🔬⚡
Puissances
& Écriture scientifique — 3ème
Calculer des puissances, maîtriser les puissances de 10, appliquer les règles, et écrire les très grands (et très petits) nombres comme un scientifique.
La leçon — étape 1 sur 3
🎓 Souviens-toi de la multiplication, apprise en CE2.
On te l'a présentée comme une façon raccourcie d'écrire une addition répétée : 2 × 5, c'est juste une notation plus courte pour 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
On te l'a présentée comme une façon raccourcie d'écrire une addition répétée : 2 × 5, c'est juste une notation plus courte pour 2 + 2 + 2 + 2 + 2.
🎯 Devine avant de lire la suite !
Sur ce même principe, à ton avis, comment pourrait-on écrire en abrégé 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (le même nombre multiplié plusieurs fois) ?
Comme tu l'as peut-être deviné, il existe une notation encore plus courte pour une multiplication répétée du même nombre.
Une puissance, c'est la même idée que la multiplication, un cran au-dessus : une notation raccourcie pour une multiplication répétée du même nombre. Au lieu d'écrire 2 × 2 × 2 × 2 × 2, on note 25.
Le petit chiffre en hauteur (ici 5) s'appelle l'exposant : il compte le nombre de fois où le nombre est répété. Le nombre répété (ici 2), c'est la base.
🔬 Autre exemple concret : un virus mesure 0,000 000 1 m. Un atome, c'est encore 1 000 fois plus petit.
Pour écrire ces nombres sans perdre le fil des zéros, les scientifiques utilisent la même astuce. Au lieu d'écrire 10 × 10 × 10 × 10 × 10, on note 105.
Pour écrire ces nombres sans perdre le fil des zéros, les scientifiques utilisent la même astuce. Au lieu d'écrire 10 × 10 × 10 × 10 × 10, on note 105.
an = a × a × a × … × a (n fois)
⭐ À savoir par cœur
an = a multiplié par lui-même n fois.
a1 = a · a0 = 1 (pour tout a ≠ 0).
an = a multiplié par lui-même n fois.
a1 = a · a0 = 1 (pour tout a ≠ 0).
34
= 3 × 3 × 3 × 3 (4 fois le facteur 3)
= 81
La leçon — étape 2 sur 3
⚡ Attention à deux pièges classiques :
⚠️ 34 ≠ 3 × 4 = 12. Non ! 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
⚠️ (−2)2 = (−2) × (−2) = +4. Une puissance paire d'un nombre négatif est positive !
⚠️ 34 ≠ 3 × 4 = 12. Non ! 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
⚠️ (−2)2 = (−2) × (−2) = +4. Une puissance paire d'un nombre négatif est positive !
Vocabulaire essentiel :
• 22 se lit « deux au carré »
• 53 se lit « cinq au cube »
• 74 se lit « sept à la puissance quatre »
• 22 se lit « deux au carré »
• 53 se lit « cinq au cube »
• 74 se lit « sept à la puissance quatre »
Sur la calculatrice : la touche x² te donne les puissances. 🖩
La leçon — étape 3 sur 3
🆕 Un vrai exemple du Brevet :
Calcule 25 et (−3)3.
Calcule 25 et (−3)3.
25
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 32
(−3)3
= (−3) × (−3) × (−3)
= (+9) × (−3)
= −27
⚠️ L'exposant ne s'applique qu'à la base. −32 = −(3 × 3) = −9, mais (−3)2 = +9.
🎯 Essaie d'abord !
Que vaut 24 ?
La leçon — étape 1 sur 3
🌎 La distance Terre-Lune vaut environ 384 000 000 m.
Compter les zéros, c'est risqué.
Compter les zéros, c'est risqué.
🎯 Devine avant de lire la suite !
Tu sais que 10² = 100 (2 zéros) et 10³ = 1 000 (3 zéros). À ton avis, combien de zéros dans 108 ?
Bien vu (ou presque) : avec les puissances de 10, c'est limpide, l'exposant = le nombre de zéros.
10n = 1 suivi de n zéros
| Puissance | Valeur | Nom |
|---|---|---|
| 101 | 10 | dix |
| 102 | 100 | cent |
| 103 | 1 000 | mille |
| 106 | 1 000 000 | un million |
| 109 | 1 000 000 000 | un milliard |
La leçon — étape 2 sur 3
Dans l'autre sens : pour trouver l'exposant d'un nombre écrit avec des zéros, je compte les zéros.
1 000 000 → 6 zéros → 106
100 000 000 → 8 zéros → 108
1 000 000 → 6 zéros → 106
100 000 000 → 8 zéros → 108
🤔 Tu sais que 104 = 10 000. Mais que veut dire 10−4 ?
🎯 À toi de deviner
Un exposant négatif comme 10−4, ça donnerait plutôt…
Pour vérifier, suivons la logique des exposants.
103 = 1 000 → 102 = 100 → 101 = 10 → 100 = 1
À chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par 10. Continuons sur le même rythme :
10−1 = 0,1 → 10−2 = 0,01 → 10−3 = 0,001 → 10−4 = 0,000 1
Autre façon de le voir : 10−4 = 1104 = 110 000 = 0,000 1.
C'est bien ça : un exposant négatif donne un tout petit nombre.
103 = 1 000 → 102 = 100 → 101 = 10 → 100 = 1
À chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par 10. Continuons sur le même rythme :
10−1 = 0,1 → 10−2 = 0,01 → 10−3 = 0,001 → 10−4 = 0,000 1
Autre façon de le voir : 10−4 = 1104 = 110 000 = 0,000 1.
C'est bien ça : un exposant négatif donne un tout petit nombre.
Même logique pour les autres exposants négatifs :
10−1 = 0,1 · 10−2 = 0,01 · 10−3 = 0,001
10−1 = 0,1 · 10−2 = 0,01 · 10−3 = 0,001
⭐ À savoir par cœur
a−n = 1an (pour a ≠ 0)
10n (n positif) → grand nombre (n zéros après le 1)
10−n (n positif) → petit nombre (virgule puis n−1 zéros puis 1)
a−n = 1an (pour a ≠ 0)
10n (n positif) → grand nombre (n zéros après le 1)
10−n (n positif) → petit nombre (virgule puis n−1 zéros puis 1)
La leçon — étape 3 sur 3
⚡ Multiplier ou diviser par des puissances de 10, c'est juste décaler la virgule :
× 103 → virgule part de 3 rangs vers la droite
÷ 102 (= × 10−2) → virgule part de 2 rangs vers la gauche
× 103 → virgule part de 3 rangs vers la droite
÷ 102 (= × 10−2) → virgule part de 2 rangs vers la gauche
3,6 × 104
= 3,6 × 10 000
= 36 000
Utilise la calculatrice 🖩 pour vérifier. Tape 3.6 × 10⁴.
🎯 Essaie d'abord !
Que vaut 2,5 × 103 ?
La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Devine avant de lire la suite !
Sans calculer, à ton avis, 25 × 23 ça donne 2 à quelle puissance ?
On a peut-être envie d'additionner ou de multiplier les exposants au hasard — comptons vraiment les facteurs pour voir ce qui marche.
Règle du produit — même base :
Prenons 25 × 23. Le facteur 2 est multiplié 5 fois dans le premier terme, et encore 3 fois dans le second. Au total, 2 est multiplié 8 fois.
Prenons 25 × 23. Le facteur 2 est multiplié 5 fois dans le premier terme, et encore 3 fois dans le second. Au total, 2 est multiplié 8 fois.
25 × 23
= (2×2×2×2×2) × (2×2×2)
= 2 multiplié 8 fois en tout (5 + 3)
= 28
Diviser, c'est l'opération inverse : au lieu d'ajouter des facteurs, on en retire. Regarde 27 ÷ 23 : le dénominateur contient 3 facteurs 2, qui se simplifient avec 3 des 7 facteurs 2 du numérateur.
27 ÷ 23
= 2×2×2×2×2×2×22×2×2
= il reste 4 facteurs 2 (7 − 3)
= 24
⭐ À savoir par cœur
am × an = am+n — même base : on additionne les exposants.
am ÷ an = am−n — même base : on soustrait les exposants.
am × an = am+n — même base : on additionne les exposants.
am ÷ an = am−n — même base : on soustrait les exposants.
⚠️ Ces règles ne fonctionnent que si les bases sont identiques. 23 × 34 ne se simplifie pas !
La leçon — étape 2 sur 3
Règle de la puissance de puissance :
Prenons (32)4. Chaque bloc 32 contient 2 facteurs 3. On répète ce bloc 4 fois : le facteur 3 apparaît donc 2 × 4 = 8 fois en tout.
Prenons (32)4. Chaque bloc 32 contient 2 facteurs 3. On répète ce bloc 4 fois : le facteur 3 apparaît donc 2 × 4 = 8 fois en tout.
(32)4
= 32 × 32 × 32 × 32 (le bloc 32 répété 4 fois)
= 3 apparaît 2 × 4 = 8 fois en tout
= 38
⭐ À savoir par cœur
(am)n = am×n — puissance de puissance : on multiplie les exposants.
(am)n = am×n — puissance de puissance : on multiplie les exposants.
La leçon — étape 3 sur 3
Tableau de synthèse des règles :
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | am × an = am+n | 53 × 52 = 55 |
| Quotient | am ÷ an = am−n | 75 ÷ 72 = 73 |
| Puissance² | (am)n = am×n | (23)4 = 212 |
🃴 Le savais-tu ? Qui a inventé la notation des puissances ? ▶
C'est le mathématicien français René Descartes qui, en 1637, introduit dans son livre La Géométrie la notation moderne an pour désigner la puissance n-ième de a. Avant lui, les mathématiciens écrivaient tout en toutes lettres, ce qui rendait les calculs fastidieux. Descartes a simplifié l'écriture de la même façon qu'on simplifie les nombres eux-mêmes avec cette notation.
🎯 Essaie d'abord !
Simplifie (23)2.
La leçon — étape 1 sur 3
🔬 La distance entre la Terre et le Soleil est environ 150 000 000 000 m. Écrire et relire tous ces zéros, c'est risqué.
🎯 Devine avant de lire la suite !
Laquelle de ces écritures te semble la plus pratique pour manipuler ce nombre ?
C'est bien la deuxième écriture que les scientifiques utilisent. Voyons pourquoi, et comment la construire à chaque fois.
La notation scientifique, comme son nom l'indique, est utilisée en sciences.
Pourquoi ? Parce qu'en sciences, on manipule deux idées : l'infiniment petit et l'infiniment grand.
L'infiniment petit, c'est quand on mesure des objets minuscules — la taille d'un microbe, d'un virus, d'une particule. L'infiniment grand, c'est quand on manipule des nombres immenses, comme la distance Terre-Soleil ci-dessus.
Plutôt que de s'embêter à écrire tous ces zéros, on les range dans une puissance de 10, et on se contente d'un nombre compris entre 1 et 10. (Même l'atome, encore plus petit qu'un virus, se prête à cette écriture : 0,000 000 000 1 m.)
Pourquoi ? Parce qu'en sciences, on manipule deux idées : l'infiniment petit et l'infiniment grand.
L'infiniment petit, c'est quand on mesure des objets minuscules — la taille d'un microbe, d'un virus, d'une particule. L'infiniment grand, c'est quand on manipule des nombres immenses, comme la distance Terre-Soleil ci-dessus.
Plutôt que de s'embêter à écrire tous ces zéros, on les range dans une puissance de 10, et on se contente d'un nombre compris entre 1 et 10. (Même l'atome, encore plus petit qu'un virus, se prête à cette écriture : 0,000 000 000 1 m.)
a × 10n avec 1 ≤ a < 10
⭐ À savoir par cœur
La notation scientifique de N s'écrit a × 10n où :
• a est un nombre vérifiant 1 ≤ a < 10 (la mantisse)
• n est un entier relatif (l'exposant)
La notation scientifique de N s'écrit a × 10n où :
• a est un nombre vérifiant 1 ≤ a < 10 (la mantisse)
• n est un entier relatif (l'exposant)
La leçon — étape 2 sur 3
Méthode pour un grand nombre :
- Je repère le premier chiffre non nul.
- Je place la virgule juste après lui pour obtenir a (entre 1 et 10).
- Je compte de combien de rangs j'ai décalé la virgule → c'est l'exposant n (positif pour un grand nombre).
384 000 000 (Distance Terre-Lune en m)
Virgule après le 3 : on obtient 3,84
Décalage : 8 rangs vers la gauche → 108
= 3,84 × 108
La leçon — étape 3 sur 3
Méthode pour un petit nombre (exposant négatif) :
0,000 000 1 (taille approx. d'un virus en m)
Virgule après le 1 : on obtient 1
Décalage : 7 rangs vers la droite → 10−7
= 1 × 10−7
Grand nombre → exposant positif
Petit nombre → exposant négatif
La calculatrice 🖩 affiche la notation scientifique avec le bouton EE ou ×10x.
🎯 Essaie d'abord !
Écris 47 000 en notation scientifique.
La leçon — étape 1 sur 2
🎯 Devine avant de lire la suite !
Sans calculer les deux nombres en entier, à ton avis, lequel est le plus grand : 3,2 × 105 ou 8,1 × 104 ?
Tu as peut-être hésité — regardons ce qui permet de trancher sans tout calculer.
🌎 Comparer 3,2 × 105 et 8,1 × 104 :
Les exposants sont différents : 105 > 104, donc 3,2 × 105 est le plus grand, sans calcul supplémentaire.
Les exposants sont différents : 105 > 104, donc 3,2 × 105 est le plus grand, sans calcul supplémentaire.
Comparer les exposants d'abord !
Si les exposants sont égaux, comparer les mantisses :
7,3 × 106 et 4,9 × 106 → même exposant → 7,3 > 4,9 → 7,3 × 106 est le plus grand.
7,3 × 106 et 4,9 × 106 → même exposant → 7,3 > 4,9 → 7,3 × 106 est le plus grand.
La leçon — étape 2 sur 2
Méthode générale — 3 étapes :
- Vérifie que tous les nombres sont bien en notation scientifique (mantisse entre 1 et 10).
- Compare les exposants. Le plus grand exposant donne le plus grand nombre.
- Si exposants égaux, compare les mantisses directement.
Ranger dans l'ordre croissant : 5,1 × 103 ; 2,8 × 105 ; 9,4 × 103
Exposants : 3, 5, 3 → 2,8 × 105 est le plus grand
Pour 5,1 × 103 et 9,4 × 103 → même exposant → 5,1 < 9,4
Ordre : 5,1 × 103 < 9,4 × 103 < 2,8 × 105
🎯 Essaie d'abord !
Lequel est le plus grand : 6,3 × 104 ou 9,1 × 103 ?
Le conseil du grand frère
🧭 Avant un examen ou le Brevet, voici comment aborder un calcul de puissances :
Lis l'énoncé deux fois. Repère si on te demande de calculer, simplifier, ou convertir. Écris chaque étape sur une ligne différente en justifiant la règle utilisée. Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, un peu. Le troisième, tu t'en sors seul.
Lis l'énoncé deux fois. Repère si on te demande de calculer, simplifier, ou convertir. Écris chaque étape sur une ligne différente en justifiant la règle utilisée. Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, un peu. Le troisième, tu t'en sors seul.
Exercice 1
La vitesse de la lumière est environ 3 × 108 m/s.
La distance Terre-Soleil est environ 1,5 × 1011 m.
1. Calcule le temps (en secondes) que met la lumière pour aller du Soleil à la Terre.
2. Convertis ce résultat en notation scientifique.
3. Rédige tes réponses en colonnes avec la règle utilisée.
La distance Terre-Soleil est environ 1,5 × 1011 m.
1. Calcule le temps (en secondes) que met la lumière pour aller du Soleil à la Terre.
2. Convertis ce résultat en notation scientifique.
3. Rédige tes réponses en colonnes avec la règle utilisée.
💡 Lis l'énoncé deux fois. Quelle formule relie distance, vitesse et temps ?
✏️ Brouillon (facultatif)
Ce qu'il faut retenir
Ce que tu maîtrises maintenant
✅ Calculer une puissance : an = a répété n fois.
✅ Puissances de 10 : l'exposant donne le nombre de zéros (ou de rangs après la virgule si négatif).
✅ Règles des puissances : on additionne, on soustrait ou on multiplie les exposants selon l'opération (même base obligatoire).
✅ Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10, pour écrire les très grands et les très petits nombres.
✅ Comparer : les exposants d'abord, les mantisses ensuite.
✅ Puissances de 10 : l'exposant donne le nombre de zéros (ou de rangs après la virgule si négatif).
✅ Règles des puissances : on additionne, on soustrait ou on multiplie les exposants selon l'opération (même base obligatoire).
✅ Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10, pour écrire les très grands et les très petits nombres.
✅ Comparer : les exposants d'abord, les mantisses ensuite.
Exercice — Sur la feuille numérique
1. Calcule en colonnes, en justifiant chaque règle utilisée :
a) 43 b) 26 ÷ 22 c) (32)3
2. Écris en notation scientifique : 0,00056 et 3 720 000.
3. Compare et range dans l'ordre croissant :
2,5 × 104 · 8,1 × 103 · 1,3 × 105
4. Rédige tes réponses avec des phrases.
a) 43 b) 26 ÷ 22 c) (32)3
2. Écris en notation scientifique : 0,00056 et 3 720 000.
3. Compare et range dans l'ordre croissant :
2,5 × 104 · 8,1 × 103 · 1,3 × 105
4. Rédige tes réponses avec des phrases.
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.