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Parallélogramme
5ème
Reconnaître, construire, démontrer — le parallélogramme et ses cas particuliers.
La leçon — étape 1 sur 3
📑 Vérifions si tu connais bien la définition d'un polygone : une figure qui a plusieurs côtés. Parmi les polygones, il y a la famille de ceux qui ont quatre côtés — on les appelle les quadrilatères. Tu en connais déjà plusieurs, et il y en a un en particulier qu'il faut bien connaître.
🎯 Observe bien les côtés opposés (ceux qui se font face, deux à deux)
Lequel de ces trois quadrilatères a SES DEUX paires de côtés opposés parallèles ?
La leçon — étape 2 sur 3
💬 Bravo — cette figure s'appelle un parallélogramme. À ton avis, d'où vient son nom ? Et oui, il y a une histoire de « parallèle » quelque part.
💬 En clair : qu'est-ce que veut dire « côté opposé » ? Ce sont tout simplement les côtés qui se font face — et ils sont toujours parallèles au côté qui leur fait face. Attention, c'est très important : ces deux à deux, ça veut dire que ça marche pour les DEUX paires de côtés opposés, pas juste une.
⭐ À savoir par cœur
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dans ABCD : (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dans ABCD : (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
Il existe un quadrilatère qui a des côtés parallèles, mais une seule paire : on l'appelle le trapèze. Il n'est pas au programme cette année — retiens juste son nom.
La leçon — étape 3 sur 3 — petit bilan
🎯 Vérifie ta compréhension
EFGH n'a que (EF) // (HG) — pas l'autre paire. Est-ce un parallélogramme ?
• Un quadrilatère a 4 côtés. Un parallélogramme = quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
• Une seule paire parallèle → c'est un trapèze (hors programme cette année).
La leçon — étape 1 sur 4
📑 Une fois que tu as compris ce qu'est un parallélogramme, tu vas voir que plein de propriétés en découlent.
🎯 Observe bien la figure avant de répondre
Fatou a mesuré son parallélogramme ABCD et a codé les longueurs sur la figure. Que remarques-tu sur les côtés opposés ?
La leçon — étape 2 sur 4
💬 En clair : le parallélogramme a des propriétés remarquables sur ses côtés, ses angles et ses diagonales — elles découlent toutes de sa définition.
⭐ À savoir par cœur
Dans tout parallélogramme ABCD :
• Côtés opposés égaux : AB = DC et AD = BC.
• Angles opposés égaux : ∠DAB = ∠BCD et ∠ABC = ∠CDA.
• Angles consécutifs supplémentaires : deux angles qui se suivent ont une somme de 180° (∠DAB + ∠ABC = 180°).
• Diagonales se coupant en leur milieu : O est le milieu de [AC] et de [BD] — donc OA = OC et OB = OD.
Dans tout parallélogramme ABCD :
• Côtés opposés égaux : AB = DC et AD = BC.
• Angles opposés égaux : ∠DAB = ∠BCD et ∠ABC = ∠CDA.
• Angles consécutifs supplémentaires : deux angles qui se suivent ont une somme de 180° (∠DAB + ∠ABC = 180°).
• Diagonales se coupant en leur milieu : O est le milieu de [AC] et de [BD] — donc OA = OC et OB = OD.
La leçon — étape 3 sur 4
💬 En clair : le point O où se croisent les diagonales, tu l'as déjà rencontré ! C'est un centre de symétrie du parallélogramme, exactement comme en symétrie centrale : C est le symétrique de A par rapport à O, et D est le symétrique de B par rapport à O.
⚠️ Par contre, un parallélogramme quelconque n'a pas d'axe de symétrie — ne confonds pas les deux transformations.
🃴 Le savais-tu ? Les mosaïques arabes ▶
Dans les palais de Grenade et de Marrakech, les artisans du Moyen Âge couvraient murs et sols de carreaux en forme de parallélogrammes, losanges et étoiles.
Ces motifs appelés arabesques géométriques sont construits à la règle et au compas uniquement. La propriété « les diagonales se coupent en leur milieu » permettait de centrer chaque motif avec une précision parfaite — sans calculatrice.
Ces motifs appelés arabesques géométriques sont construits à la règle et au compas uniquement. La propriété « les diagonales se coupent en leur milieu » permettait de centrer chaque motif avec une précision parfaite — sans calculatrice.
Arabesques géométriques — palais de l'Alhambra, Grenade.
La leçon — étape 4 sur 4 — petit bilan
⚠️ Piège : « les diagonales se coupent en leur milieu » ne veut pas dire qu'elles sont égales. Dans un parallélogramme quelconque, AC et BD ont en général des longueurs différentes.
🎯 Essaie d'abord !
Dans un parallélogramme ABCD, O est le point d'intersection des diagonales. Que vaut OA si AC = 10 cm ?
• Côtés opposés égaux · angles opposés égaux · angles consécutifs supplémentaires (somme 180°).
• Diagonales qui se coupent en leur milieu O = centre de symétrie (pas d'axe de symétrie).
La leçon — étape 1 sur 4
📑 On dirait qu'un parallélogramme se caractérise par ses propriétés. Qu'est-ce que ça veut dire, se caractériser ?
Je prends un exemple : toi, tu es un élève ou une élève, tu as un prénom, un nom, un âge. Cela te caractérise — grâce à ces informations, on sait qu'on parle de toi et uniquement de toi. Mais ces informations ne te définissent pas, puisque tu es une personne à part entière, avec une personnalité, des idées, des rêves, des goûts, des qualités, des défauts. Ce qui définit une personne est bien plus large que seulement trois informations — mais avec ces trois informations, on te retrouve.
Pour les figures, c'est beaucoup plus facile : avec une, deux, voire trois informations, on retrouve de qui on parle.
Je prends un exemple : toi, tu es un élève ou une élève, tu as un prénom, un nom, un âge. Cela te caractérise — grâce à ces informations, on sait qu'on parle de toi et uniquement de toi. Mais ces informations ne te définissent pas, puisque tu es une personne à part entière, avec une personnalité, des idées, des rêves, des goûts, des qualités, des défauts. Ce qui définit une personne est bien plus large que seulement trois informations — mais avec ces trois informations, on te retrouve.
Pour les figures, c'est beaucoup plus facile : avec une, deux, voire trois informations, on retrouve de qui on parle.
🎯 Essaie d'abord !
Je sais qu'un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. D'après toi, est-ce suffisant pour affirmer que c'est un parallélogramme ?
La leçon — étape 2 sur 4
Quatre conditions suffisantes pour reconnaître un parallélogramme (une seule suffit) :
① Les côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition).
② Les côtés opposés sont égaux deux à deux (quadrilatère non croisé).
③ Les diagonales se coupent en leur milieu.
④ Le quadrilatère a un centre de symétrie.
① Les côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition).
② Les côtés opposés sont égaux deux à deux (quadrilatère non croisé).
③ Les diagonales se coupent en leur milieu.
④ Le quadrilatère a un centre de symétrie.
⚠️ « Ça a l'air d'un parallélogramme » n'est jamais une preuve. Il faut s'appuyer sur une donnée de l'énoncé ou du codage, et citer la propriété du cours utilisée.
🎯 Essaie d'abord !
Hugo mesure AB = DC = 5 cm et AD = BC = 3 cm (ABCD non croisé). Peut-il conclure que ABCD est un parallélogramme ?
La leçon — étape 3 sur 4
Le canevas de rédaction officiel — en trois temps :
⭐ À savoir par cœur
On sait que… (la donnée de l'énoncé)
Or… (la propriété du cours qu'on applique)
Donc… (la conclusion)
On sait que… (la donnée de l'énoncé)
Or… (la propriété du cours qu'on applique)
Donc… (la conclusion)
Montrons que ABCD est un parallélogramme.
On sait que O est le milieu de [AC] et le milieu de [BD] (codé sur la figure : OA = OC et OB = OD).
Or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
La leçon — étape 4 sur 4 — à ton tour
✍️ Vérifie toi-même, étape par étape, si un quadrilatère est un parallélogramme.
La leçon — étape 1 sur 3
✎ Anya connaît les sommets A, B et D d'un parallélogramme ABCD. Elle veut retrouver le quatrième sommet C sans le placer au hasard.
🎯 Essaie d'abord !
D'après ce que tu sais des diagonales, quelle propriété va aider Anya à trouver C ?
La leçon — étape 2 sur 3
Méthode alternative : côtés parallèles (règle + équerre).
Tracer par B une droite parallèle à [AD], et par D une droite parallèle à [AB]. Leur intersection est C.
Tracer par B une droite parallèle à [AD], et par D une droite parallèle à [AB]. Leur intersection est C.
Méthode au compas (propriété des longueurs).
Tracer l'arc de cercle de centre B et de rayon AD, puis l'arc de centre D et de rayon AB : ils se coupent en C.
Tracer l'arc de cercle de centre B et de rayon AD, puis l'arc de centre D et de rayon AB : ils se coupent en C.
⭐ À savoir par cœur
Pour construire le 4ème sommet d'un parallélogramme ABCD connaissant A, B, D :
• Méthode milieu : O = milieu de [BD], puis C = symétrique de A par rapport à O.
• Méthode parallèles : (BC) // (AD) et (DC) // (AB) — leur intersection est C.
• Méthode compas : reporter les longueurs des côtés opposés avec deux arcs de cercle.
Pour construire le 4ème sommet d'un parallélogramme ABCD connaissant A, B, D :
• Méthode milieu : O = milieu de [BD], puis C = symétrique de A par rapport à O.
• Méthode parallèles : (BC) // (AD) et (DC) // (AB) — leur intersection est C.
• Méthode compas : reporter les longueurs des côtés opposés avec deux arcs de cercle.
⚠️ Avant toute construction : fais un dessin codé à main levée, puis vérifie le nom du parallélogramme (l'ordre des sommets) une fois la figure terminée.
La leçon — étape 3 sur 3 — à ton tour
✍️ Remets toi-même, étape par étape, les bonnes actions dans l'ordre.
La leçon — étape 1 sur 4
✂️ Kenji croise deux bandes de papier de largeurs différentes, un peu de travers. La zone où elles se superposent dessine un quadrilatère.
🎯 Essaie de deviner
D'après toi, quelle figure obtient Kenji en croisant ses deux bandes ?
🎯 Et si les deux bandes étaient perpendiculaires (comme une croix) ?
La leçon — étape 2 sur 4
⭐ À savoir par cœur
Un rectangle est un parallélogramme ayant quatre angles droits.
Propriété supplémentaire : ses diagonales sont égales (AC = BD).
Un rectangle est un parallélogramme ayant quatre angles droits.
Propriété supplémentaire : ses diagonales sont égales (AC = BD).
Pour reconnaître un rectangle (une condition suffit) :
• Un quadrilatère qui a 3 angles droits est un rectangle.
• Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
• Un parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle.
• Un quadrilatère qui a 3 angles droits est un rectangle.
• Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
• Un parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle.
La leçon — étape 3 sur 4
◆ Et si les deux bandes de papier avaient la MÊME largeur ? On obtient un losange — il ressemble à un carreau dans un jeu de cartes.
⭐ À savoir par cœur
Un losange est un parallélogramme ayant quatre côtés égaux.
Propriétés supplémentaires : ses diagonales sont perpendiculaires, et elles sont les bissectrices de ses angles.
Un losange est un parallélogramme ayant quatre côtés égaux.
Propriétés supplémentaires : ses diagonales sont perpendiculaires, et elles sont les bissectrices de ses angles.
Pour reconnaître un losange (une condition suffit) :
• Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
• Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
• Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
• Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
La leçon — étape 4 sur 4 — petit bilan
■ Le carré réunit toutes les propriétés à la fois.
⭐ À savoir par cœur
Un carré est à la fois un rectangle et un losange :
• 4 angles droits (comme le rectangle).
• 4 côtés égaux (comme le losange).
• Diagonales égales ET perpendiculaires.
Un carré est à la fois un rectangle et un losange :
• 4 angles droits (comme le rectangle).
• 4 côtés égaux (comme le losange).
• Diagonales égales ET perpendiculaires.
Pour prouver qu'un quadrilatère est un carré, il faut prouver que c'est un rectangle ET aussi un losange — pas de raccourci.
✂️ Retour aux bandes de papier de Kenji : si les deux bandes ont la même largeur ET sont perpendiculaires, la zone de superposition est un carré.
Parallélogramme
⊃ Rectangle
⊃ Losange
⊃ Carré
🎯 Essaie d'abord !
Un losange a-t-il forcément quatre angles droits ?
• Rectangle = parallélogramme + 4 angles droits (diagonales égales).
• Losange = parallélogramme + 4 côtés égaux (diagonales perpendiculaires, bissectrices).
• Carré = rectangle ET losange à la fois.
Ce que tu as appris dans ce chapitre
1. Définition — un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
2. Propriétés — côtés opposés égaux, angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires, diagonales qui se coupent en leur milieu (centre de symétrie).
3. Caractériser/reconnaître — une seule condition suffit (côtés parallèles, côtés égaux deux à deux non croisé, diagonales qui se coupent en leur milieu, centre de symétrie) ; canevas de rédaction : On sait que… / Or… / Donc…
4. Construire — méthode du milieu (O puis symétrique de A), méthode des parallèles, méthode du compas.
5. Parallélogrammes particuliers — rectangle (4 angles droits), losange (4 côtés égaux), carré (rectangle ET losange).
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te file ses tuyaux avant le contrôle :
Une démonstration géométrique, ça se lit deux fois, ça se décompose en étapes, et ça se rédige proprement avec une phrase de conclusion.
Premier exercice : guidé pas à pas. Deuxième : aide réduite. Troisième : presque seul. Comme au contrôle !
Une démonstration géométrique, ça se lit deux fois, ça se décompose en étapes, et ça se rédige proprement avec une phrase de conclusion.
Premier exercice : guidé pas à pas. Deuxième : aide réduite. Troisième : presque seul. Comme au contrôle !
⭐ Le canevas à respecter partout
On sait que… (la donnée) — Or… (la propriété du cours) — Donc… (la conclusion).
On sait que… (la donnée) — Or… (la propriété du cours) — Donc… (la conclusion).
Exercice 1 — Très guidé
Zoé a un quadrilatère ABCD dont la figure est codée : (AB) // (DC) et (AD) // (BC).
1. Que dit exactement le codage de la figure sur les côtés de ABCD ?
2. Conclus. Rédige la démonstration complète avec le canevas On sait que… / Or… / Donc…
1. Que dit exactement le codage de la figure sur les côtés de ABCD ?
2. Conclus. Rédige la démonstration complète avec le canevas On sait que… / Or… / Donc…
💡 Lis l'énoncé deux fois. Quelle propriété du parallélogramme vas-tu vérifier ?
✏️ Brouillon
Exercice — Sur ta feuille numérique
Démontrer que WXYZ est un parallélogramme (WX = ZY et WZ = XY, codé sur la figure ; WXYZ n'est pas croisé).
Rappel du canevas : On sait que… (la donnée) — Or… (la propriété du cours) — Donc… (la conclusion).
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.