📊
Proportionnalité
4ème
4ᵉ proportionnelle, pourcentages, vitesses, échelles et graphiques.
On tente d'abord
Karim relève le prix de paquets de pâtes selon la quantité achetée.
D'après toi, le prix est-il proportionnel au nombre de paquets ?
| Paquets | 3 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 4,50 | 9 | 15 |
On regarde ce qui s'est passé
Pour être sûr, il ne suffit pas de « sentir » que ça monte ensemble : il faut calculer le rapport (prix ÷ paquets) sur chaque colonne, et vérifier qu'il est toujours le même. C'est exactement ce que tu vas faire juste en dessous.
À savoir par cœur
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Dans un tableau, cela revient à vérifier que tous les rapports (valeur du bas ÷ valeur du haut) sont égaux — un seul rapport différent suffit à casser la proportionnalité.
Je manipule — calculer les rapports
Bilan de la notion
Pour savoir si un tableau est proportionnel, je calcule le rapport de chaque colonne. S'ils sont tous égaux, c'est proportionnel ; si un seul rapport diffère, ce n'est pas proportionnel — même si « ça augmente ensemble ».
On tente d'abord
Un magasin vend du ruban.
D'après toi, combien coûte 1 seul mètre de ruban ?
| Longueur (m) | 4 | 6 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 7 | 10,50 |
On regarde ce qui s'est passé
7 € pour 4 m, ça fait 7 ÷ 4 = 1,75 € le mètre. Et 10,50 € pour 6 m donne 10,50 ÷ 6 = 1,75 € aussi : c'est cohérent. Ce nombre unique, qui donne « le prix d'une seule unité », s'appelle le coefficient de proportionnalité.
À savoir par cœur
Le coefficient de proportionnalité k est le nombre par lequel on multiplie la 1re grandeur pour obtenir la 2e, sur n'importe quelle colonne :
k = valeur du bas ÷ valeur du haut (sur une même colonne).
Une fois k connu, on retrouve n'importe quelle valeur manquante en multipliant par k.
k = valeur du bas ÷ valeur du haut (sur une même colonne).
Une fois k connu, on retrouve n'importe quelle valeur manquante en multipliant par k.
Je manipule — trouver et utiliser k
Bilan de la notion
Le coefficient k se calcule sur une seule colonne (valeur du bas ÷ valeur du haut), puis se réutilise pour toutes les autres : multiplier par k fait passer de la 1re grandeur à la 2e, en une seule opération.
On tente d'abord
Pour 5 croissants, on paie 6,25 €.
Sans poser de calcul savant, essaie d'estimer combien coûteraient 8 croissants.
| Croissants | Prix (€) |
|---|---|
| 5 | 6,25 |
| 8 | ? |
On regarde ce qui s'est passé
Tu as proposé un prix « au feeling ». Pour le vérifier, tu pourrais calculer le coefficient (6,25 ÷ 5, le prix d'un seul croissant) puis le multiplier par 8 — ça marche, mais dès que ce coefficient est un nombre à virgule peu pratique, on se trompe vite. Il existe une méthode qui marche toujours, directement avec les trois nombres connus, sans passer par le coefficient : le produit en croix. Tu vas l'appliquer juste en dessous à ces croissants, et comparer avec ton estimation.
À savoir par cœur
Si ab = cx (deux rapports égaux, dans une situation de proportionnalité), alors a × x = b × c, donc x = (b × c) ÷ a. C'est le produit en croix : on multiplie en diagonale, puis on divise par le nombre qui reste.
Le sais-tu ? La « règle de trois » ›
Bien avant qu'on parle de « produit en croix » à l'école, les marchands utilisaient déjà cette technique sous le nom de règle de trois : à partir de trois nombres connus, ils en déduisaient le quatrième. Elle apparaît dans des manuscrits indiens et arabes vieux de plus de mille ans, et servait à convertir des monnaies, des poids ou des mesures entre pays.
Je manipule — le produit en croix
Bilan de la notion
Pour trouver une 4e proportionnelle : je repère les trois nombres connus, je multiplie les deux qui sont « en diagonale » l'un de l'autre, puis je divise par le nombre restant. C'est le produit en croix.
On tente d'abord
Dans une classe de 20 élèves, 5 sont absents aujourd'hui. D'après toi, quel pourcentage d'élèves cela représente-t-il ?
On regarde ce qui s'est passé
« Pour cent » veut dire « ramené à 100 ». La meilleure façon de retrouver un pourcentage : imaginer une classe de 100 élèves et utiliser un tableau de proportionnalité.
Produit en croix : 5 × 100 ÷ 20 = 25. Il y a donc 25 % d'absents.
| Élèves absents | 5 | ? |
|---|---|---|
| Total d'élèves | 20 | 100 |
À savoir par cœur
Calculer un taux (quel pourcentage représente une partie) : taux = (partie ÷ total) × 100.
Appliquer un pourcentage (prendre p % d'un nombre N) : p % de N = N × p100.
Astuce pour les pourcentages ronds : prendre 50 %, c'est diviser par 2 ; 25 %, diviser par 4 ; 10 %, diviser par 10 ; 1 %, diviser par 100.
Appliquer un pourcentage (prendre p % d'un nombre N) : p % de N = N × p100.
Astuce pour les pourcentages ronds : prendre 50 %, c'est diviser par 2 ; 25 %, diviser par 4 ; 10 %, diviser par 10 ; 1 %, diviser par 100.
Je manipule — calculer un taux, puis appliquer un pourcentage
Bilan de la notion
Calculer un taux : (partie ÷ total) × 100. Appliquer un pourcentage : multiplier par p, puis diviser par 100 (ou utiliser l'astuce des nombres ronds). En 3e, tu retrouveras ces mêmes idées pour calculer une évolution en pourcentage.
On tente d'abord
Un cycliste parcourt 30 km en 2 h, toujours à la même vitesse. D'après toi, combien de km parcourra-t-il en 5 h ?
On regarde ce qui s'est passé
À vitesse constante, distance et temps sont proportionnels : 30 ÷ 2 = 15 km/h. En 5 h, il parcourt donc 15 × 5 = 75 km. La vitesse, c'est exactement le coefficient de proportionnalité entre distance et temps.
À savoir par cœur
v = d ÷ t | d = v × t | t = d ÷ v
v = vitesse, d = distance, t = temps. Les unités doivent aller ensemble : des km et des heures donnent des km/h, des mètres et des secondes donnent des m/s.
Minutes → heures : 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h, 45 min = 0,75 h. Donc 1 h 30 min = 1,5 h, jamais 1,30 h.
m/s ↔ km/h : 1 m/s, c'est 3 600 m en une heure, soit 3,6 km/h. Pour passer de m/s à km/h on multiplie par 3,6 ; de km/h à m/s on divise par 3,6.
v = vitesse, d = distance, t = temps. Les unités doivent aller ensemble : des km et des heures donnent des km/h, des mètres et des secondes donnent des m/s.
Minutes → heures : 30 min = 0,5 h, 15 min = 0,25 h, 45 min = 0,75 h. Donc 1 h 30 min = 1,5 h, jamais 1,30 h.
m/s ↔ km/h : 1 m/s, c'est 3 600 m en une heure, soit 3,6 km/h. Pour passer de m/s à km/h on multiplie par 3,6 ; de km/h à m/s on divise par 3,6.
Je manipule — utiliser v = d ÷ t
Bilan de la notion
La vitesse est le coefficient de proportionnalité entre distance et temps. Connaissant deux des trois grandeurs (v, d, t), je retrouve la troisième avec v = d ÷ t, d = v × t ou t = d ÷ v. Avant de calculer, je mets les unités d'accord : les minutes en heures (30 min = 0,5 h), et m/s → km/h en multipliant par 3,6.
On tente d'abord
Un triangle rectangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm (5 cm étant le plus grand côté). On l'agrandit pour que ce plus grand côté mesure 8 cm, en gardant exactement la même forme.
D'après toi, combien mesureront alors les deux autres côtés (3 cm et 4 cm) ?
D'après toi, combien mesureront alors les deux autres côtés (3 cm et 4 cm) ?
On regarde ce qui s'est passé
Un agrandissement (ou une réduction) garde toutes les longueurs proportionnelles entre elles. Le coefficient qui fait passer de 5 cm à 8 cm est 8 ÷ 5 = 1,6. On applique ce même coefficient à TOUS les côtés : 4 × 1,6 = 6,4 cm et 3 × 1,6 = 4,8 cm.
À savoir par cœur
Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs de la figure d'arrivée sont proportionnelles aux longueurs de la figure de départ (les angles, eux, ne changent pas). Ce coefficient de proportionnalité s'appelle le rapport d'agrandissement ou de réduction : il est supérieur à 1 pour un agrandissement, compris entre 0 et 1 pour une réduction.
Sur un plan ou une carte, ce même rapport s'appelle l'échelle : échelle = mesure sur le plan ÷ mesure réelle (toujours dans la même unité, en général le cm). Une échelle 150 signifie « 1 cm sur le plan = 50 cm en réalité » : du plan vers la réalité on multiplie par 50, de la réalité vers le plan on divise par 50.
Sur un plan ou une carte, ce même rapport s'appelle l'échelle : échelle = mesure sur le plan ÷ mesure réelle (toujours dans la même unité, en général le cm). Une échelle 150 signifie « 1 cm sur le plan = 50 cm en réalité » : du plan vers la réalité on multiplie par 50, de la réalité vers le plan on divise par 50.
Je manipule — agrandissement, puis plan à l'échelle
Bilan de la notion
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même coefficient. Sur un plan, ce coefficient s'appelle l'échelle : le piège classique est d'oublier de convertir les unités (le résultat d'un calcul avec des cm reste en cm, pas en m ou en km).
On tente d'abord
Voici trois graphiques (les axes partent du point (0 ; 0), en bas à gauche).
D'après toi, lequel des trois représente une situation de proportionnalité ?
On regarde ce qui s'est passé
Pour trancher, il a fallu vérifier deux choses à la fois : est-ce une droite ? et passe-t-elle par (0 ; 0) ? Le graphique B rate la seconde (une droite qui ne part pas de l'origine, comme un abonnement avec des frais fixes), le graphique C rate la première (il passe par l'origine mais se courbe). Seul A réussit les deux — c'est le signe d'une proportionnalité. Et puisque c'est une proportionnalité, on doit pouvoir y lire un coefficient : c'est ce que tu vas faire juste après.
À savoir par cœur
Le graphique d'une situation de proportionnalité est toujours une droite qui passe par l'origine (le point (0 ; 0)). Il faut vérifier les deux conditions à la fois : une droite qui ne passe pas par (0 ; 0) n'est pas proportionnelle, et une courbe qui passe par (0 ; 0) ne l'est pas non plus.
On lit le coefficient de proportionnalité sur le graphique : k = ordonnée ÷ abscisse d'un point quelconque de la droite (autre que l'origine).
On lit le coefficient de proportionnalité sur le graphique : k = ordonnée ÷ abscisse d'un point quelconque de la droite (autre que l'origine).
Je manipule — lire un graphique
Bilan de la notion
Un graphique est proportionnel s'il est une droite ET s'il passe par (0 ; 0). Sur cette droite, le coefficient de proportionnalité se lit en calculant ordonnée ÷ abscisse d'un point quelconque.
Tout le chapitre en un coup d'œil
Sept notions, un même fil directeur : reconnaître une situation proportionnelle (tous les rapports égaux), calculer et utiliser le coefficient, retrouver une 4e proportionnelle par produit en croix, manier les pourcentages (taux et application), utiliser la vitesse comme coefficient distance/temps, agrandir ou réduire une figure (échelle), et reconnaître une proportionnalité sur un graphique.
À savoir par cœur
Coefficient k = valeur du bas ÷ valeur du haut, sur une même colonne.
Produit en croix : si ab = cx, alors x = (b × c) ÷ a.
Pourcentage : taux = (partie ÷ total) × 100 ; p % de N = N × p ÷ 100.
Vitesse : v = d ÷ t | d = v × t | t = d ÷ v (30 min = 0,5 h ; m/s → km/h : × 3,6).
Échelle / agrandissement : coefficient = mesure d'arrivée ÷ mesure de départ (même unité).
Graphique : droite passant par (0 ; 0).
Produit en croix : si ab = cx, alors x = (b × c) ÷ a.
Pourcentage : taux = (partie ÷ total) × 100 ; p % de N = N × p ÷ 100.
Vitesse : v = d ÷ t | d = v × t | t = d ÷ v (30 min = 0,5 h ; m/s → km/h : × 3,6).
Échelle / agrandissement : coefficient = mesure d'arrivée ÷ mesure de départ (même unité).
Graphique : droite passant par (0 ; 0).
Le conseil du grand frère
Face à un problème de proportionnalité, le même canevas fonctionne toujours :
- Repère les deux grandeurs en jeu dans l'énoncé.
- Vérifie qu'il s'agit bien d'une situation de proportionnalité (coefficient constant, ou l'énoncé le précise).
- Calcule avec le coefficient ou le produit en croix, selon ce qui est le plus simple.
- Conclus par une phrase avec l'unité.
3 exercices, de plus en plus autonome
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Un cycliste roule à vitesse constante : il parcourt 18 km en 45 minutes. À cette même vitesse, il continue sa route pendant 1 heure de plus.
Le magasin de vélos annonce ensuite une remise de 20 % sur un casque affiché à 45 €.
1) Quelle distance, en km, le cycliste aura-t-il parcourue au total (les 18 km, plus le trajet de l'heure supplémentaire, à la même vitesse) ?
2) Quel est le prix payé pour le casque, remise comprise ?
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
Le magasin de vélos annonce ensuite une remise de 20 % sur un casque affiché à 45 €.
1) Quelle distance, en km, le cycliste aura-t-il parcourue au total (les 18 km, plus le trajet de l'heure supplémentaire, à la même vitesse) ?
2) Quel est le prix payé pour le casque, remise comprise ?
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.