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Proportionnalité
3ème — révisions
Situation
Dans une classe de 24 élèves, 14 sont des filles. Le reste sont des garçons.
🎯 Essaie d'abord !
Combien y a-t-il de garçons dans cette classe ?
Explication
La proportionnalité, c'est quand deux grandeurs évoluent de la même manière : on peut toujours passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par le même nombre.
Le cas le plus utile, ce sont les pourcentages. « Pour cent » veut dire qu'on ramène toujours la situation à 100. Dans notre classe de 24 élèves, 14 sont des filles. Sur 100 élèves, cela ferait combien de filles ?
Le cas le plus utile, ce sont les pourcentages. « Pour cent » veut dire qu'on ramène toujours la situation à 100. Dans notre classe de 24 élèves, 14 sont des filles. Sur 100 élèves, cela ferait combien de filles ?
| Classe réelle | Ramenée à 100 |
|---|---|
| 24 élèves | 100 élèves |
| 14 filles | ? filles |
On utilise le produit en croix pour trouver le « ? ».
À savoir par cœur
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) par le même nombre.
Un pourcentage ramène une situation à une base de 100 : on utilise un tableau de proportionnalité et le produit en croix.
Un pourcentage ramène une situation à une base de 100 : on utilise un tableau de proportionnalité et le produit en croix.
🃴 Le savais-tu ? D'où vient le symbole % ▶
Le symbole % vient de l'expression italienne « per cento », qui veut dire « pour cent ». Les marchands italiens l'écrivaient d'abord en toutes lettres, puis de plus en plus vite, jusqu'à ce que le « cento » se transforme peu à peu en deux petits ronds séparés par une barre.
On retrouve des traces de cette écriture abrégée dès le début du 15e siècle dans des manuscrits de commerce italiens — bien avant que les mathématiques ne l'adoptent officiellement.
On retrouve des traces de cette écriture abrégée dès le début du 15e siècle dans des manuscrits de commerce italiens — bien avant que les mathématiques ne l'adoptent officiellement.
De « per cento » au symbole % que l'on utilise aujourd'hui.
Situation
Quand on dit « 30 % de 180 € », qu'est-ce que ça veut dire pour toi ?
🎯 Essaie d'abord !
D'après toi, 30 % de 180 €, c'est plutôt proche de…
Explication — l'astuce des nombres ronds
Il existe une astuce quand le pourcentage et la quantité se terminent tous les deux par un zéro : tu caches un zéro dans chaque nombre, puis tu multiplies.
Pour 30 % de 180 € : cache un zéro dans chaque nombre → 3 et 18. 3 × 18 = 54. Et voilà : 30 % de 180 €, c'est 54 €.
Pour 30 % de 180 € : cache un zéro dans chaque nombre → 3 et 18. 3 × 18 = 54. Et voilà : 30 % de 180 €, c'est 54 €.
🎯 À toi de jouer
Calcule 20 % de 140 € avec l'astuce des nombres ronds.
Exemple — quand l'astuce ne suffit pas
Ce n'est pas toujours possible de calculer de tête avec cette astuce. Quand les nombres ne sont pas ronds, il faut passer par la méthode générale, à la calculatrice : on écrit le pourcentage sous forme de fraction décimale (avec 100 au dénominateur), et on multiplie par la quantité.
Exemple : 23 % de 340 € = 23100 × 340 = 0,23 × 340 = 78,20 €.
Exemple : 23 % de 340 € = 23100 × 340 = 0,23 × 340 = 78,20 €.
À savoir par cœur
Pourcentage d'une quantité = p100 × quantité.
Astuce : si le pourcentage ET la quantité se terminent par un zéro, cache-le dans chacun des deux nombres avant de multiplier.
Astuce : si le pourcentage ET la quantité se terminent par un zéro, cache-le dans chacun des deux nombres avant de multiplier.
Situation
Tu vas au magasin : tu veux acheter une paire de baskets à 180 €. Elle est soldée à 30 %. Combien d'euros faut-il retirer des 180 € à la caisse ?
🎯 Tu l'as déjà appris
Combien représentent ces 30 % de réduction ?
Étape 1 — deux calculs séparés
On l'a vu juste avant : 30 % de 180 €, c'est 54 €. Le prix payé à la caisse, c'est donc 180 − 54.
Étape 2 — tout sur une seule ligne
Deux calculs ont été faits : d'un côté 30 % × 180, de l'autre 180 − 54. Pour obtenir directement le prix payé en une seule ligne de calcul, on écrit :
180 − 30100 × 180
Étape 3 — repérer le facteur commun
Regarde bien cette écriture : c'est une différence de deux termes (180 − ...). Or 180, c'est aussi 180 × 1. Le calcul complet, c'est donc :
Le nombre 180 apparaît dans les deux termes de la différence : c'est le facteur commun.
180 × 1 − 30100 × 180
🎯 Vérifie que tu as bien vu
Dans 180 × 1 − (30100) × 180, quel est le facteur commun aux deux termes ?
Étape 4 — factoriser par 180
En mettant 180 en facteur commun, on obtient :
c'est-à-dire 180 × 0,70.
180 × (1 − 0,30)
🎯 Termine le calcul
1 − 0,30, ça fait combien ?
À savoir par cœur
Le nombre 0,70 s'appelle le coefficient multiplicateur. Avec lui, on trouve directement le prix payé en une seule multiplication : 180 × 0,70 = 126 €.
Pour une diminution de t % : coefficient multiplicateur = 1 − t100.
Pour une augmentation de t % : coefficient multiplicateur = 1 + t100.
Pour une diminution de t % : coefficient multiplicateur = 1 − t100.
Pour une augmentation de t % : coefficient multiplicateur = 1 + t100.
🎯 À toi de jouer
Un article à 100 € augmente de 8 %. Quel est le coefficient multiplicateur ?
Situation
Un prix était à 180 € et il devient 126 €. De combien a-t-il diminué, en pourcentage ?
🎯 Essaie d'abord !
D'après toi, quel est ce taux de diminution ?
Explication
Ce n'est pas toujours le résultat final qui nous intéresse, mais le coefficient multiplicateur lui-même : grâce à lui, on peut retrouver le taux d'évolution.
Ici, le coefficient est 0,70 (car 180 × 0,70 = 126). Or 0,70 = 1 − 0,30. Donc le taux de diminution est de 30 %. C'est exactement l'exemple des baskets soldées.
Ici, le coefficient est 0,70 (car 180 × 0,70 = 126). Or 0,70 = 1 − 0,30. Donc le taux de diminution est de 30 %. C'est exactement l'exemple des baskets soldées.
À savoir par cœur
Pour retrouver un taux d'évolution à partir d'un coefficient multiplicateur k :
• si k < 1 : c'est une diminution de (1 − k) × 100 %.
• si k > 1 : c'est une augmentation de (k − 1) × 100 %.
• si k < 1 : c'est une diminution de (1 − k) × 100 %.
• si k > 1 : c'est une augmentation de (k − 1) × 100 %.
🎯 À toi de jouer
Le coefficient multiplicateur d'une évolution est 1,15. Quel est le taux d'évolution ?
Situation
Une quantité X augmente de 10 %, puis diminue de 10 %. Est-ce qu'on revient exactement au prix de départ ?
🎯 Essaie d'abord !
Qu'en penses-tu ?
Explication
On fait X × 1,10 × 0,90. Et 1,10 × 0,90 = 0,99. C'est comme si on avait fait une seule diminution de 1 %.
Les deux évolutions ne s'annulent donc pas exactement : on se méfie, on ne peut ni additionner ni soustraire des pourcentages, surtout quand on enchaîne plusieurs évolutions.
Les deux évolutions ne s'annulent donc pas exactement : on se méfie, on ne peut ni additionner ni soustraire des pourcentages, surtout quand on enchaîne plusieurs évolutions.
À savoir par cœur
Pour des évolutions successives, on ne peut ni additionner ni soustraire les pourcentages. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.
🎯 À toi de jouer
Une hausse de 20 % suivie d'une hausse de 10 % : est-ce une hausse totale de 30 % ?
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te file ses tuyaux avant le contrôle :
Un problème de proportionnalité, ça se traduit en coefficient multiplicateur, et ça se rédige ligne par ligne, avec une phrase de réponse.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul. Comme au contrôle !
Un problème de proportionnalité, ça se traduit en coefficient multiplicateur, et ça se rédige ligne par ligne, avec une phrase de réponse.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul. Comme au contrôle !
Exercice 1
Un vélo coûte 240 €. Il est soldé à 15 %.
Calcule le prix payé, et rédige ta démarche.
Calcule le prix payé, et rédige ta démarche.
💡 Quel est le coefficient multiplicateur pour une baisse de 15 % ?
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Un ordinateur coûte 650 €. Le magasin applique d'abord une remise de 20 % pour le déstockage, puis une remise supplémentaire de 10 % pour la carte de fidélité (appliquée sur le nouveau prix, après la première remise).
Quel est le prix final payé, remises comprises ?
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
Quel est le prix final payé, remises comprises ?
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.