On révise le vocabulaire du hasard, puis on apprend à modéliser une situation à deux épreuves avec l'arbre pondéré. Sujet très présent au brevet.
Tu as déjà rencontré ce vocabulaire en 4e et en 5e : expérience aléatoire, issue, événement, événement certain, événement impossible. Ce petit parcours de révision te permet de le retrouver avant d'attaquer une vraie nouveauté de 3e : les arbres à deux épreuves.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prédire le résultat : c'est le hasard qui décide. Chacun des résultats possibles s'appelle une issue.
Exemples : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, faire tourner une roue.
Un événement est un ensemble d'issues que l'on peut obtenir lors d'une expérience aléatoire. Un événement élémentaire est un événement constitué d'une seule issue. L'univers (noté Ω) regroupe toutes les issues possibles.
Une roue est partagée en trois secteurs égaux : deux portent la lettre A, un porte la lettre C. Il y a trois issues (les trois secteurs). L'événement « obtenir A » est réalisé par deux de ces issues. L'événement « obtenir C » n'est réalisé que par une seule : c'est un événement élémentaire.
La probabilité P(A) d'un événement A est un nombre entre 0 et 1.
Tu sais nommer une expérience aléatoire, une issue et un événement, et tu te souviens qu'une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Un sac contient 3 bonbons à la fraise et 7 bonbons au chocolat. On tire un bonbon au hasard. D'après toi, quelle est la probabilité de tirer un bonbon à la fraise ?
En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance) :
Sac de l'exemple : P(fraise) = 310. Urne 3 rouges, 5 bleues : P(rouge) = 38.
Dé à 6 faces équilibré : chaque face a la probabilité 1/6.
Roue partagée en 8 secteurs égaux, dont 3 rouges : P(rouge) = 38.
Jeu de 52 cartes : P(cœur) = 1352 = 14.
En situation d'équiprobabilité, P(A) = issues favorables ÷ issues possibles. N'oublie jamais de simplifier ta fraction.
On lance un dé équilibré. A = « obtenir un multiple de 3 » (c'est-à-dire 3 ou 6). D'après toi, quel est l'événement contraire de A ?
L'événement contraire d'un événement A, noté Ā, est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. C = « obtenir un cœur » (8 cœurs). P(C) = 832 = 14. L'événement contraire C̄ = « ne pas obtenir de cœur ». P(C̄) = 1 − 14 = 34.
La probabilité de l'événement contraire se calcule toujours avec la même formule :
Si P(pluie) = 0,3 alors P(pas de pluie) = 1 − 0,3 = 0,7.
Ā se réalise exactement quand A ne se réalise pas, et P(Ā) = 1 − P(A).
On lance un dé équilibré. Quelles issues réalisent l'événement « obtenir un nombre impair ET supérieur à 2 » ?
Un événement composé avec « ET » n'est réalisé que par les issues qui respectent toutes les conditions à la fois. Pour le trouver, on liste les issues une par une et on vérifie chaque condition.
Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent jamais être réalisés en même temps. Dans ce cas : P(A ou B) = P(A) + P(B).
On tire une carte dans 32 cartes. A = « obtenir une carte rouge » (16 cartes) et B = « obtenir un pique » (8 cartes) sont incompatibles (une carte rouge n'est jamais un pique). P(A ou B) = 1632 + 832 = 2432 = 34.
« ET » = toutes les conditions à la fois. Deux événements incompatibles ne peuvent jamais arriver ensemble, et leurs probabilités s'additionnent.
Avant d'attaquer les arbres à deux épreuves, un petit récapitulatif de ce que tu maîtrises déjà :
P(A) = issues favorables ÷ issues possibles, et P(A) + P(Ā) = 1. Ces deux idées reviennent dans TOUTE la suite du chapitre.
Une roue à 3 secteurs tourne une première fois, puis une deuxième fois. D'après toi, combien de résultats différents (dans l'ordre) peut-on obtenir au total ?
Maintenant que tu maîtrises le vocabulaire, il faut savoir modéliser une situation réelle : choisir comment la représenter pour pouvoir calculer des probabilités. L'outil le plus puissant, et le plus facile à maîtriser, c'est l'arbre pondéré.
Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes (ou épreuves). Chaque branche porte la probabilité de l'issue correspondante. Voici l'arbre de l'urne ci-dessous (3 boules rouges, 2 vertes, deux tirages avec remise) : R pour rouge, V pour verte.
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on tire une deuxième boule.
Comme on remet la boule, l'urne est identique aux deux tirages : P(rouge) = 35 aux deux niveaux de l'arbre. Chemin RR : P(rouge, rouge) = 35 × 35 = 925. Pour « exactement une rouge », deux chemins conviennent, RV et VR : P = 625 + 625 = 1225.
C'est ce genre d'arbre — « ? » sur les branches — que tu vas compléter toi-même dans l'entraînement.
Dans un arbre pondéré : chemin = produit des branches, événement = somme des chemins favorables. Avec remise, les probabilités ne changent pas d'un niveau à l'autre.
Même urne que tout à l'heure : 3 boules rouges et 2 boules vertes. Mais cette fois, on ne remet pas la boule tirée. La première boule tirée est rouge. À toi de continuer seul : que contient l'urne pour le deuxième tirage ?
Kenji pioche une carte dans un paquet, la garde dans sa main, puis en pioche une deuxième. C'est un tirage :
Avec remise : on remet la boule avant le 2e tirage. Les probabilités ne changent pas d'une étape à l'autre.
Sans remise : la boule tirée n'est pas remise. Au 2e tirage, il y a une boule de moins en tout, et une boule de moins de la couleur qui vient d'être tirée. Les probabilités du 2e niveau changent, et elles dépendent de ce qui est sorti au 1er tirage.
Calculer directement « au moins une rouge » demande d'additionner plusieurs chemins. C'est souvent plus simple de calculer d'abord l'événement contraire (« aucune rouge », un seul chemin), puis de faire 1 moins ce résultat.
Sans remise, l'urne change après le premier tirage : une boule de moins en tout, une de moins de la couleur tirée, donc des probabilités différentes selon la branche. Pense à l'événement contraire quand « au moins un » complique les calculs.
On lance un dé 12 fois. On obtient 4 fois le 6, alors qu'on « attendait » 2 fois. D'après toi, cela veut-il dire que le dé est truqué ?
La fréquence expérimentale d'un événement est le rapport entre le nombre de fois où il est apparu et le nombre total d'expériences réalisées.
On lance une pièce 200 fois, on obtient pile 97 fois : f(pile) = 97200 = 0,485.
Quand le nombre d'essais augmente, la fréquence expérimentale se rapproche de la probabilité théorique.
C'est la loi des grands nombres : plus on répète, plus la fréquence « stabilise » vers la probabilité.
On fait tomber une punaise sur une table de nombreuses fois. Sur 2 500 lancers, elle tombe 993 fois en position droite et 1 507 fois en position penchée.
Sofiane affirme que « la probabilité d'obtenir la position droite est égale à 0,4 ». En réalité f(droite) = 9932 500 ≈ 0,397 : cette fréquence est une estimation obtenue sur cette série de lancers, pas une valeur garantie exacte pour toujours — contrairement à un dé, une punaise n'est pas un objet équilibré dont on peut calculer P(A) par une formule.
La probabilité théorique est calculée à partir de la situation (formule), sans faire l'expérience. La fréquence expérimentale est mesurée après une expérience réelle.
f = apparitions ÷ essais. Plus on répète l'expérience, plus f se rapproche de la probabilité théorique.
L'arbre n'est pas le seul outil pour une expérience à deux épreuves : le tableau à double entrée permet aussi de lire directement des probabilités, sans dessiner de branches.
Nora possède 4 robes et 2 chapeaux. Elle choisit une robe et un chapeau au hasard. D'après toi, combien y a-t-il d'issues possibles au total ?
Dans son dressing, Nora possède quatre robes (blanche, noire, rouge, bleue) et deux chapeaux (rouge, bleu). Ce matin, elle choisit au hasard une robe et un chapeau.
| Blanche | Noire | Rouge | Bleue | |
|---|---|---|---|---|
| Rouge | — | — | ✓ | — |
| Bleu | — | — | — | ✓ |
Il y a 4 × 2 = 8 issues possibles. E = « robe et chapeau de la même couleur » est réalisé par 2 cases (✓). P(E) = 28 = 14.
Un sondage sur une classe est résumé dans ce tableau :
| Sport | Pas de sport | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 18 | 12 | 30 |
| Garçons | 22 | 8 | 30 |
| Total | 40 | 20 | 60 |
P(sport) = 4060 = 23. P(fille) = 3060 = 12. P(fille ET sport) = 1860 = 310.
Dans un tableau à double entrée, une probabilité se lit toujours : effectif de la case ÷ effectif total.
Un jeu coûte 3 €. On lance une pièce équilibrée : Face fait gagner 5 €, Pile ne rapporte rien. D'après toi, le fait que la pièce soit équilibrée suffit-il à dire que le jeu est équitable ?
Un problème de probabilités se rédige toujours dans le même ordre :
Un jeu coûte 2 € à jouer. On lance une pièce équilibrée. Si on obtient face, on reçoit 3 € ; si on obtient pile, on ne reçoit rien.
P(face) = 12. Sur 2 parties « typiques », on gagne une fois : on a payé 2 × 2 = 4 € et reçu 3 €. Le joueur perd 1 € sur 2 parties : le jeu est défavorable au joueur, même si la pièce est équilibrée. Il faut comparer ce qu'on reçoit et ce qu'on paie, pas seulement les chances de chaque issue.
Une roue de loterie donne un autocollant, un tee-shirt ou un tour de manège. Les secteurs ne sont pas forcément de la même taille : il faut toujours regarder l'aire de chaque secteur, pas seulement le nombre de secteurs, pour trouver la probabilité de chaque lot.
Un problème complet se rédige : univers → événement → calcul de P(A) → conclusion en français. Reste vigilant sur ce que la situation dit vraiment, pas seulement sur les nombres.
Tu as parcouru tout le chapitre Probabilités. Voici les idées essentielles à retenir :
Univers → issues favorables → P(A) = fraction → simplifier → conclure. Ce canevas de rédaction sert dans tout le chapitre, et au brevet.
Une bonne rédaction de probabilités suit toujours ces étapes :
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire une boule au hasard. Calculer P(rouge).
Solution : L'univers est Ω = {R₁, R₂, R₃, R₄, B₁, …, B₆}, il a 10 issues équiprobables. L'événement A = « tirer rouge » compte 4 issues favorables. Donc P(A) = 410 = 25. La probabilité de tirer une boule rouge est 25.
Sur une feuille, recopier les quatre repères essentiels : vocabulaire, formule en équiprobabilité, événement contraire, lecture d'un arbre pondéré. Ajouter un exemple personnel avec une fraction empilée.
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.