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Priorités opératoires
5ème
Pourquoi 3 + 4 × 2 ne fait-il pas 14, mais toujours 11, quelle que soit la personne qui calcule ?
Qui a raison ?
Léa et Hugo calculent 3 + 4 × 2, chacun de leur côté
Léa trouve 14. Hugo trouve 11. D'après toi, qui a raison ?
À savoir par cœur
Les priorités opératoires sont une convention adoptée par tout le monde — comme le code de la route — pour que 3 + 4 × 2 donne TOUJOURS le même résultat, peu importe qui calcule.
Bilan de la notion
Sans règle commune, un même calcul peut avoir plusieurs résultats. C'est pour ça qu'on a besoin des priorités opératoires — les règles précises arrivent dans les notions suivantes.
À savoir par cœur
Règle 1 : s'il n'y a que des + et des −, ou que des × et des ÷, on calcule dans l'ordre de lecture (de gauche à droite).
Règle 2 : s'il y a un mélange de ces opérations, on calcule d'abord tous les × et ÷, puis les + et −.
Règle 2 : s'il y a un mélange de ces opérations, on calcule d'abord tous les × et ÷, puis les + et −.
Vocabulaire à connaître
terme (morceau séparé par + ou −)
facteur (nombre dans une ×)
somme = résultat d'une addition (+)
produit = résultat d'une multiplication (×)
quotient = résultat d'une division (÷)
différence = résultat d'une soustraction (−)
À savoir par cœur
La nature d'une expression est déterminée par la dernière opération effectuée. Exemple : dans 3 + 4 × 2, on calcule 4 × 2 en premier, mais c'est bien une somme, car la dernière opération faite est le +. Autre exemple : (3 + 4) × 2 est un produit.
Exemple rédigé
3 + 4 × 2
= 3 + 4 × 2 (je souligne le calcul que je vais faire)
= 3 + 8 (je recopie toute la ligne, en remplaçant ce qui était souligné)
= 11
Le geste à travailler
Maintenant qu'on sait quoi calculer en premier, on nomme le calcul.
Le geste à travailler
Bilan de la notion
Sans parenthèses : × et ÷ avant + et − ; sinon, de gauche à droite. On sait aussi nommer chaque morceau (terme, facteur…) et reconnaître la nature d'une expression.
Entraînement
Constat
À savoir par cœur
Les parenthèses imposent de calculer leur contenu en priorité, avant tout le reste — et on y applique les mêmes règles de priorité à l'intérieur. S'il y a des parenthèses dans des parenthèses, on commence par les plus intérieures.
À savoir par cœur
On peut aussi voir des crochets [ ] : ils jouent exactement le rôle de parenthèses, juste pour que l'écriture reste lisible quand il y a déjà des parenthèses à l'intérieur.
Exemple rédigé
(7 + 3) × 2 − 5
= 7 + 3 × 2 − 5
= 10 × 2 − 5
= 20 − 5
= 15
Exemple rédigé — parenthèses imbriquées
2 × (10 − (3 + 1))
= 2 × (10 − 3 + 1) (la parenthèse la plus intérieure d'abord)
= 2 × 10 − 4
= 2 × 6
= 12
Quand des parenthèses sont imbriquées les unes dans les autres, on commence toujours par la plus à l'intérieur.
Le geste à travailler
Maintenant qu'on sait quoi calculer en premier, on l'écrit : une ligne, un seul calcul, et on recopie tout le reste avec ses signes.
Le geste à travailler
Maintenant qu'on sait repérer l'opération prioritaire même avec une parenthèse, on nomme le calcul.
Le geste à travailler
Bilan de la notion
Les parenthèses (et les crochets) imposent de calculer leur contenu en premier. On ne les supprime pas ici — ça, c'est une autre technique, pour le calcul littéral.
Entraînement
Exercice supplémentaire — calcule en respectant les priorités
À savoir par cœur
Remarque 1 : quand deux calculs sont indépendants l'un de l'autre (ils ne se mélangent pas), on peut les faire sur la même ligne. Ce n'est jamais une obligation : en cas de doute, une étape à la fois reste toujours valable.
À savoir par cœur
Remarque 2 : un calcul qui devra de toute façon être fait peut être fait dès le début, même s'il n'est pas le premier dans l'ordre de lecture — à condition de respecter quand même les règles de priorité.
Exemple rédigé
5 × 2 + 12 ÷ 3
= 5 × 2 + 12 ÷ 3 (deux calculs indépendants, sur la même ligne)
= 10 + 4
= 14
À savoir par cœur
Calculer malin : dans une suite de + et de −, on peut réordonner les termes pour regrouper ceux qui « vont bien ensemble » — par exemple pour former une dizaine ronde. Chaque signe reste toujours collé au nombre qui le suit.
Exemple rédigé
17 + 32 + 23 − 12
= 17 + 23 + 32 − 12 (on regroupe ce qui fait des dizaines rondes)
= 40 + 20
= 60
Bilan de la notion
Trois raccourcis, jamais des obligations : regrouper des calculs indépendants sur une ligne, anticiper un calcul qui tombe juste, ou réordonner des termes pour calculer malin.
Entraînement
3 + 52
À savoir par cœur
Remarque 3 : une barre de fraction est une division, et elle joue le rôle de parenthèses invisibles autour du numérateur ET autour du dénominateur — on calcule donc entièrement le numérateur, puis entièrement le dénominateur, avant de diviser.
Exemple rédigé
3 + 52
= (3 + 5) ÷ 2
= 8 ÷ 2
= 4
Bilan de la notion
Barre de fraction = division ; numérateur et dénominateur sont chacun entre des parenthèses invisibles, à calculer entièrement avant de diviser.
Entraînement
Retour au tout début
Maintenant que tu connais toutes les règles, reprenons le problème de Léa : une trousse à 13 €, une gomme à 3,30 € et 4 stylos à 1,20 € l'un. Ligne complète : 13 + 3,30 + 4 × 1,20.
À savoir par cœur
Méthode : identifier ce qu'on connaît (prix unitaire × quantité), ce qu'on ajoute ou soustrait, regrouper avec des parenthèses si besoin, avant de calculer.
À savoir par cœur
Ordre de grandeur : avant de calculer précisément, on estime — ici, à peu près 13 + 3 + 5 ≈ 21 €. Le résultat exact doit être proche de cette estimation ; sinon, une erreur s'est glissée quelque part.
Exemple rédigé
13 + 3,30 + 4 × 1,20
= 13 + 3,30 + 4 × 1,20
= 13 + 3,30 + 4,80
= 21,10
Léa dépense 21,10 € — proche de l'estimation (≈ 21 €) : le résultat est cohérent.
Exemple rédigé
6 × (2 + 7)
La dernière opération faite est la ×, donc la phrase commence par le produit.
Puis on dit chaque morceau : le produit de 6 et de la somme de 2 et 7 (on peut aussi dire : le produit de 6 par la somme de 2 et 7).
Attention : 6 × 2 + 7 se dit la somme du produit de 6 et de 2, et de 7 (ou la somme du produit de 6 par 2 et de 7), parce que la dernière opération est le +.
Lexique à retenir : somme (+), différence (−), produit (×), quotient (÷).
Le geste à travailler
Maintenant, dans l'autre sens : on part d'une phrase pour écrire le calcul.
Le geste à travailler
Bilan de la notion
Traduire un problème en une ligne de calcul, puis vérifier l'ordre de grandeur avant de faire confiance au résultat exact.
Entraînement
Tout le chapitre en un coup d'œil
- Les priorités opératoires : parenthèses d'abord, puis × et ÷, puis + et − ; à priorité égale, de gauche à droite.
- La nature d'un calcul (somme, différence, produit, quotient) et sa traduction en phrase, dans les deux sens.
- Les priorités cachées : une barre de fraction est une division, numérateur et dénominateur d'abord.
- Le calcul astucieux : regrouper les termes qui vont bien ensemble pour faire des dizaines, ou distribuer.
Le conseil du grand frère
① Identifie toutes les opérations et repère les parenthèses.
② Souligne le calcul que tu vas faire.
③ Recopie toute la ligne, en remplaçant seulement ce qui était souligné par son résultat.
④ Chaque nouvelle ligne commence par =.
② Souligne le calcul que tu vas faire.
③ Recopie toute la ligne, en remplaçant seulement ce qui était souligné par son résultat.
④ Chaque nouvelle ligne commence par =.
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Le club de foot d'Emma loue un bus pour une sortie. La location coûte 96 €, à partager également entre les 8 joueurs de l'équipe. Le club décide de prendre en charge la moitié de la part de chaque joueur, mais chaque joueur doit ajouter 3 € pour son repas.
1. Traduis en une seule expression mathématique la somme que doit finalement payer un joueur. Utilise des parenthèses si nécessaire.
2. Calcule cette expression en respectant les priorités opératoires. Rédige le calcul en colonnes, une transformation par ligne.
3. Le trésorier veut connaître la somme totale récoltée auprès des 8 joueurs. Traduis-la en une expression (8 × la part que paie un joueur), puis calcule-la. Vérifie que ton résultat est cohérent avec un ordre de grandeur.
1. Traduis en une seule expression mathématique la somme que doit finalement payer un joueur. Utilise des parenthèses si nécessaire.
2. Calcule cette expression en respectant les priorités opératoires. Rédige le calcul en colonnes, une transformation par ligne.
3. Le trésorier veut connaître la somme totale récoltée auprès des 8 joueurs. Traduis-la en une expression (8 × la part que paie un joueur), puis calcule-la. Vérifie que ton résultat est cohérent avec un ordre de grandeur.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.