🎲
Probabilités
5ème
Découvrir le hasard, calculer des probabilités, comprendre la fréquence.
La leçon — étape 1 sur 3
🎲 Fatou et Youssef jouent à un jeu de société.
C’est au tour de Fatou. Elle prend le dé, le secoue, et le lance sur la table.
Avant de le lancer, elle espérait un 6 pour avancer plus vite. Mais elle ne pouvait pas savoir ce qui allait sortir.
Ce genre de situation — où on fait quelque chose dont on ne peut pas prévoir le résultat — ça a un nom en maths.
C’est au tour de Fatou. Elle prend le dé, le secoue, et le lance sur la table.
Avant de le lancer, elle espérait un 6 pour avancer plus vite. Mais elle ne pouvait pas savoir ce qui allait sortir.
Ce genre de situation — où on fait quelque chose dont on ne peut pas prévoir le résultat — ça a un nom en maths.
On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l’avance.
• Lancer un dé → on ne sait pas quelle face va sortir
• Tirer une carte au hasard → on ne sait pas laquelle
• Calculer 5 + 3 → le résultat est toujours 8 → PAS aléatoire
• Tirer une carte au hasard → on ne sait pas laquelle
• Calculer 5 + 3 → le résultat est toujours 8 → PAS aléatoire
💬 En plus simple : si tu ne peux pas deviner le résultat avant de le faire, c’est une expérience aléatoire.
La leçon — étape 2 sur 3
🎲 Fatou a lancé le dé. Il s’arrête sur le 4. Ce résultat — le 4 — est une issue.
⭐ À savoir par cœur
• Chaque résultat possible s’appelle une issue
• L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers
• Dé à 6 faces : univers = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} → 6 issues
• Pièce de monnaie : univers = {face ; pile} → 2 issues
• Chaque résultat possible s’appelle une issue
• L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers
• Dé à 6 faces : univers = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} → 6 issues
• Pièce de monnaie : univers = {face ; pile} → 2 issues
Youssef dit à Fatou : « Si tu fais un nombre pair, tu rejoues. » Il ne parle pas d’UN seul résultat, mais de PLUSIEURS à la fois : le 2, le 4 ou le 6. Ce regroupement s’appelle un événement.
⭐ À savoir par cœur
• Un événement = un ou plusieurs résultats regroupés
• « Obtenir un nombre pair » → issues : {2 ; 4 ; 6}
• « Obtenir un 3 » → une seule issue : {3}
• Un événement = un ou plusieurs résultats regroupés
• « Obtenir un nombre pair » → issues : {2 ; 4 ; 6}
• « Obtenir un 3 » → une seule issue : {3}
⚠️ Ne confonds pas : une issue = un résultat précis (« le 3 »). Un événement = un ou plusieurs résultats regroupés (« un nombre pair »).
La leçon — étape 3 sur 3
⭐ À savoir par cœur
Récap :
• Expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat
• Issue : un résultat possible
• Univers : la liste de toutes les issues
• Événement : un ou plusieurs résultats regroupés
Récap :
• Expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat
• Issue : un résultat possible
• Univers : la liste de toutes les issues
• Événement : un ou plusieurs résultats regroupés
📚 En 1654, le chevalier de Méré pose une question à Blaise Pascal : « Est-ce que les maths peuvent m’aider à gagner aux jeux de hasard ? » Pascal écrit à Fermat, et ensemble ils inventent les probabilités.
🎯 Vérifie ta compréhension !
On lance un dé à 6 faces. L’événement « obtenir un nombre impair » contient combien d’issues ?
La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Kenza et Ibrahim jouent aux fléchettes.
Kenza dit : « Je suis sûre que ma fléchette va toucher la cible. »
Ibrahim répond : « Moi je suis sûr que je ne vais PAS toucher la lune avec ma fléchette. »
L’un parle de quelque chose de possible mais pas garanti. L’autre parle de quelque chose d’impossible.
Kenza dit : « Je suis sûre que ma fléchette va toucher la cible. »
Ibrahim répond : « Moi je suis sûr que je ne vais PAS toucher la lune avec ma fléchette. »
L’un parle de quelque chose de possible mais pas garanti. L’autre parle de quelque chose d’impossible.
⭐ À savoir par cœur
• Événement certain : se réalise à tous les coups → probabilité = 1
• Événement impossible : ne peut jamais se réaliser → probabilité = 0
• Entre les deux : possible mais pas garanti
• Événement certain : se réalise à tous les coups → probabilité = 1
• Événement impossible : ne peut jamais se réaliser → probabilité = 0
• Entre les deux : possible mais pas garanti
Avec un dé à 6 faces :
• « Obtenir un nombre entre 1 et 6 » → certain
• « Obtenir un 8 » → impossible
• « Obtenir un 4 » → ni certain ni impossible
La leçon — étape 2 sur 3
La probabilité d’un événement est toujours entre 0 et 1.
0 ———————————— 1
impossible ← entre les deux → certain
⚠️ Piège : une probabilité ne dépasse JAMAIS 1. Elle n’est JAMAIS négative. Si tu trouves un nombre plus grand que 1 ou négatif, il y a une erreur.
La leçon — étape 3 sur 3
⭐ À savoir par cœur
Récap :
• Événement certain → probabilité = 1
• Événement impossible → probabilité = 0
• Sinon → probabilité entre 0 et 1
Récap :
• Événement certain → probabilité = 1
• Événement impossible → probabilité = 0
• Sinon → probabilité entre 0 et 1
Une probabilité se lit toujours sur cette échelle, entre 0 (impossible) et 1 (certain).
🎯 Vérifie !
On lance une pièce de monnaie. L’événement « obtenir face ou pile » est :
La leçon — étape 1 sur 2
🎡 Amir et Leïla sont à la fête foraine. Devant eux, deux roues.
• Roue n°1 : 4 secteurs de même taille → chaque couleur a autant de chances
• Roue n°2 : le rouge prend la moitié → le rouge sortira beaucoup plus souvent
La roue n°1 est équiprobable. La roue n°2 ne l’est pas.
• Roue n°1 : 4 secteurs de même taille → chaque couleur a autant de chances
• Roue n°2 : le rouge prend la moitié → le rouge sortira beaucoup plus souvent
La roue n°1 est équiprobable. La roue n°2 ne l’est pas.
⭐ À savoir par cœur
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont exactement la même probabilité.
• Dé à 6 faces équilibré → chaque face : probabilité 16
• Pièce équilibrée → chaque côté : probabilité 12
• Urne 10 boules identiques → chaque boule : probabilité 110
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont exactement la même probabilité.
• Dé à 6 faces équilibré → chaque face : probabilité 16
• Pièce équilibrée → chaque côté : probabilité 12
• Urne 10 boules identiques → chaque boule : probabilité 110
La leçon — étape 2 sur 2
💬 En plus simple : équiprobabilité = tout le monde a la même chance. Aucune issue n’est favorisée.
⚠️ Piège : ce n’est PAS parce qu’il y a 2 résultats possibles qu’il y a une chance sur deux ! « Mon billet de loterie gagne ou ne gagne pas » → deux possibilités, mais certainement PAS une chance sur deux de gagner !
🎯 Vérifie !
Un sac contient 3 billes rouges et 1 bille bleue. On regarde la couleur. Est-ce équiprobable ?
La leçon — étape 1 sur 3
🎲 Noa participe à un jeu télévisé. Il doit lancer un dé à 6 faces. S’il obtient un nombre pair, il gagne un lot.
Noa se demande : « J’ai combien de chances de gagner, exactement ? »
Noa se demande : « J’ai combien de chances de gagner, exactement ? »
🎯 À ton avis !
Sur les 6 faces du dé, combien font gagner Noa (les nombres pairs) ?
🎯 Et maintenant !
Et combien de faces y a-t-il en tout sur le dé ?
⭐ À savoir par cœur
Formule (quand c’est équiprobable) :
P(événement) = nombre d’issues favorablesnombre total d’issues
Formule (quand c’est équiprobable) :
P(événement) = nombre d’issues favorablesnombre total d’issues
💬 En plus simple :
• En haut : combien de résultats correspondent à ce qu’on cherche ?
• En bas : combien de résultats sont possibles en tout ?
On fait la fraction et on a la probabilité.
• En haut : combien de résultats correspondent à ce qu’on cherche ?
• En bas : combien de résultats sont possibles en tout ?
On fait la fraction et on a la probabilité.
⚠️ Cette formule ne marche QUE quand l’expérience est équiprobable !
La leçon — étape 2 sur 3
Exemple — Noa et le dé :
P(nombre pair) = ?
Univers : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} → 6 issues au total
Issues favorables : {2 ; 4 ; 6} → 3 issues favorables
P(pair) = 36 = 12
Exemple — L’urne de Priya :
8 boules identiques : 3 rouges, 2 bleues, 3 vertes. Probabilité de tirer une bleue ?
P(bleue) = ?
8 boules identiques → équiprobable → 8 issues
Issues favorables : 2 boules bleues
P(bleue) = 28 = 14
Ça se dessine avec un arbre :
Une branche par couleur possible : la probabilité écrite sur la branche, la somme des trois fait 1.
La leçon — étape 3 sur 3
Pour calculer une probabilité :
- Vérifier que c’est équiprobable.
- Compter le nombre total d’issues.
- Compter le nombre d’issues favorables.
- Écrire la fraction et la simplifier.
🎯 Essaie !
On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 4 ?
La leçon — étape 1 sur 2
🎲 Djibril a une urne avec des jetons de 3 couleurs.
P(rouge) = 0,3 — P(bleu) = 0,5 — P(jaune) = ?
« C’est fichu, je ne peux pas la calculer… » En fait, si !
P(rouge) = 0,3 — P(bleu) = 0,5 — P(jaune) = ?
« C’est fichu, je ne peux pas la calculer… » En fait, si !
🎯 À ton avis !
P(rouge) = 0,3 et P(bleu) = 0,5. À ton avis, P(jaune) = ?
⭐ À savoir par cœur
Règle : la somme de toutes les probabilités vaut toujours 1.
Si on additionne les probabilités de chaque résultat possible, on obtient 1. Quand on fait l’expérience, il va forcément se passer QUELQUE CHOSE → 100 % = 1.
Règle : la somme de toutes les probabilités vaut toujours 1.
Si on additionne les probabilités de chaque résultat possible, on obtient 1. Quand on fait l’expérience, il va forcément se passer QUELQUE CHOSE → 100 % = 1.
P(rouge) + P(bleu) + P(jaune) = 1
0,3 + 0,5 + P(jaune) = 1
0,8 + P(jaune) = 1
donc P(jaune) = 1 − 0,8 = 0,2
La leçon — étape 2 sur 2
💬 En plus simple : si tu connais toutes les probabilités sauf une, tu peux trouver la dernière en faisant 1 moins la somme de celles que tu connais.
⚠️ Vérification : si la somme de toutes tes probabilités ne fait PAS 1, il y a une erreur quelque part. C’est un bon moyen de vérifier ton travail.
🎯 Essaie !
P(rouge) = 15, P(verte) = 12. Quelle est P(bleue) ?
La leçon — étape 1 sur 2
🎲 Fatou lance un dé et veut un nombre pair. Youssef espère que Fatou n’aura PAS un nombre pair. Ce que Youssef espère, c’est le contraire de ce que Fatou espère.
⭐ À savoir par cœur
• Le contraire d’un événement A = « tout sauf A », on l’écrit « pas A »
• « Nombre pair » → contraire = « nombre impair » = « pas nombre pair »
• A et « pas A » couvrent ensemble tout l’univers
• Plus tard, on écrira ce contraire avec le symbole Ā (« A barré »)
• Le contraire d’un événement A = « tout sauf A », on l’écrit « pas A »
• « Nombre pair » → contraire = « nombre impair » = « pas nombre pair »
• A et « pas A » couvrent ensemble tout l’univers
• Plus tard, on écrira ce contraire avec le symbole Ā (« A barré »)
⚠️ Le contraire de « obtenir un nombre pair » n’est PAS « obtenir un nombre pair négatif ». C’est « obtenir un nombre impair ».
🃏 Sofia participe à un jeu de cartes. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Si elle tire un as, elle perd.
Sofia veut calculer ses chances de NE PAS perdre. Il y a un raccourci malin.
Sofia veut calculer ses chances de NE PAS perdre. Il y a un raccourci malin.
🎯 À ton avis !
Sur 32 cartes, 4 sont des as. Combien de cartes ne sont PAS des as ?
⭐ À savoir par cœur
Formule du contraire :
P(pas A) = 1 − P(A)
Formule du contraire :
P(pas A) = 1 − P(A)
💬 En plus simple : la probabilité du contraire = « 1 moins la probabilité de l’événement ». Si tu connais l’un, tu connais l’autre automatiquement.
La leçon — étape 2 sur 2
Exemple — Sofia et les as :
P(pas un as) = ?
P(as) = 432
P(pas un as) = 1 − 432
= 3232 − 432 = 2832 = 78
Exemple — Dé à 6 faces :
P(pas un 5) = ?
P(5) = 16
P(pas 5) = 1 − 16 = 56
⚠️ La formule P(pas A) = 1 − P(A) ne marche que si A et « pas A » sont bien des contraires (ensemble ils couvrent TOUT l’univers).
🎯 Essaie !
P(sport) = 35. Quelle est P(pas sport) ?
La leçon — étape 1 sur 2
🪙 Aya et Malik font une expérience en cours de maths.
Ils lancent une pièce 10 fois. Aya obtient 7 faces. Malik obtient 3 faces.
Aya dit : « Ma pièce est truquée ! » Malik dit la même chose. Ont-ils raison ?
Ils lancent une pièce 10 fois. Aya obtient 7 faces. Malik obtient 3 faces.
Aya dit : « Ma pièce est truquée ! » Malik dit la même chose. Ont-ils raison ?
⭐ À savoir par cœur
• Probabilité = ce qu’on calcule AVANT (la théorie)
• Fréquence = ce qu’on mesure APRÈS (la réalité)
fréquence = nombre de fois où le résultat s’est produitnombre total d’essais
• Probabilité = ce qu’on calcule AVANT (la théorie)
• Fréquence = ce qu’on mesure APRÈS (la réalité)
fréquence = nombre de fois où le résultat s’est produitnombre total d’essais
Aya : fréquence de face = 710 = 0,7. La probabilité théorique est 0,5. C’est différent — et c’est normal sur peu d’essais.
La leçon — étape 2 sur 2
Quand on répète beaucoup de fois :
⭐ À savoir par cœur
Plus on répète l’expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
Plus on répète l’expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.
10 lancers → fréquence = 0,70
100 lancers → fréquence = 0,48
1 000 lancers → fréquence = 0,503
10 000 lancers → fréquence = 0,4987
💬 En plus simple : sur 10 lancers, le hasard fait ce qu’il veut. Sur 10 000 lancers, le hasard se « calme » et les résultats se rapprochent de la théorie.
⚠️ Probabilité ≠ fréquence ! La probabilité se calcule (avec la formule). La fréquence se mesure (en comptant). Sur peu d’essais, la fréquence peut être très différente de la probabilité.
🎯 Réflexion !
Lucas lance un dé 6 fois et n’obtient jamais de 6. Son dé est-il truqué ?
Tout le chapitre en un coup d’œil
- Vocabulaire — une expérience aléatoire a des issues (les résultats possibles) ; un événement regroupe une ou plusieurs issues.
- Échelle du hasard — une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
- Équiprobabilité — la formule ne marche que si toutes les issues ont exactement la même chance.
- Calculer une probabilité — P(événement) = issues favorablesissues possibles
- Somme des probabilités — en additionnant les probabilités de toutes les issues, on obtient toujours 1.
- Événement contraire — P(pas A) = 1 − P(A).
🎯 Vérif 1 sur 4 — Vocabulaire & échelle
Un sac contient uniquement des billes rouges. Tu tires une bille au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?
🎯 Vérif 2 sur 4 — Équiprobabilité
Une roue a 3 secteurs : un grand secteur rouge, et deux petits secteurs (bleu et vert) de la même taille. Peux-tu calculer P(rouge) avec la formule favorables sur possibles ?
🎯 Vérif 3 sur 4 — Calculer une probabilité
Une urne contient 20 boules identiques : 8 vertes et 12 oranges. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
🎯 Vérif 4 sur 4 — Événement contraire
La probabilité qu’il pleuve demain est 310. Quelle est la probabilité qu’il ne pleuve PAS ?
Exercice 1
Un sac contient 12 billes : 5 rouges, 3 bleues et 4 vertes. On tire une bille au hasard.
1. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte ?
2. Quelle est la probabilité de ne PAS tirer une bille rouge ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge OU bleue ?
4. Calcule P(rouge), P(bleue) et P(verte) et vérifie que la somme fait 1.
1. Quelle est la probabilité de tirer une bille verte ?
2. Quelle est la probabilité de ne PAS tirer une bille rouge ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge OU bleue ?
4. Calcule P(rouge), P(bleue) et P(verte) et vérifie que la somme fait 1.
💡 Lis l'énoncé. Combien de billes au total ? Est-ce équiprobable ?
✏️ Brouillon (facultatif)
Exercice 1 — Sur la feuille numérique
Un sac contient 20 jetons : 6 rouges, 9 bleus et 5 jaunes. On tire un jeton au hasard.
1. Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune ?
2. Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un jeton bleu ?
3. Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge OU bleu ?
4. Rédige la réponse avec des phrases.
1. Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune ?
2. Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un jeton bleu ?
3. Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge OU bleu ?
4. Rédige la réponse avec des phrases.
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Entraînement libre, sans note.