement égale à la somme des aires des deux petits carrés (ceux construits sur les côtés de l'angle droit).
C'est ça, le théorème de Pythagore — ni plus, ni moins.
On peut même le « voir » : si on remplit d'eau les deux petits carrés et qu'on verse cette eau dans le grand carré, elle le remplit pile. Pas une goutte de trop, pas une goutte qui manque.
C'est ça, le théorème de Pythagore — ni plus, ni moins.
On peut même le « voir » : si on remplit d'eau les deux petits carrés et qu'on verse cette eau dans le grand carré, elle le remplit pile. Pas une goutte de trop, pas une goutte qui manque.
Le carré orange est construit sur l'hypoténuse : son aire est la somme des aires des deux autres carrés.
La leçon — étape 2 sur 3
Le théorème de Pythagore, en mots :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le triangle ABC est rectangle en C. L'hypoténuse est [AB] (en face de C).
AB2 = AC2 + BC2
En mots simples : le plus grand côté (au carré) = les deux petits côtés (chacun au carré, puis additionnés).
Rappel crucial — « au carré », ça veut dire quoi ?
Élever un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même. Pas par 2 — par lui-même.
52 = 5 × 5 = 25 · 82 = 8 × 8 = 64 · 122 = 12 × 12 = 144
⚠️ Piège classique : 52 n'est pas 5 × 2. Ce n'est pas le double ! 52 = 25, pas 10.
Élever un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même. Pas par 2 — par lui-même.
52 = 5 × 5 = 25 · 82 = 8 × 8 = 64 · 122 = 12 × 12 = 144
⚠️ Piège classique : 52 n'est pas 5 × 2. Ce n'est pas le double ! 52 = 25, pas 10.
Comment lire et écrire l'égalité :
① Je repère quel sommet porte l'angle droit.
② L'hypoténuse est le côté en face — c'est elle qui est seule d'un côté du signe « = ».
③ Les deux côtés de l'angle droit sont de l'autre côté, additionnés.
Triangle RST rectangle en S → hypoténuse [RT] → RT2 = RS2 + ST2
Triangle XYZ rectangle en Z → hypoténuse [XY] → XY2 = XZ2 + YZ2
① Je repère quel sommet porte l'angle droit.
② L'hypoténuse est le côté en face — c'est elle qui est seule d'un côté du signe « = ».
③ Les deux côtés de l'angle droit sont de l'autre côté, additionnés.
Triangle RST rectangle en S → hypoténuse [RT] → RT2 = RS2 + ST2
Triangle XYZ rectangle en Z → hypoténuse [XY] → XY2 = XZ2 + YZ2
La leçon — étape 3 sur 3
Les pièges de l'égalité :
⚠️ Piège 1 : oublier les carrés et écrire AB = AC + BC. Non ! Il faut les carrés sur chaque côté.
⚠️ Piège 2 : mettre le mauvais côté seul. C'est toujours l'hypoténuse qui est seule d'un côté du « = ».
⚠️ Piège 3 : additionner les trois côtés au carré. Non ! C'est deux d'un côté, un de l'autre.
⚠️ Piège 1 : oublier les carrés et écrire AB = AC + BC. Non ! Il faut les carrés sur chaque côté.
⚠️ Piège 2 : mettre le mauvais côté seul. C'est toujours l'hypoténuse qui est seule d'un côté du « = ».
⚠️ Piège 3 : additionner les trois côtés au carré. Non ! C'est deux d'un côté, un de l'autre.
⭐ À savoir par cœur
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
🎯 Essaie d'abord !
Le triangle RST est rectangle en S. Quelle égalité est correcte ?
✅ Bilan : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse (seule d'un côté du « = ») est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. N'oublie jamais les carrés !
La leçon — étape 1 sur 3
Tu sais déjà calculer un carré : 72 = 7 × 7 = 49.
Mais si je te donne 49 et que je te demande : « quel nombre, multiplié par lui-même, donne 49 ? » — tu dois faire le chemin inverse.
Mais si je te donne 49 et que je te demande : « quel nombre, multiplié par lui-même, donne 49 ? » — tu dois faire le chemin inverse.
🎯 Devine avant de savoir !
Quel nombre positif, multiplié par lui-même, donne 49 ?
Ce nombre que tu viens de trouver a un nom : c'est la racine carrée de 49.
Définition : la racine carrée d'un nombre positif a, c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, redonne a. On la note √a et on la lit « racine carrée de a ».
√49 = 7 parce que 72 = 49.
Définition : la racine carrée d'un nombre positif a, c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, redonne a. On la note √a et on la lit « racine carrée de a ».
√49 = 7 parce que 72 = 49.
C'est exactement l'opération inverse du carré — comme la soustraction est l'inverse de l'addition.
La leçon — étape 2 sur 3
Carrés parfaits à connaître :
1=12 · 4=22 · 9=32 · 16=42 · 25=52 · 36=62 · 49=72 · 64=82 · 81=92 · 100=102 · 121=112 · 144=122
Donc : √1=1 · √4=2 · √9=3 … jusqu'à √144=12.
1=12 · 4=22 · 9=32 · 16=42 · 25=52 · 36=62 · 49=72 · 64=82 · 81=92 · 100=102 · 121=112 · 144=122
Donc : √1=1 · √4=2 · √9=3 … jusqu'à √144=12.
Avec la calculatrice : pour un nombre qui n'est pas un carré parfait, on utilise la touche √ de la calculatrice.
√10 ≈ 3,16 · √74 ≈ 8,6 (arrondi au dixième)
On utilise le signe ≈ (« environ égal ») dès qu'on arrondit — jamais le signe « = ».
√10 ≈ 3,16 · √74 ≈ 8,6 (arrondi au dixième)
On utilise le signe ≈ (« environ égal ») dès qu'on arrondit — jamais le signe « = ».
Et sans calculatrice ? On peut encadrer une racine carrée entre deux nombres entiers.
Exemple : encadrer √7.
On cherche à encadrer 7 entre deux carrés parfaits consécutifs : 22 = 4 et 32 = 9. Or 4 < 7 < 9.
Donc, en passant à la racine carrée : 2 < √7 < 3.
Exemple : encadrer √7.
On cherche à encadrer 7 entre deux carrés parfaits consécutifs : 22 = 4 et 32 = 9. Or 4 < 7 < 9.
Donc, en passant à la racine carrée : 2 < √7 < 3.
La leçon — étape 3 sur 3
Les trois pièges les plus fréquents :
⚠️ Piège 1 — confondre avec « diviser par 2 » : √36 n'est pas 36 ÷ 2 = 18. √36 = 6, parce que 6 × 6 = 36. Pour vérifier, refais toujours le carré du résultat : 6 × 6 = 36, c'est bon (18 × 18 = 324, ce n'est pas bon).
⚠️ Piège 2 — « distribuer » la racine : √9 + 16 n'est pas √9 + √16 (ce qui ferait 3+4=7). On additionne toujours d'abord : 9+16=25, puis on prend la racine du résultat : √25 = 5. Ce piège est la cause la plus fréquente d'erreur dans les calculs de Pythagore.
⚠️ Piège 3 : un nombre négatif n'a pas de racine carrée (aucun nombre, multiplié par lui-même, ne donne un résultat négatif).
⚠️ Piège 1 — confondre avec « diviser par 2 » : √36 n'est pas 36 ÷ 2 = 18. √36 = 6, parce que 6 × 6 = 36. Pour vérifier, refais toujours le carré du résultat : 6 × 6 = 36, c'est bon (18 × 18 = 324, ce n'est pas bon).
⚠️ Piège 2 — « distribuer » la racine : √9 + 16 n'est pas √9 + √16 (ce qui ferait 3+4=7). On additionne toujours d'abord : 9+16=25, puis on prend la racine du résultat : √25 = 5. Ce piège est la cause la plus fréquente d'erreur dans les calculs de Pythagore.
⚠️ Piège 3 : un nombre négatif n'a pas de racine carrée (aucun nombre, multiplié par lui-même, ne donne un résultat négatif).
⭐ À savoir par cœur
La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a.
On additionne (ou soustrait) avant de prendre la racine carrée, jamais terme à terme.
La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a.
On additionne (ou soustrait) avant de prendre la racine carrée, jamais terme à terme.
🎯 Essaie d'abord !
Que vaut √9 + 16 ?
✅ Bilan : la racine carrée « défait » un carré. On calcule toujours ce qu'il y a sous le √ en entier avant de prendre la racine — jamais terme à terme. C'est l'outil qui va nous permettre de terminer un calcul de Pythagore.
La leçon — étape 1 sur 3
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 3 cm et BC = 4 cm. On veut la longueur de l'hypoténuse [AB].
Tu connais déjà le théorème : AB2 = AC2 + BC2. Donc AB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Le carré de AB vaut 25. Mais alors, combien mesure AB ?
Tu connais déjà le théorème : AB2 = AC2 + BC2. Donc AB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Le carré de AB vaut 25. Mais alors, combien mesure AB ?
🎯 Devine avant de savoir !
AB2 = 25. À ton avis, la longueur AB, c'est :
Ce que ta tentative montre : AB2 = 25 ne veut pas dire AB = 25. Si AB mesurait 25 cm, AB2 vaudrait 25 × 25 = 625 ! Et la moitié, 12,5, ne marche pas non plus : 12,5 × 12,5 = 156,25.
Le seul nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 25, c'est 5 : c'est la racine carrée, vue au thème précédent. Pythagore donne toujours un carré ; la racine carrée permet de revenir à la longueur.
Le seul nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne 25, c'est 5 : c'est la racine carrée, vue au thème précédent. Pythagore donne toujours un carré ; la racine carrée permet de revenir à la longueur.
Méthode en 5 étapes — à suivre dans l'ordre, toujours :
① J'écris que le triangle est rectangle (et en quel sommet).
② Je cite le théorème de Pythagore.
③ J'écris l'égalité (l'hypoténuse seule d'un côté).
④ Je remplace par les valeurs connues et je calcule étape par étape, en colonne.
⑤ Je prends la racine carrée pour trouver la longueur, et j'écris la conclusion avec l'unité.
① J'écris que le triangle est rectangle (et en quel sommet).
② Je cite le théorème de Pythagore.
③ J'écris l'égalité (l'hypoténuse seule d'un côté).
④ Je remplace par les valeurs connues et je calcule étape par étape, en colonne.
⑤ Je prends la racine carrée pour trouver la longueur, et j'écris la conclusion avec l'unité.
La leçon — étape 2 sur 3
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 3 cm et BC = 4 cm. Calculer AB.
Le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 32 + 42
AB2 = 9 + 16
AB2 = 25
Donc AB = √25 = 5 cm.
Vérification : 5 est bien plus grand que 3 et plus grand que 4. L'hypoténuse est le plus grand côté — c'est cohérent.
Carrés parfaits à connaître :
25 = 52 · 64 = 82 · 100 = 102 · 144 = 122 · 169 = 132 · 225 = 152.
Dans les exercices sans calculatrice, le nombre sous la racine sera un carré parfait : la longueur obtenue sera entière.
25 = 52 · 64 = 82 · 100 = 102 · 144 = 122 · 169 = 132 · 225 = 152.
Dans les exercices sans calculatrice, le nombre sous la racine sera un carré parfait : la longueur obtenue sera entière.
La racine carrée, en bref :
La racine carrée d'un nombre, c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, redonne le nombre de départ.
√25 = 5 parce que 5 × 5 = 25 · √64 = 8 parce que 8 × 8 = 64
C'est l'opération inverse du carré. Pour trouver √74 : touche √ de la calculatrice, puis 74, puis =.
La racine carrée d'un nombre, c'est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, redonne le nombre de départ.
√25 = 5 parce que 5 × 5 = 25 · √64 = 8 parce que 8 × 8 = 64
C'est l'opération inverse du carré. Pour trouver √74 : touche √ de la calculatrice, puis 74, puis =.
La leçon — étape 3 sur 3
Deux pièges mortels :
⚠️ Piège 1 — oublier la racine carrée : tu obtiens AB2 = 25. La longueur, ce n'est pas 25 ! AB2 = 25 veut dire « AB multiplié par lui-même donne 25 ». Donc AB = √25 = 5. Sans la racine carrée, ton résultat sera beaucoup trop grand et n'aura aucun sens.
⚠️ Piège 2 — « distribuer » la racine carrée : √9 + 16 n'est pas √9 + √16. On additionne d'abord (9 + 16 = 25), puis on prend la racine carrée du résultat : √25 = 5.
⚠️ Piège 1 — oublier la racine carrée : tu obtiens AB2 = 25. La longueur, ce n'est pas 25 ! AB2 = 25 veut dire « AB multiplié par lui-même donne 25 ». Donc AB = √25 = 5. Sans la racine carrée, ton résultat sera beaucoup trop grand et n'aura aucun sens.
⚠️ Piège 2 — « distribuer » la racine carrée : √9 + 16 n'est pas √9 + √16. On additionne d'abord (9 + 16 = 25), puis on prend la racine carrée du résultat : √25 = 5.
⭐ À savoir par cœur — le canevas de rédaction
Le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 32 + 42
AB2 = 9 + 16
AB2 = 25
Donc AB = √25 = 5 cm.
Le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 32 + 42
AB2 = 9 + 16
AB2 = 25
Donc AB = √25 = 5 cm.
🎯 Essaie d'abord — étape par étape !
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 6 cm et BC = 8 cm. Calcule AB.
✅ Bilan : pour calculer l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée. Le carré (AB²) et la longueur (AB) sont deux calculs distincts, chacun avec son « = ».
La leçon — étape 1 sur 3
Le triangle ABC est rectangle en C. Cette fois, on connaît l'hypoténuse AB = 5 cm et un côté de l'angle droit BC = 3 cm. On cherche AC, l'autre côté de l'angle droit.
Léa fait comme d'habitude : « AC2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34, donc AC = √34 ≈ 5,8 cm. »
Léa fait comme d'habitude : « AC2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34, donc AC = √34 ≈ 5,8 cm. »
🎯 Devine avant de savoir !
Le résultat de Léa, AC ≈ 5,8 cm, est-il possible ?
Ce que ta tentative montre : un côté de l'angle droit est toujours plus petit que l'hypoténuse. En additionnant les carrés, Léa obtient un côté plus grand que l'hypoténuse : impossible. Quand on cherche un côté de l'angle droit, ce n'est donc pas une addition.
La méthode — on « isole » le côté cherché :
Avant, on cherchait l'hypoténuse : on additionnait les carrés.
Maintenant, on cherche un petit côté : on soustrait les carrés.
Pourquoi une soustraction ? L'égalité de Pythagore dit : hypoténuse2 = côté12 + côté22. Si on connaît l'hypoténuse et le côté 1, le côté 2 « passe de l'autre côté du = » en changeant de signe :
côté22 = hypoténuse2 − côté12
C'est comme pour un nombre inconnu dans une addition : si 25 = 9 + ?, alors ? = 25 − 9.
Avant, on cherchait l'hypoténuse : on additionnait les carrés.
Maintenant, on cherche un petit côté : on soustrait les carrés.
Pourquoi une soustraction ? L'égalité de Pythagore dit : hypoténuse2 = côté12 + côté22. Si on connaît l'hypoténuse et le côté 1, le côté 2 « passe de l'autre côté du = » en changeant de signe :
côté22 = hypoténuse2 − côté12
C'est comme pour un nombre inconnu dans une addition : si 25 = 9 + ?, alors ? = 25 − 9.
La leçon — étape 2 sur 3
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AB = 5 cm (hypoténuse) et BC = 3 cm. Calculer AC.
Le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore :
AB2 = AC2 + BC2
Donc AC2 = AB2 − BC2
AC2 = 52 − 32
AC2 = 25 − 9
AC2 = 16
Donc AC = √16 = 4 cm.
Vérification : 4 est bien plus petit que 5 (l'hypoténuse). Un côté de l'angle droit est toujours plus petit que l'hypoténuse.
Le triangle XYZ est rectangle en Z, avec XY = 10 cm et XZ = 6 cm. Calculer YZ.
Le triangle XYZ est rectangle en Z.
D'après le théorème de Pythagore :
XY2 = XZ2 + YZ2
Donc YZ2 = XY2 − XZ2
YZ2 = 102 − 62
YZ2 = 100 − 36
YZ2 = 64
Donc YZ = √64 = 8 cm.
Le cerf-volant d'Amina : Amina tient un cerf-volant au bout d'un fil de 50 m. Le cerf-volant est à 30 m devant elle (distance au sol). À quelle hauteur vole-t-il ?
Le triangle formé par le fil, le sol et la hauteur est rectangle (angle droit entre le sol et la verticale).
D'après le théorème de Pythagore : 502 = 302 + h2
h2 = 502 − 302
h2 = 2 500 − 900
h2 = 1 600
Donc h = √1 600 = 40 m.
Le triangle formé par le fil, le sol et la hauteur est rectangle (angle droit entre le sol et la verticale).
D'après le théorème de Pythagore : 502 = 302 + h2
h2 = 502 − 302
h2 = 2 500 − 900
h2 = 1 600
Donc h = √1 600 = 40 m.
La leçon — étape 3 sur 3
Le piège — addition ou soustraction ?
Règle simple à retenir :
• Tu cherches l'hypoténuse (le plus grand côté) → tu additionnes les carrés.
• Tu cherches un côté de l'angle droit (un petit côté) → tu soustrais les carrés.
Vérification de bon sens : si ton résultat est plus grand que l'hypoténuse, tu t'es trompé. Un côté de l'angle droit ne peut jamais être plus grand que l'hypoténuse. Reviens en arrière et vérifie tes calculs.
Règle simple à retenir :
• Tu cherches l'hypoténuse (le plus grand côté) → tu additionnes les carrés.
• Tu cherches un côté de l'angle droit (un petit côté) → tu soustrais les carrés.
Vérification de bon sens : si ton résultat est plus grand que l'hypoténuse, tu t'es trompé. Un côté de l'angle droit ne peut jamais être plus grand que l'hypoténuse. Reviens en arrière et vérifie tes calculs.
🎯 Essaie d'abord — étape par étape !
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AB = 17 cm (hypoténuse) et BC = 8 cm. Calcule AC.
✅ Bilan : pour calculer un côté de l'angle droit, on soustrait les carrés (le carré de l'hypoténuse moins l'autre carré connu), puis on prend la racine carrée. Vérifie toujours : ton résultat doit être plus petit que l'hypoténuse.
La leçon — étape 1 sur 3
Pourquoi ce thème ?
Le théorème de Pythagore, ce n'est pas juste un exercice de maths. C'est un outil qu'on utilise partout dans la vraie vie : mesurer une distance qu'on ne peut pas mesurer directement, calculer la diagonale d'un écran, la longueur d'une rampe, la hauteur d'un poteau…
La méthode est toujours la même — c'est juste l'habillage qui change, et l'angle droit n'est pas toujours dessiné : parfois il faut le repérer dans la situation (entre un mur et le sol, entre deux directions cardinales, dans le coin d'un rectangle…).
Le théorème de Pythagore, ce n'est pas juste un exercice de maths. C'est un outil qu'on utilise partout dans la vraie vie : mesurer une distance qu'on ne peut pas mesurer directement, calculer la diagonale d'un écran, la longueur d'une rampe, la hauteur d'un poteau…
La méthode est toujours la même — c'est juste l'habillage qui change, et l'angle droit n'est pas toujours dessiné : parfois il faut le repérer dans la situation (entre un mur et le sol, entre deux directions cardinales, dans le coin d'un rectangle…).
Une situation sans figure : un mât vertical de 10 m est tenu par un câble tendu, fixé au sol à 6 m du pied du mât. On veut la longueur du câble. Pas de triangle dessiné, pas de petit carré : à toi de le voir.
🎯 Devine avant de savoir !
Pour trouver la longueur du câble, que fais-tu ?
Ce que ta tentative montre : tout se joue avant le calcul. Il faut d'abord voir le triangle rectangle caché (le mât vertical et le sol horizontal font l'angle droit), puis savoir si le côté cherché est l'hypoténuse ou non.
Comment reconnaître ce qu'on doit faire :
• D'abord, je repère le triangle rectangle caché dans la situation : où est l'angle droit ?
• On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche le plus grand → addition des carrés.
• On connaît le plus grand côté et un petit, on cherche l'autre petit → soustraction des carrés.
• D'abord, je repère le triangle rectangle caché dans la situation : où est l'angle droit ?
• On connaît les deux côtés de l'angle droit, on cherche le plus grand → addition des carrés.
• On connaît le plus grand côté et un petit, on cherche l'autre petit → soustraction des carrés.
La leçon — étape 2 sur 3
Problème 1 — La rampe d'accès : Aïcha est architecte. Elle doit construire une rampe d'accès qui monte de 1,2 m, avec une distance horizontale de 5 m. Quelle sera la longueur de la rampe ?
La rampe, la hauteur et le sol forment un triangle rectangle (angle droit entre le sol et la hauteur). La rampe est l'hypoténuse : on additionne les carrés.
D'après le théorème de Pythagore :
r2 = 52 + 1,22
r2 = 25 + 1,44
r2 = 26,44
Donc r = √26,44 ≈ 5,1 m (arrondi au dixième)
Conclusion : la rampe mesure environ 5,1 m.
Problème 2 — L'échelle : une échelle de 6,5 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 2,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?
Triangle rectangle entre l'échelle, le mur et le sol. L'échelle est l'hypoténuse (6,5 m). On cherche un côté de l'angle droit : on soustrait.
D'après le théorème de Pythagore :
6,52 = h2 + 2,52
Donc h2 = 6,52 − 2,52
h2 = 42,25 − 6,25
h2 = 36
Donc h = √36 = 6
Conclusion : l'échelle touche le mur à 6 m de hauteur.
Problème 3 — À vol d'oiseau : Yanis part de chez lui. Il marche 800 m vers l'Est, puis 600 m vers le Nord. À quelle distance se trouve-t-il de chez lui à vol d'oiseau ?
Est et Nord forment un angle droit. On connaît les deux côtés de l'angle droit (800 m et 600 m), on cherche l'hypoténuse : on additionne.
D'après le théorème de Pythagore :
d2 = 8002 + 6002
d2 = 640 000 + 360 000
d2 = 1 000 000
Donc d = √1 000 000 = 1 000
Conclusion : Yanis est à 1 000 m (soit 1 km) de chez lui à vol d'oiseau.
La leçon — étape 3 sur 3
Problème 4 — La piste de ski : un skieur descend une piste qui mesure 500 m le long de la pente, pour un dénivelé (hauteur) de 480 m. Quelle distance horizontale a-t-il parcourue ?
La piste (la pente), le dénivelé (vertical) et la distance horizontale forment un triangle rectangle. La piste est l'hypoténuse (500 m) : on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait.
D'après le théorème de Pythagore :
5002 = 4802 + d2
Donc d2 = 5002 − 4802
d2 = 250 000 − 230 400
d2 = 19 600
Donc d = √19 600 = 140
Conclusion : le skieur a parcouru 140 m à l'horizontale.
Problème 5 — La diagonale du terrain de foot : un terrain de football mesure 100 m de long et 68 m de large. Quelle est la longueur de sa diagonale ?
La diagonale forme un triangle rectangle avec la longueur et la largeur. On cherche l'hypoténuse : on additionne.
D'après le théorème de Pythagore :
d2 = 1002 + 682
d2 = 10 000 + 4 624
d2 = 14 624
Donc d = √14 624 ≈ 120,9 m (arrondi au dixième)
Conclusion : la diagonale du terrain mesure environ 120,9 m.
Les pièges des problèmes concrets :
⚠️ Ne pas se précipiter : d'abord repérer le triangle rectangle et identifier ce qu'on connaît et ce qu'on cherche.
⚠️ Vérifier la cohérence : l'hypoténuse est le plus grand côté ; un petit côté est toujours plus petit que l'hypoténuse.
⚠️ Ne pas oublier l'unité et la phrase de conclusion.
⚠️ Ne pas se précipiter : d'abord repérer le triangle rectangle et identifier ce qu'on connaît et ce qu'on cherche.
⚠️ Vérifier la cohérence : l'hypoténuse est le plus grand côté ; un petit côté est toujours plus petit que l'hypoténuse.
⚠️ Ne pas oublier l'unité et la phrase de conclusion.
🎯 Essaie d'abord !
Imane cherche la diagonale d'une tablette dont l'écran mesure 20 cm sur 15 cm. Elle écrit : d2 = 202 − 152. A-t-elle raison ?
✅ Bilan : dans un problème concret, l'angle droit est souvent caché — repère-le d'abord. Deux petits côtés connus → additionne. Un grand côté et un petit → soustrais. Termine toujours par une phrase de conclusion avec l'unité.
La leçon — étape 1 sur 3
💡 « S'il pleut, alors la rue est mouillée. » Cette phrase, c'est une implication : « si... alors... ». Maintenant, retourne-la : « Si la rue est mouillée, alors il pleut. » C'est la réciproque de la première phrase.
🎯 Devine avant de savoir !
La réciproque (« si la rue est mouillée, alors il pleut ») est-elle toujours vraie ?
Retiens : une implication (« si... alors... ») peut être vraie sans que sa réciproque le soit. Il faut vérifier la réciproque à part — elle a sa propre valeur de vérité.
Un autre exemple, en maths cette fois :
Implication : « Si un nombre est un multiple de 4, alors il est pair. » — Vraie (12 est multiple de 4, et pair).
Sa réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est multiple de 4. »
Sa réciproque : « Si un nombre est pair, alors il est multiple de 4. »
🎯 À toi de juger !
Cette réciproque (« pair → multiple de 4 ») est-elle vraie ?
Encore un exemple de la vie de tous les jours : « Si je suis à Paris, alors je suis en France. » Cette implication est vraie.
Sa réciproque : « Si je suis en France, alors je suis à Paris. » — Fausse : je peux très bien être en France sans être à Paris (à Lyon, par exemple).
Sa réciproque : « Si je suis en France, alors je suis à Paris. » — Fausse : je peux très bien être en France sans être à Paris (à Lyon, par exemple).
Ce qu'il faut comprendre : une réciproque n'est pas toujours vraie. Chaque fois qu'on retourne une implication, il faut la redémontrer — on ne peut jamais la supposer vraie juste parce que l'implication de départ l'était.
La leçon — étape 2 sur 3
Repartons du théorème que tu connais déjà.
Rappelle-toi : à quoi sert le théorème de Pythagore ? — Et oui, il sert à calculer une longueur, en partant d'un triangle qu'on sait déjà rectangle.
Alors, si on retourne cette implication, que voudrait la réciproque ? — Et oui : partir des longueurs, et retrouver si le triangle est rectangle.
Rappelle-toi : à quoi sert le théorème de Pythagore ? — Et oui, il sert à calculer une longueur, en partant d'un triangle qu'on sait déjà rectangle.
Alors, si on retourne cette implication, que voudrait la réciproque ? — Et oui : partir des longueurs, et retrouver si le triangle est rectangle.
⭐ À savoir par cœur
La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, quand on connaît ses trois côtés.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu'un triangle est rectangle, quand on connaît ses trois côtés.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
Attention, un interdit important : tu n'as pas le droit d'écrire l'égalité entre l'hypoténuse et les deux côtés avant de l'avoir vérifiée ! Ce serait supposer, dès le départ, ce que tu es censé démontrer.
Le signe « = » doit être mérité, pas décrété. La bonne méthode :
① Je calcule le carré du plus grand côté, tout seul, d'un côté.
② Je calcule la somme des carrés des deux autres côtés, tout seul, de l'autre côté.
③ Seulement si les deux résultats sont identiques, j'ai le droit d'écrire l'égalité — et de conclure.
Le signe « = » doit être mérité, pas décrété. La bonne méthode :
① Je calcule le carré du plus grand côté, tout seul, d'un côté.
② Je calcule la somme des carrés des deux autres côtés, tout seul, de l'autre côté.
③ Seulement si les deux résultats sont identiques, j'ai le droit d'écrire l'égalité — et de conclure.
Exemple : le triangle ABC a pour côtés AB = 13 cm, BC = 12 cm et AC = 5 cm.
Pas de petit carré sur la figure : on ne sait pas encore si le triangle est rectangle — c'est ce qu'on va vérifier.
⭐ Le canevas de rédaction — la réciproque
On sait que AB = 13 cm, BC = 12 cm et AC = 5 cm. Le plus grand côté est AB.
Or, d'une part AB2 = 132 = 169 ; d'autre part BC2 + AC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
Donc AB2 = BC2 + AC2 (169 = 169) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
On sait que AB = 13 cm, BC = 12 cm et AC = 5 cm. Le plus grand côté est AB.
Or, d'une part AB2 = 132 = 169 ; d'autre part BC2 + AC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
Donc AB2 = BC2 + AC2 (169 = 169) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
La leçon — étape 3 sur 3
Et si les deux résultats sont différents ?
Alors le triangle n'est pas rectangle — c'est tout aussi certain : s'il était rectangle, d'après le théorème de Pythagore l'égalité serait vraie. Ce raisonnement s'appelle la contraposée du théorème de Pythagore, et c'est elle qu'on cite pour conclure « pas rectangle ».
Alors le triangle n'est pas rectangle — c'est tout aussi certain : s'il était rectangle, d'après le théorème de Pythagore l'égalité serait vraie. Ce raisonnement s'appelle la contraposée du théorème de Pythagore, et c'est elle qu'on cite pour conclure « pas rectangle ».
Exemple : le triangle DEF a pour côtés DE = 4 cm, EF = 5 cm et DF = 8 cm.
⭐ Rédaction — cas « pas rectangle »
On sait que DE = 4 cm, EF = 5 cm et DF = 8 cm. Le plus grand côté est DF.
Or, d'une part DF2 = 82 = 64 ; d'autre part DE2 + EF2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41.
Donc DF2 ≠ DE2 + EF2 (64 ≠ 41) : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n'est pas rectangle.
On sait que DE = 4 cm, EF = 5 cm et DF = 8 cm. Le plus grand côté est DF.
Or, d'une part DF2 = 82 = 64 ; d'autre part DE2 + EF2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41.
Donc DF2 ≠ DE2 + EF2 (64 ≠ 41) : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n'est pas rectangle.
Le piège à ne jamais faire : écrire « AB2 = BC2 + AC2 » dès la première ligne, comme si c'était acquis. Calcule toujours les deux membres séparément d'abord — c'est la comparaison qui donne le droit de conclure, jamais l'inverse.
🎯 Essaie d'abord !
Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm. Est-il rectangle ?
✅ Bilan : pour prouver qu'un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare. Égaux → le triangle est rectangle (réciproque). Différents → il ne l'est pas (contraposée). On n'écrit jamais l'égalité avant de l'avoir vérifiée.
Bilan général du chapitre
✅ Avant de passer à la pratique, récapitulons tout ce que tu as vu :
• Un triangle rectangle a un angle droit ; l'hypoténuse est le côté en face, toujours le plus grand.
• Théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
• La racine carrée « défait » un carré — on calcule toujours ce qu'il y a dessous avant de la prendre.
• Pour calculer l'hypoténuse, on additionne les carrés ; pour un côté de l'angle droit, on soustrait.
• Dans un problème concret, l'angle droit est parfois caché : il faut le repérer avant de calculer.
• La réciproque part des trois côtés pour prouver qu'un triangle est rectangle : on calcule les deux membres séparément, on compare, on conclut — jamais l'égalité écrite d'avance. Deux résultats différents → pas rectangle (contraposée).
• Un triangle rectangle a un angle droit ; l'hypoténuse est le côté en face, toujours le plus grand.
• Théorème de Pythagore : le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
• La racine carrée « défait » un carré — on calcule toujours ce qu'il y a dessous avant de la prendre.
• Pour calculer l'hypoténuse, on additionne les carrés ; pour un côté de l'angle droit, on soustrait.
• Dans un problème concret, l'angle droit est parfois caché : il faut le repérer avant de calculer.
• La réciproque part des trois côtés pour prouver qu'un triangle est rectangle : on calcule les deux membres séparément, on compare, on conclut — jamais l'égalité écrite d'avance. Deux résultats différents → pas rectangle (contraposée).
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te file ses tuyaux avant le brevet :
Au brevet, le correcteur veut voir comment tu as raisonné. Utilise toujours les cinq étapes ci-dessous.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul. Comme au brevet !
Au brevet, le correcteur veut voir comment tu as raisonné. Utilise toujours les cinq étapes ci-dessous.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul. Comme au brevet !
⭐ Méthode à suivre
- Justifier l'application du théorème : Le triangle ABC est rectangle en A.
- Invoquer le théorème : D'après le théorème de Pythagore,
- Écrire l'égalité : BC² = AB² + AC²
- Les calculs en cascade :
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25 - La racine carrée et l'unité : Donc BC = √25 = 5 cm
Exercice 1
Le triangle ABC est rectangle en C, avec AC = 6 cm et BC = 8 cm.
1. Calcule la longueur AB.
2. Rédige en suivant les 5 étapes.
1. Calcule la longueur AB.
2. Rédige en suivant les 5 étapes.
💡 Lis l'énoncé deux fois. Qu'est-ce qu'on te demande exactement ?
✏️ Brouillon (facultatif)
Exercice 1 — Sur la feuille numérique
Un portail rectangulaire mesure 3 m de large et 1,6 m de haut. Pour le rigidifier, on fixe une barre de métal en diagonale, d'un coin à l'autre.
1. Fais un schéma de la situation.
2. Quelle longueur doit avoir la barre ?
3. Rédige en suivant les 5 étapes : justification, théorème, égalité, calculs en cascade et unité.
1. Fais un schéma de la situation.
2. Quelle longueur doit avoir la barre ?
3. Rédige en suivant les 5 étapes : justification, théorème, égalité, calculs en cascade et unité.
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.