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Limites de suites
Terminale — notion de limite et calcul de limites

Que devient un quand n devient très grand ? On apprend à observer, puis à calculer une limite — même quand ça ne se voit pas directement.

🔎 Départ

Deux suites, deux comportements
Voici les valeurs de deux suites, pour des rangs n de plus en plus grands.
n1251050100
un = 1 + 1n21,51,21,11,021,01
vn = n²14251002 50010 000
🎯 Essaie d'abord !
Plus n grandit, que remarques-tu sur chacune de ces deux suites ?

⚡ Automatismes : les nombres après la virgule

Avant d'attaquer les limites
Pour parler de limite, il faut être à l'aise avec ce qui se passe après la virgule : une suite qui se rapproche de 1, ça se voit dans les chiffres après la virgule. On s'échauffe.
Geste 1 — comparer deux décimaux
Quand deux nombres décimaux n'ont pas le même nombre de chiffres après la virgule, rajoute des zéros au plus court pour pouvoir comparer : 3,16 € (316 centimes) ou 1 € (100 centimes) ?
Geste 2 — le plus proche de 0 ou de 1
Plus tu rajoutes des zéros après la virgule, moins tu as de valeur (pense à l'argent : 0,001 € c'est presque rien). C'est exactement le geste qui prépare « se rapprocher de 1 ».
Geste 3 — l'écart à un nombre
À combien de 1 se trouve un nombre comme 1,03 ? Et est-il à moins de 0,1 de 1 ?
Geste 4 — puissances de 10 négatives
10−1 = 0,1 ; 10−2 = 0,01… Une bactérie mesure environ 10−6 cm (le micro), un virus environ 10−9 cm (le nano, mille fois plus petit) : c'est pour ça qu'il faut un microscope beaucoup plus puissant pour voir un virus.
Geste 5 — 1 divisé par un grand nombre
Plus le nombre du bas est grand, plus la fraction est proche de 0.
Geste 6 — lire une suite de décimaux
0,316 ; 0,1 ; 0,032 : lu de gauche à droite, ça monte ou ça descend ?
⭐ À retenir
• Pour comparer deux décimaux, complète le plus court avec des zéros à droite, puis compare chiffre par chiffre.
• Plus il y a de zéros juste après la virgule, plus le nombre est proche de 0.
• 10−k : le chiffre 1 arrive au k-ième rang après la virgule.

→ Limite finie, infinie, aucune

On mesure le resserrement
Reprenons un = 1 + 1n. Elle se rapproche de 1 — mais à partir de quel rang est-elle vraiment très proche ?
n1251050100
un = 1 + 1n21,51,21,11,021,01
Remarque : quel que soit l'écart choisi (0,1 puis 0,01…), on trouve toujours un rang à partir duquel tous les termes suivants respectent cet écart avec 1.
On peut nommer ça
À savoir par cœur
La suite (un) admet pour limite le nombre l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes un à partir d'un certain rang.

On note limn→+∞ un = l. On dit que la suite converge vers l, ou qu'elle est convergente.

Si elle existe, la limite d'une suite est unique.
Choisis ta précision : à partir de quel rang tous les termes suivants de un = 1 + 1n restent-ils dans cette précision autour de 1 ?
Et pour une suite qui explose ?
vn = n². Cette fois, on ne se rapproche d'aucun nombre : les valeurs deviennent énormes.
n1251050100
vn = n²14251002 50010 000
Un deuxième cas
À savoir par cœur
La suite (un) a pour limite +∞ si tout intervalle ]A ; +∞[ contient tous les termes un à partir d'un certain rang (quel que soit A choisi).

Définition symétrique pour la limite −∞, avec un intervalle ]−∞ ; A[.

On dit alors que la suite diverge vers +∞ (ou vers −∞).
Même jeu, sur vn = n² : choisis un seuil — à partir de quel rang la suite le dépasse-t-elle ?
Un troisième cas, plus surprenant
Une suite a-t-elle toujours une limite, finie ou infinie ? Regardons un = (−1)n.
🎯 À ton avis
Cette suite se rapproche-t-elle d'un seul nombre, ou part-elle vers l'infini ?
On dit alors que la suite diverge (elle n'a pas de limite), sans pour autant partir vers +∞ ou −∞. Une suite n'a donc pas forcément de limite, finie ou infinie.
📋 Bilan de la notion
• Limite finie l : la suite se resserre autour de l, elle converge vers l.
• Limite infinie (+∞ ou −∞) : la suite diverge vers +∞ ou −∞.
• Aucune limite : la suite diverge sans se rapprocher d'un nombre ni partir vers l'infini (ex. (−1)n).
• Ne pas confondre « diverge » et « part vers l'infini » : une suite sans limite du tout diverge aussi.
🧠 Image à garder : sortir de chez soi sans savoir où on va, c'est diverger sans limite. Prendre une rue et marcher toujours tout droit, c'est avoir une limite infinie — on sait où on va. Marcher et arriver près d'un endroit précis, c'est avoir une limite finie : le top du top. Ne confonds pas diverger et partir vers l'infini : partir vers l'infini, c'est déjà avoir une limite, même si elle n'est pas un nombre.
Le geste à travailler
🧠 Vérifie que tu as compris

nk Limites des suites usuelles

Des suites qu'on croise tout le temps
n101001 000
√n≈3,1610≈31,6
n101001 000
n²10010 0001 000 000
n³1 0001 000 0001 000 000 000
🎯 Essaie d'abord !
Que remarques-tu sur le comportement de ces quatre suites, quand n devient très grand ?
Un théorème à connaître
À savoir par cœur
limn→+∞ √n = +∞ ; limn→+∞ n = +∞ ; limn→+∞ n² = +∞ ; limn→+∞ n³ = +∞.

Plus généralement, pour tout entier k ≥ 1 : limn→+∞ nk = +∞.
Et leurs inverses ?
n101001 000
1√n≈0,3160,1≈0,032
1n0,10,010,001
1n²0,010,00010,000001
🎯 Essaie d'abord !
Cette fois, que remarques-tu ?
Le théorème symétrique
À savoir par cœur
limn→+∞ 1√n = 0 ; limn→+∞ 1n = 0 ; limn→+∞ 1n² = 0 ; limn→+∞ 1n³ = 0.

Plus généralement, pour tout entier k ≥ 1 : limn→+∞ 1nk = 0.
Et une suite constante, égale à c pour tout n, a évidemment pour limite c — elle ne bouge jamais, elle est déjà « arrivée ».
Le geste à travailler
Entraîne-toi : identification flash
Pas de calcul ici — juste reconnaître, dans les deux théorèmes qu'on vient de voir, quelle limite s'applique.
limn→+∞ n5 = ?
limn→+∞ 1n4 = ?
limn→+∞ √n = ?
📋 Bilan de la notion
• √n, n, n², n³, et plus généralement nk (k ≥ 1) : limite +∞.
• Leurs inverses 1√n, 1n, 1n², 1n³, et plus généralement 1nk : limite 0.
Ces résultats sont la base de tous les calculs de limites à venir — il faut les connaître par cœur.
🧠 Vérifie que tu as compris

+ × Opérations sur les limites

Additionner deux suites
un = n² (limite +∞) et vn = 3 (constante, limite 3).
🎯 À ton avis
Que vaut limn→+∞ (un + vn) ?
Et si les deux suites convergent ? Par exemple un→2 et vn→5 : alors un+vn→2+5=7. C'est naturel : les limites finies s'additionnent normalement.
Le tableau complet de la somme
À savoir par cœur
lim un = l et lim vn = l' → lim(un+vn) = l+l'
lim unlim vnlim (un+vn)
ll'l + l'
l+∞+∞
l−∞−∞
+∞+∞+∞
−∞−∞−∞
+∞−∞forme indéterminée
Un seul cas pose problème : +∞ − ∞. On ne peut pas conclure directement — il faudra une étude particulière.
Le geste à travailler
Un mot de vocabulaire important
On dit que « +∞ − ∞ » est une forme indéterminée (« FI » à l'oral) : cela signifie qu'on ne peut rien conclure directement sur la limite, tant qu'on n'a pas étudié le cas de plus près.

⚠️ Cette écriture sert uniquement à repérer le problème. On ne l'utilise jamais telle quelle dans une copie ou un devoir — on écrira toujours une phrase du type « on obtient une forme indéterminée, il faut transformer l'écriture ».
Multiplier deux suites
un = −7×(3n+5).
🎯 À ton avis
−7 fois « quelque chose qui part vers +∞ », ça donne… ?
Le tableau complet du produit
À savoir par cœur
lim un = l et lim vn = l' → lim(un×vn) = l×l'
lim unlim vnlim (un×vn)
ll'l × l'
l ≠ 0±∞±∞ (règle des signes)
+∞+∞+∞
+∞−∞−∞
0±∞forme indéterminée
Deuxième forme indéterminée à retenir : 0 × ∞.
Le geste à travailler
Entraîne-toi : identifie la bonne case
limn→+∞ (n² + 5) = ?
limn→+∞ (−3×n³) = ?
On sait que limn→+∞ (2 + 1n) = 2. Quelle est alors limn→+∞ [(2 + 1n) × n²] ?
📋 Bilan de la notion
• Somme : les limites s'additionnent normalement, sauf le cas +∞ − ∞ (forme indéterminée).
• Produit : les limites se multiplient normalement (règle des signes pour l'infini), sauf le cas 0 × ∞ (forme indéterminée).
• Deux formes indéterminées repérées pour l'instant : +∞−∞ et 0×∞. Jamais écrites telles quelles dans une copie.
🧠 Vérifie que tu as compris

÷ Inverse et quotient

L'inverse d'une suite
un = 1n²+1. On sait que lim(n²+1) = +∞.
🎯 À ton avis
1 divisé par « quelque chose qui devient énorme », ça devient… ?
Le tableau de l'inverse
À savoir par cœur
Limite de 1un selon la limite de un :
lim unlim 1un
l ≠ 01l
0, en restant positif+∞
0, en restant négatif−∞
+∞ ou −∞0
Attention au signe quand la limite vaut 0 : ce n'est pas le même résultat selon qu'on s'approche de 0 par valeurs positives ou négatives.
Le tableau du quotient
Un quotient unvn combine les règles de la somme, du produit et de l'inverse.
lim unlim vnlim unvn
ll' ≠ 0ll'
l±∞0
±∞l' ≠ 0±∞ (règle des signes)
±∞±∞forme indéterminée
00forme indéterminée
Deux nouvelles formes indéterminées : ∞ ÷ ∞ et 0 ÷ 0.
Le geste à travailler
📋 Bilan de la notion — les 4 formes indéterminées
On a maintenant rencontré les 4 formes indéterminées à connaître :
+∞ − ∞ (somme)  •  0 × ∞ (produit)  •  ∞ ÷ ∞ (quotient)  •  0 ÷ 0 (quotient)

Dans chacun de ces 4 cas, on ne peut rien conclure directement : il faut transformer l'écriture avant de pouvoir calculer la limite. C'est exactement ce qu'on apprend maintenant.

Rappel : ces écritures ne s'utilisent jamais telles quelles dans une copie — elles servent seulement, à l'oral ou au brouillon, à repérer qu'une étude est nécessaire.
🧠 Vérifie que tu as compris

🧩 Lever une indétermination

Le problème posé pour de vrai
un = 2n² − 5n + 3. On veut sa limite quand n→+∞.
Donc lim(2n² − 5n), c'est « +∞ − ∞ » : une forme indéterminée. On ne peut pas conclure directement en additionnant les limites terme à terme. Comment s'en sortir ?
La méthode : factoriser par le terme prépondérant
Idée : dans un = 2n² − 5n + 3, le terme 2n² « écrase » les autres quand n est très grand. On met n² en facteur dans toute l'expression.
Même méthode, sur un quotient
vn = 3n+1−2n²+5. Numérateur → +∞, dénominateur → −∞ : c'est « ∞ ÷ ∞ », une autre forme indéterminée.
Un raccourci pour vérifier
À savoir par cœur — théorème du plus haut degré
Pour un polynôme : la limite en +∞ (ou −∞) est celle de son terme de plus haut degré.

Pour une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes) : la limite en +∞ (ou −∞) est celle du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

⚠️ Ce théorème est un raccourci de vérification — il redonne le même résultat que la factorisation complète, mais ne remplace pas la démonstration rigoureuse quand elle est exigée.
Vérifions le raccourci sur nos deux exemples
📋 Bilan de la notion
Pour lever une forme indéterminée sur un polynôme ou une fraction rationnelle :
① Factoriser chaque polynôme par son terme prépondérant (le plus haut degré).
② Simplifier, puis calculer les limites des morceaux restants (souvent des inverses de suites usuelles, qui tendent vers 0).
③ Conclure par somme, produit ou quotient de limites.

Raccourci de vérification — théorème du plus haut degré : ne garder que les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
🧠 Vérifie que tu as compris
Entraîne-toi : à ton tour de factoriser
wn = 4n³ − n². Utilise la méthode complète (pas juste le raccourci).
Entraîne-toi : un quotient à finir seul
xn = 5 − 2nn + 3. Méthode complète exigée.
Méthode générale, à refaire sur d'autres exemples : on traite séparément le haut et le bas. Le n devant, on ouvre la parenthèse. Le nombre tout seul devient ce nombre divisé par n, pour compenser. Puis le n du haut et le n du bas s'en vont.
Le geste : factoriser par n

Maintenant qu'on sait factoriser, on calcule la limite d'un morceau comme celui-là.

Le geste : limite d'une fraction en 1 sur n

On enchaîne : la limite de toute la parenthèse, une fois qu'on connaît celle de la fraction.

Le geste : limite de la parenthèse

Et pour finir, on conclut sur un quotient complet, après factorisation et simplification.

Le geste : conclure sur le quotient

qn Limite d'une suite géométrique

Un rappel du chapitre précédent
Trois suites géométriques de premier terme 1, avec des raisons différentes.
n012345
q=0,810,80,640,5120,410,33
q=1,311,31,692,202,863,71
q=−11−11−11−1
🎯 Essaie d'abord !
Que remarques-tu sur chacune de ces trois suites, plus n grandit ?
Le théorème
À savoir par cœur
Pour une suite géométrique de raison q (qn) :

• si −1 < q < 1, alors limn→+∞ qn = 0
• si q > 1, alors limn→+∞ qn = +∞
• si q ≤ −1, alors (qn) n'a pas de limite

Cas particulier, hors de ces trois cas : si q = 1, la suite est constante égale à 1, donc sa limite vaut évidemment 1.
💡 Pour comparer deux puissances proches (est-ce que ça diminue vraiment ?), prends la calculatrice : 0,8² = 0,64 ; 0,8³ = 0,512. Pour comparer, rajoute un zéro au plus court : 0,640 et 0,512 — c'est bien devenu plus petit.
Une raison qui vient du collège
Une ville perd 20 % de ses habitants chaque année. Pour passer du nombre d'habitants d'une année à celui de l'année suivante, tu multiplies par quel nombre ?
🎯 Essaie d'abord !
Une diminution de 20 %, quel est son coefficient multiplicateur ?
Ce coefficient, c'est la raison q
Si un est le nombre d'habitants au bout de n années, un = u0×0,8n : une suite géométrique de raison q = 0,8, exactement le coefficient multiplicateur que tu viens de retrouver.
Le théorème que tu viens d'apprendre s'applique tout de suite : −1 < 0,8 < 1, donc limn→+∞ 0,8n = 0. Cette ville se vide, mathématiquement, à long terme.
Et dans l'autre sens ?
Une autre ville a une population qui suit un = u0×1,05n. Que raconte ce 1,05 sur son évolution ?
🎯 À toi de jouer
q = 1,05, c'est quelle évolution ?
À savoir par cœur
Le signe de l'évolution et la position de q par rapport à 1, c'est la même information :

• baisse de t % → q = 1 − t100 < 1 → la suite tend vers 0
• hausse de t % → q = 1 + t100 > 1 → la suite part vers +∞

C'est cette position de q par rapport à 1 qui décide de la limite.
Deux suites à étudier
un = −20×0,8n + 50
vn = 10×1,3n + 20
Le geste à travailler
Un lien avec les sommes géométriques
Sn, la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 0,5, vaut Sn = 4×(1 − 0,5n) (formule vue au chapitre précédent).
Cette technique — calculer la limite d'une somme de termes géométriques via la formule de somme puis lim qn — revient très souvent, notamment dans des problèmes de modélisation (population, argent placé…).
📋 Bilan de la notion
• −1 < q < 1 → lim qn = 0
• q > 1 → lim qn = +∞
• q ≤ −1 → pas de limite
• q = 1 → suite constante, limite 1

Ce théorème sert souvent à calculer la limite d'une somme de termes d'une suite géométrique, via la formule de somme du chapitre précédent.
⚠️ (−1)n, ton plus grand ennemi : il change de signe tout le temps (rang pair → 1, rang impair → −1). Ce n'est ni une suite géométrique de raison strictement supérieure à 1, ni une suite qui se rapproche de 0 : c'est le cas q ≤ −1, celui qui n'a pas de limite.
🧠 Vérifie que tu as compris

📋 Bilan général

📋 Bilan général du chapitre
Avant de passer à la pratique, un petit récap de tout ce que tu as vu :

• Limite finie / infinie / aucune : une suite converge vers l, diverge vers ±∞, ou n'a pas de limite du tout.
• Limites usuelles : nk→+∞, l'inverse 1÷nk→0.
• Somme et produit : les limites s'additionnent/se multiplient normalement, sauf +∞−∞ et 0×∞.
• Inverse et quotient : attention au signe pour l'inverse ; deux nouvelles FI, ∞÷∞ et 0÷0.
• Lever une indétermination : factoriser par le terme prépondérant (méthode complète), théorème du plus haut degré (raccourci de vérification).
• Limite de qn : 0 si −1<q<1, +∞ si q>1, pas de limite si q≤−1.
🧠 Bilan mélangé — un peu de tout
Ces questions piochent dans toutes les notions du chapitre, dans un ordre mélangé — comme au contrôle.

🎯 S'entraîner par notion

Choisis une notion : tu retrouves directement les exercices qui la travaillent.

Lire une limite
Limites usuelles
Somme et produit
Inverse et quotient
Lever une forme indéterminée
Limite de qⁿ
Algorithme et limite
Exercices complets

📄 Exercices d'entraînement

Exercices d'entraînement
Des exercices complets, organisés par thème. Pour chacun, choisis comment tu veux le faire : directement ici sur ton téléphone, ou sur ton cahier (tu prends une photo à la fin).
Exercice 1 — tous les théorèmes de limite
Détermine la limite de chacune de ces suites (justifie en indiquant le théorème utilisé) :

a) un = n² + n
b) un = (1√n + 1)(n² + 3)
c) un = −2−n²−3
d) un = n − 3√n
e) et f) un = n² − 5n + 1
g) un = 4n³ + 2n² − n⁵ + 25n⁴ − 1
h) un = n⁵−15n³+3n²−4n+12515n⁴−25n³+11n²−14
i) un = −15 + 50×0,88n
j) un = −1200×1,95n + 9999
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Exercice 2 — écrire l'algorithme qui cherche le rang
On te donne le squelette d'un algorithme en Python qui cherche à partir de quel rang n une condition sur un est vérifiée. Complète-le pour chaque suite (on ne l'exécute pas, on écrit juste le code juste — utilise un point pour les décimaux, comme en Python).
def efficace(): u = … n = … while … : u = … n = n + 1 return n
Exercice 3 — suite récurrente d'ordre deux et limite
La suite (un) est définie par u0 = 0, u1 = 1, et pour tout entier naturel n : un+2 = 5un+1 − 6un.

1) Calcule u₂ et u₃.
2) On pose vn = un+1 − 2un. Montre que vn+1 = q×vn pour un réel q à déterminer, puis calcule v₀ et exprime vn en fonction de n.
3) On pose wn = un+1 − 3un. Même travail : donne sa raison et w₀.
4) En remarquant que vn − wn = un, exprime un en fonction de n.
5) Détermine lim un en levant l'indétermination.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Exercice 4 — suites mélangées
Détermine la limite de chacune de ces suites :

a) un = −15n³ − 8n⁴ − 4n⁵ + n⁸ − 15
c) un = −π×1,04n + 12846
d) un = (9 − 8n⁵)(6 − n²)
e) un = 2500−n²+35
g) un = −16n³+8n⁵−n¹⁰+17n⁸12n³−25n⁵−11n⁷+18927
i) un = 7n − 9n

Les sous-questions b, f et h de ce même exercice utilisent un théorème différent (comparaison / gendarmes) : tu les retrouves dans le parcours Comparaison, convergence et point fixe.
Exercice 5 — rédiger la méthode complète
Soit la suite (un) définie pour tout entier n ≥ 0 par un = 2n² − 3n + 1n² + 4.

1. Que donne le calcul direct de la limite du numérateur et du dénominateur ? Quelle forme indéterminée obtient-on ?
2. Factorise le numérateur et le dénominateur, chacun par leur terme prépondérant, puis simplifie l'écriture de un.
3. Détermine limn→+∞ un en détaillant le calcul des limites de chaque morceau.
4. Vérifie ton résultat à l'aide du théorème du plus haut degré.
5. Rédige une phrase de réponse pour conclure.

Tu peux écrire ta rédaction directement ici (sur la feuille numérique), ou la faire sur ton vrai cahier et en montrer une photo.

📷 Tu peux aussi refaire cet exercice sur une vraie feuille et montrer ta copie :

🎓 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère
🎓 Face à une limite à calculer, la première question à se poser est toujours la même : peut-on conclure directement (tableaux de somme/produit/quotient), ou tombe-t-on sur une forme indéterminée ? Dans ce deuxième cas, il faut factoriser par le terme prépondérant avant de conclure.

Le premier exercice, tu es guidé pas à pas. Le deuxième, un peu moins. Le troisième, tu te débrouilles presque seul.
Exercice 1 — très guidé
Soit la suite (un) définie pour tout entier n ≥ 0 par un = 3n² + 2n.

Détermine limn→+∞ un.
💡 Étape 1 — Calcule séparément lim(3n²) et lim(2n). Sont-elles toutes les deux du même signe, ou s'opposent-elles ?

🐍 Algorithmique

Sous-parcours
Une nouvelle suite, du même type que celles de la notion « Lever une indétermination » (numérateur et dénominateur de degré 1) : un = 2n + 1n + 1. En factorisant par n comme tu sais déjà le faire, tu peux vérifier qu'elle tend vers 2. On l'étudie maintenant avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on complète, on corrige, et on finit par écrire.
📌 Point de vigilance : un algorithme peut repérer un rang à partir duquel un est très proche de sa limite, mais il ne remplace jamais la démonstration avec la définition précise de la limite — vue dans le cours.
Chargement de la console Python…

⚔️ L'arène des limites !

Entraînement libre, sans note. Choisis ton thème !

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🐛Bug
💡Idée
❓Question
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