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Puissances
4ème
Quand tu as découvert la multiplication en CE2, on te l'a présentée comme une écriture plus courte : 2 × 5, c'est en fait 2 + 2 + 2 + 2 + 2. La multiplication raccourcit une addition répétée.
Aujourd'hui, on cherche une écriture plus courte pour une multiplication répétée d'un même nombre.
Aujourd'hui, on cherche une écriture plus courte pour une multiplication répétée d'un même nombre.
Léa doit calculer 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (le nombre 3 écrit 5 fois dans une multiplication). Elle en a assez de tout réécrire.
🤔 Essaie avant de lire la suite
On note ce calcul 3⁵. À ton avis, que représente le petit 5 en haut ?
À savoir par cœur
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs égaux à a).
a⁰ = 1 (pour a ≠ 0). a¹ = a.
a s'appelle la base, n s'appelle l'exposant.
a⁰ = 1 (pour a ≠ 0). a¹ = a.
a s'appelle la base, n s'appelle l'exposant.
Exemple : 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. Le 3 est écrit 5 fois — jamais « 3 × 5 ».
Attention au signe : (−3)² = (−3) × (−3) = +9 (les deux parenthèses comptent), mais −3² = −(3 × 3) = −9 (le signe moins n'est pas élevé au carré, seul le 3 l'est).
✅ Ce qu'il faut retenir : aⁿ, c'est a écrit n fois dans une multiplication — jamais a × n. Le signe d'un résultat dépend de la parité de l'exposant, et de si le signe moins est dans la parenthèse ou pas.
Les puissances de 10 sont particulièrement utiles, notamment au lycée. Regarde : 10² = 10 × 10 = 100. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000.
🤔 Essaie avant de lire la suite
D'après toi, que vaut 10⁵ ?
À savoir par cœur
10ⁿ = 1 suivi de n zéros.
10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000.
10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000.
✅ Ce qu'il faut retenir : l'exposant de 10 donne directement le nombre de zéros du nombre écrit en entier.
2⁵ × 2³ : le 2 est multiplié 5 fois, puis encore multiplié 3 fois. Au total, le 2 est multiplié combien de fois ?
🤔 Essaie avant de lire la suite
2⁵ × 2³ = 2 écrit combien de fois en tout dans la multiplication ?
La règle, simplement : quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants.
À toi de retrouver la règle pour la division. Indice : 2⁵ ÷ 2³, c'est 2 × 2 × 2 × 2 × 2 divisé par 2 × 2 × 2 — trois des cinq facteurs du haut se simplifient avec les trois du bas.
🤔 Essaie avant de lire la suite
2⁵ ÷ 2³ = 2 écrit combien de fois, une fois les facteurs communs simplifiés ?
À savoir par cœur
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (même base → on additionne)
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, si m ≥ n (même base → on soustrait)
(aᵐ)ⁿ = am × n (puissance de puissance → on multiplie)
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ (puissance d'un produit → chaque facteur prend l'exposant)
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, si m ≥ n (même base → on soustrait)
(aᵐ)ⁿ = am × n (puissance de puissance → on multiplie)
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ (puissance d'un produit → chaque facteur prend l'exposant)
Pour (aᵐ)ⁿ, imagine (2³)² : c'est 2³ écrit 2 fois, donc 2³ × 2³ = 2³⁺³ = 2⁶ — c'est bien 3 × 2.
Pour (a × b)ⁿ, imagine (2 × 5)³ : c'est (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2³ × 5³. Attention, ça ne marche que pour un produit : (2 + 5)³ n'est pas 2³ + 5³.
✅ Ce qu'il faut retenir : produit → on additionne les exposants ; quotient → on soustrait ; puissance de puissance → on multiplie. Toujours avec la même base. Et (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.
La notation scientifique, comme son nom l'indique, sert en sciences. En sciences, on manipule parfois des nombres immenses — par exemple, la distance entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 000 000 km. Plutôt que d'écrire tous ces zéros, on va les regrouper dans une puissance de 10, et ne garder qu'un nombre entre 1 et 10 devant.
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Pour passer de 1,5 à 150 000 000, de combien de rangs faut-il décaler la virgule vers la droite ?
À savoir par cœur
Forme : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
Exemple : 34 500 = 3,45 × 10⁴.
Exemple : 150 000 000 = 1,5 × 10⁸.
Exemple : 34 500 = 3,45 × 10⁴.
Exemple : 150 000 000 = 1,5 × 10⁸.
✅ Ce qu'il faut retenir : place la virgule juste après le premier chiffre non nul (tu obtiens a, entre 1 et 10), puis compte les rangs décalés pour trouver n.
Pour comparer vite des grands nombres, sans calculer précisément, on les arrondit à la puissance de 10 la plus proche : c'est l'ordre de grandeur.
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820 000, c'est plus proche de 10⁵ (100 000) ou de 10⁶ (1 000 000) ?
À savoir par cœur
N = a × 10ⁿ : si a ≥ 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹ ; si a < 5, c'est 10ⁿ.
Les puissances de 10 servent aussi à résoudre de vrais problèmes concrets : compter, convertir des unités, comparer des grandeurs très différentes (population, distances, quantités de données…).
✅ Ce qu'il faut retenir : l'ordre de grandeur donne une estimation rapide ; les puissances de 10 permettent de résoudre des problèmes avec de grands nombres.
Ce que tu as vu dans ce chapitre :
- Notation puissance : aⁿ = a écrit n fois dans une multiplication.
- Puissances de 10 : l'exposant donne le nombre de zéros.
- Produit, quotient, puissance de puissance : on additionne, on soustrait, on multiplie les exposants.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10.
- Ordres de grandeur et problèmes concrets avec les puissances de 10.
Le conseil du grand frère
① Repère la règle à appliquer (produit → additionner, quotient → soustraire, puissance de puissance → multiplier).
② Simplifie d'abord l'exposant, avant de calculer la valeur.
③ Pour la notation scientifique : virgule après le premier chiffre, puis compte les rangs.
② Simplifie d'abord l'exposant, avant de calculer la valeur.
③ Pour la notation scientifique : virgule après le premier chiffre, puis compte les rangs.
Exercice 1 — très guidé
Simplifie 2³ × 2⁴ ÷ 2², étape par étape.
Exercice 2 — un peu moins guidé
Simplifie 5⁶ × 5² ÷ 5³.
Exercice 3 — presque seul
Dernière étape : convertis un grand nombre en notation scientifique, seul.
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Une clé USB peut stocker 3,2 × 10¹⁰ octets. Une photo occupe en moyenne 4 × 10⁶ octets.
Combien de photos peut-on stocker sur cette clé, au maximum ? Donne le résultat en écriture scientifique.
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
Combien de photos peut-on stocker sur cette clé, au maximum ? Donne le résultat en écriture scientifique.
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.