🎯

Limites de suites
Terminale — comparaison et convergence

On ne sait pas toujours calculer une limite directement. Ici, on apprend à l'encadrer, à prouver qu'une suite converge sans connaître sa valeur, puis à trouver cette valeur.

🔎 Départ

Une suite qu'on ne sait pas calculer
Voici une suite : un = n − cos(n²).
Impossible de calculer cos(n²) à la main pour un grand n. Mais tu sais une chose : cos(n²) est toujours compris entre −1 et 1, quel que soit n.
Prends n = 10. Tu ne connais pas la valeur exacte de cos(100), mais peux-tu au moins dire entre quelles valeurs se trouve u10 ?
Tu n'as pas eu besoin de connaître cos(100) : tu as encadré u10 entre deux nombres. C'est exactement l'idée de ce chapitre — encadrer une suite pour connaître son comportement, même quand on ne peut pas la calculer terme à terme.

⚖️ Comparaison et gendarmes

On transforme l'encadrement
Reprenons un = n − cos(n²), avec −1 ≤ cos(n²) ≤ 1 pour tout n.
On veut passer de cet encadrement de cos(n²) à un encadrement de un lui-même. Deux opérations à faire, dans l'ordre : multiplier par −1 (attention aux sens des inégalités), puis ajouter n.
On peut nommer ça
À savoir par cœur
Théorème de comparaison : si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn et si lim un = +∞, alors lim vn = +∞.

(Version symétrique : si vn ≤ un et lim un = −∞, alors lim vn = −∞.)
Une seule borne suffit ici — celle qui pousse la suite vers l'infini.
On referme la boucle
Tu as montré : n−1 ≤ un ≤ n+1. Tu sais déjà (limites usuelles, chapitre précédent) que lim(n−1) = +∞.
🎯 Essaie d'abord !
Que peux-tu conclure sur la limite de un ?
Une autre suite, un autre besoin
Nouvelle suite : un = 1+sin(n)n. On sait que −1 ≤ sin(n) ≤ 1 pour tout n.
Cette fois, on ne cherche pas une suite qui explose, mais deux suites qui encadrent un et qui ont la même limite finie. Essaie de construire cet encadrement, en partant de −1 ≤ sin(n) ≤ 1.
On construit l'encadrement
Un théorème à deux bornes
À savoir par cœur
Théorème des gendarmes : si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn ≤ wn, et si (un) et (wn) convergent toutes les deux vers la même limite l, alors (vn) converge aussi vers l.
⚠️ Ne confonds pas les deux théorèmes : comparaison = une seule borne, limite infinie. Gendarmes = deux bornes, même limite finie.
mur du haut : wn→ l
↕ vn coincée entre les deux murs ↕
mur du bas : un→ l
💡 Sur ton brouillon, dessine toujours ces deux murs avant de conclure : si les deux se resserrent sur la même valeur l, la suite coincée entre eux n'a pas le choix — elle y va aussi.
On referme la boucle
Tu as montré : 0 ≤ un ≤ 2n. Tu sais que lim 0 = 0, et que lim 2n = 0 (limite usuelle de 1n, chapitre précédent).
🎯 Essaie d'abord !
Que peux-tu conclure sur la limite de un ?
📋 Bilan de la notion
Théorème de comparaisonThéorème des gendarmes
Nombre de bornes12
Limite obtenueinfinie (+∞ ou −∞)finie (une valeur l)
Conditionla borne tend vers ±∞les deux bornes tendent vers la même limite l
Avant l'entraînement
Dans ces exercices, tu vas avoir besoin de ça : entraîne-toi avant de commencer — appliquer une opération à une inégalité, trouver si le sens est conservé ou inversé, puis justifier pourquoi.
Cas 1 — on applique une fonction croissante (la racine carrée).
Cas 2 — on multiplie par un nombre négatif.
Cas 3 — on divise par √n (un nombre positif).
Cas 4 — on multiplie par −1.
🏋️ Entraînement — comparaison
un = n − 4×(−1)n. On sait que (−1)n vaut toujours 1 ou −1, donc −4×(−1)n est toujours compris entre −4 et 4.
🏋️ Entraînement — gendarmes
un = cos(2n)√n. On sait que −1 ≤ cos(2n) ≤ 1.

📶 Sens de variation d'une suite

Une question qu'on se pose tout le temps
Reprenons la suite u0 = 1, un+1 = √(2×un) (chapitre 1, récurrence et suites bornées). Tu sais déjà que 0 < un ≤ 2 pour tout n. Mais est-ce que cette suite monte, ou descend ?
🎯 Essaie d'abord !
Avant de calculer quoi que ce soit : à ton avis, que veut dire « un désigne un nombre » ici ?
⚠️ Rappel de définition : (un) est croissante si, pour tout entier n, un+1 ≥ un. (un) est décroissante si, pour tout entier n, un+1 ≤ un. Une suite n'est pas forcément l'un ou l'autre.
À retenir
À savoir par cœur
Définition : une suite (un) est croissante si, pour tout entier n, un+1 ≥ un.
Elle est décroissante si, pour tout entier n, un+1 ≤ un.

Il existe quatre méthodes pour l'étudier : le signe de un+1−un ; le quotient un+1÷un (si tous les termes sont strictement positifs) ; la fonction associée f (si un+1=f(un) et f est croissante) ; la récurrence directe (quand on sait déjà borner la suite).
Avant l'entraînement
Dans ces exercices, tu vas avoir besoin de ça : entraîne-toi avant de commencer — développer un carré, factoriser un terme commun, et casser une fraction en deux (ou recombiner deux morceaux en une seule fraction).
Méthode 1 — le signe de un+1 − un
Suite un = 2n² + 1. On calcule la différence entre deux termes consécutifs.
🏋️ Entraînement — méthode 1
Suite vn = −n² + 5. Étudie le signe de vn+1 − vn.
🏋️ Un cas particulier — casser une fraction en deux
Suite un = n+1n+2. Calculer directement un+1 − un donnerait une fraction compliquée à simplifier. Une autre méthode : réécrire un autrement, en cassant la fraction en deux morceaux.
Méthode 2 — le quotient un+1 ÷ un
⚠️ Cette méthode ne marche que si tous les termes de la suite sont strictement positifs (sinon diviser peut inverser le sens sans qu'on le voie).
Suite un = 3×2n (tous les termes sont positifs).
🏋️ Entraînement — méthode 2
Suite vn = 5×0,2n (tous les termes sont positifs). Étudie le quotient vn+1 ÷ vn.
Méthode 3 — la fonction associée f
À savoir par cœur
Si un+1 = f(un), avec f croissante sur un intervalle qui contient tous les termes de la suite, alors (un) a le même sens de variation que la comparaison entre u1 et u0 : si u1 ≥ u0, (un) est croissante ; si u1 ≤ u0, elle est décroissante.
On revient à u0 = 1, un+1 = √(2×un) = f(un), avec f(x) = √(2x), croissante sur [0 ; +∞[.
✅ Tu viens de démontrer que cette suite est croissante — sans refaire une récurrence complète : comparer u1 et u0 suffit, parce que f est croissante.
Méthode 4 — la récurrence directe
Parfois, il est plus simple de démontrer directement par récurrence que, pour tout n, un ≤ un+1 (ou l'inégalité inverse) — surtout quand on a déjà besoin de borner la suite en même temps. Tu retrouveras cette méthode un peu plus loin dans ce chapitre, pour démontrer le théorème du point fixe.
⚠️ Les quatre méthodes donnent le même résultat : choisis celle qui rend le calcul le plus simple pour l'exercice posé, jamais une méthode « par défaut ».
Une suite n'est pas toujours monotone
Suite un = (−1)n.
📋 Bilan de la notion
MéthodeQuand l'utiliser
Signe de un+1−untoujours possible
Quotient un+1÷unsi tous les termes sont strictement positifs
Fonction associée fsi un+1=f(un) et f croissante
Récurrence directequand on borne la suite en même temps

📈 Suite monotone et convergente

Un exemple déjà rencontré
Souviens-toi : u0 = 1, un+1 = √(2×un). Au chapitre 1 (récurrence et suites bornées), tu avais démontré par récurrence que 0 < un ≤ 2. Et tu viens de démontrer, dans la notion précédente (méthode de la fonction associée), que cette suite est croissante.
🎯 Essaie d'abord !
Une suite croissante qui ne dépasse jamais 2 : à ton avis, que fait-elle quand n devient très grand ?
On peut le prouver
À savoir par cœur
Théorème de convergence monotone : si une suite est croissante et majorée par M, alors elle converge vers une limite l, avec l ≤ M.

(Version symétrique : décroissante et minorée par m → converge vers l, avec l ≥ m.)
⚠️ Attention : ce théorème prouve que la limite existe, mais il ne dit pas laquelle. On saura seulement que 0 < l ≤ 2 pour notre exemple, pas la valeur exacte de l.
Et si elle n'est pas majorée ?
À savoir par cœur
Toute suite croissante et non majorée a pour limite +∞.

(Version symétrique : décroissante et non minorée → limite −∞.)
Deux cas bien distincts à ne pas confondre : croissante et majorée → converge vers une limite finie. Croissante et non majorée → part vers +∞.
📋 Bilan de la notion
• Croissante et majorée par M → converge vers l, avec l ≤ M.
• Décroissante et minorée par m → converge vers l, avec l ≥ m.
• Croissante et non majorée → limite +∞ (symétrique pour décroissante non minorée).
• Ce théorème prouve l'existence de la limite, jamais sa valeur.
On sait maintenant que la suite u0=1, un+1=√(2×un) converge. Mais vers quelle valeur exactement ? C'est la question de la prochaine notion.

🎯 Théorème du point fixe

On rouvre la question
On sait que u0=1, un+1=√(2×un) converge (théorème de convergence monotone, notion précédente). Mais on ne connaît toujours pas la valeur de sa limite.
Comment trouver ce nombre, sans pouvoir calculer u1000000 à la main ?
La méthode
À savoir par cœur
Théorème du point fixe : si une suite converge vers l, et si elle est définie par un+1 = f(un), alors l vérifie l'équation f(l) = l (on remplace un et un+1 par l dans la formule, puis on résout).
⚠️ Ce théorème ne s'applique QUE si la convergence a déjà été prouvée par ailleurs (théorème de convergence monotone). Ne jamais l'utiliser dans l'autre sens : trouver f(l)=l ne prouve pas que la suite converge.
🔁 On applique la méthode sur un exemple complet
Nouvel exemple : f(x) = 0,6x + 50, u0 = 75, un+1 = f(un) = 0,6×un + 50.
Avant de foncer : rappelle-toi la distinction vue au chapitre 1. Dans « pour tout entier n, … », le n désigne toute la suite. Dans l'hérédité, le n qu'on va fixer désigne un seul rang précis, choisi une fois pour toutes.
Étape 1 sur 4 — ① Initialisation
On veut démontrer par récurrence, pour tout entier n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 150.
Étape 2 sur 4 — ② Hérédité : l'hypothèse et l'objectif
Hypothèse de récurrence : on suppose que, pour un entier n fixé (un seul rang précis, choisi une fois pour toutes), on a : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 150.
⚠️ Avant de chercher le lien, écris l'objectif : que doit-on démontrer au rang n+1 ? Remplace n par n+1 partout dans la propriété. Ne cherche pas encore la démonstration — écris juste la cible.
Étape 3 sur 4 — ② Hérédité : le calcul
Part de l'hypothèse : un ≤ un+1 ≤ 150. La fonction f multiplie par 0,6 (positif) puis ajoute 50 : ça ne change pas le sens des inégalités.
Étape 4 sur 4 — ③ Conclusion
L'initialisation et l'hérédité sont démontrées.

D'après le principe de récurrence : pour tout entier n, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 150.
On en déduit la convergence
La propriété 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 150 dit deux choses à la fois : (un) est croissante (un ≤ un+1), et (un) est majorée par 150.
🎯 Essaie d'abord !
Quel théorème de la notion précédente peux-tu appliquer ici ?
On applique le théorème du point fixe
La convergence est prouvée : on peut maintenant utiliser le théorème du point fixe. La suite vérifie un+1 = f(un) avec f(x) = 0,6x + 50, donc sa limite l vérifie f(l) = l.
📋 Bilan de la notion
Méthode complète, en 3 temps
1. Prouver la convergence : par récurrence, montrer que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), puis appliquer le théorème de convergence monotone.

2. Poser f(l) = l : remplacer un et un+1 par l dans la relation de récurrence.

3. Résoudre et conclure : trouver la valeur de l — c'est la limite de la suite.
⚠️ Le théorème du point fixe (étape 2 et 3) ne s'utilise QU'APRÈS avoir prouvé la convergence à l'étape 1 — jamais avant, jamais à sa place.
🏋️ Entraînement guidé
Nouvel exemple : u0 = 100, un+1 = 0,75×un + 10. On veut la limite de cette suite. Applique la méthode en 3 temps.
🏋️ Entraînement, presque autonome
Dernier exemple : v0 = 20, vn+1 = 0,5×vn + 30. On admet que (vn) est croissante et majorée par 60 (même méthode de récurrence que plus haut, à refaire au brouillon si besoin). Trouve directement la valeur de sa limite, en rédigeant toi-même l'équation du point fixe.

🎓 Méthode à suivre

📋 Bilan général du chapitre
• Comparaison (1 borne, limite infinie) et gendarmes (2 bornes, même limite finie) : pour trouver une limite qu'on ne sait pas calculer directement, on encadre la suite.

• Sens de variation (monotonie) : quatre méthodes — signe de un+1−un, quotient un+1÷un (termes positifs), fonction associée croissante, ou récurrence directe.

• Convergence monotone : croissante et majorée (ou décroissante et minorée) → la suite converge, mais ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

• Point fixe : une fois la convergence prouvée, on pose f(l) = l pour trouver la valeur exacte de la limite.
La méthode complète pour une suite définie par récurrence : étudier le sens de variation → prouver la convergence (récurrence + convergence monotone) → poser f(l) = l → résoudre et conclure.
📋 Bilan général — questions mélangées

Un mélange de toutes les notions du chapitre, pour vérifier que tout est bien en place.

Le conseil du grand frère
🎓 Le premier exercice, tu es guidé pas à pas. Le deuxième, tu te débrouilles davantage — les indices sont plus espacés.
Exercice 1 — très guidé
Une suite (wn) vérifie w0 = 6 et, pour tout n, wn+1 = 0,4×wn + 9.

Étudie la convergence de cette suite, et détermine la valeur de sa limite si elle existe.
💡 Étape 1 — Calcule w1 et w2. La suite semble-t-elle croissante ou décroissante ?

🎯 S'entraîner par notion

Choisis une notion : tu retrouves directement les exercices qui la travaillent.

Comparer
Les gendarmes
Quel théorème ?
Sens de variation (monotonie)
Monotonie et majoration
Point fixe
Suite auxiliaire
Vrai/faux et contre-exemples
Exercices complets

13 exercices, par thème, avec à chaque fois le choix de rédiger sur la feuille (ici) ou sur ton cahier. Tu termines par l'exercice de synthèse (le 13ᵉ), puis un dernier exercice complet sur la convergence et le point fixe.

📄 Exercices d'entraînement

Exercices d'entraînement
13 exercices, numérotés dans l'ordre et regroupés par thème. Pour chacun, rédige soit directement ici (« sur la feuille »), soit sur ton cahier papier puis montre ta copie.
⚖️Thème — Comparaison et gendarmes
Exercice 1 — comparaison et gendarmes
Détermine la limite de (un) à l'aide du théorème des gendarmes ou de comparaison, dans chacun des cas suivants.
Exercice 2 — récurrence, convergence et point fixe
La suite (un) est définie sur N par u0 = 1 et un+1 = √(2un).

1) Démontre par récurrence que, pour tout entier n, 0 < un ≤ 2.
2) Étudie le sens de variation de (un).
3) Démontre que la suite (un) est convergente.
Exercice 3 — récurrence, convergence et point fixe (deux méthodes)
La suite (un) est définie sur N par u0 = 0 et un+1 = 2un+1un+2.

Partie A — 1) Montre que un+1 = 2 − 3un+2.
2) Démontre par récurrence que, pour tout n, 0 ≤ un < 1, puis étudie sa monotonie.
3) Déduis-en la convergence de (un).
4) Détermine la valeur de la limite (théorème du point fixe).

Partie B — On pose vn = un−1un+1.
1) Montre que (vn) est géométrique : donne sa raison et v0.
2) Déduis-en la limite de (un).
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
Exercice 4 — prouver un encadrement par récurrence
1) Soit u0=0 et un+1=√(0,5un+8). Montre que, pour tout n, 0 ≤ un ≤ 4.
2) Soit u0=100 et un+1=0,75un+10. Montre que, pour tout n, 40 ≤ un+1 ≤ un.
Exercice 5 — vrai ou faux
Réponds par Vrai ou Faux à chaque proposition.
Exercice 6 — récurrence, convergence et point fixe
La suite (un) est définie par u1 = 12 et un+1 = n+12n×un.
Exercice 7 — suite auxiliaire
Exercice 8 — récurrence, convergence et point fixe
La suite (un) est définie par u0 = 2 et un+1 = 13un + 2.

1) Montre par récurrence que, pour tout n, un ≤ 3.
2) Étudie les variations de (un).
3) Peut-on en conclure quelque chose sur (un) ?
Exercice 9 — récurrence, convergence et point fixe
La suite (un) est définie par u0 = 3 et un+1 = 0,75un + 1.

1) Démontre par récurrence que, pour tout n, 2 < un < 4.
2) Étudie les variations de (un).
3) La suite est-elle convergente ?
4) Détermine la valeur de la limite.
Exercice 10 — récurrence, convergence et point fixe
Partie A — u0=2, un+1=1+3un3+un (on admet que tous les termes sont strictement positifs).
1) Démontre par récurrence que, pour tout n, un > 1.
2) a) Montre que un+1−un = (1−un)(1+un)3+un, puis étudie la monotonie.
b) Déduis-en la convergence de (un) et détermine la valeur de la limite (point fixe).

Partie B (indépendante de A) — u0=2, un+1=1+0,5un0,5+un. On pose vn=un−1un+1, géométrique de raison −13.
1) Calcule v0.
2) Déduis-en la limite de (un).
Exercice 11 — synthèse : comparaison et gendarmes
Trois suites où il faut passer par un encadrement — nomme le théorème utilisé, puis donne la limite.
Les limites qui se calculent directement, sans passer par un encadrement, sont travaillées dans le parcours Limites de suites.
Exercice 12 — contre-exemples
L'exercice demande de trouver toi-même une suite avec une propriété précise. Cherche d'abord sur ton brouillon, sans lire la suite (une suite non majorée qui ne tend pas vers +∞ ; une suite bornée qui ne converge pas). Compare ensuite avec ces deux exemples classiques, à comprendre en vrai (pas à deviner) : calcule les premiers termes, puis complète la conclusion.

✍️ Exercice 13 — synthèse

Exercice 13 — synthèse, à rédiger

Rédige directement ci-dessous (sur la feuille), ou sur ton cahier papier puis montre ta copie.

Une association distribue des repas chaque mois. Le mois 0, elle a distribué 100 repas. Chaque mois, elle distribue 60 % des repas du mois précédent, auxquels s'ajoutent 200 nouveaux repas financés par de nouveaux donateurs.

On note un le nombre de repas distribués le mois n, avec u0 = 100 et, pour tout entier n, un+1 = 0,6×un + 200.

1. Calcule u1 et u2.
2. Démontre par récurrence que, pour tout entier n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 500.
3. Déduis-en que la suite (un) converge.
4. Détermine la valeur exacte de la limite l de cette suite.
5. Rédige une phrase de réponse qui interprète ce résultat dans le contexte de l'association.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Exercice 14 — suite de l'exercice de révision (récurrence)
Tu as déjà démontré, dans le chapitre « Récurrence et suites bornées », que la suite (un) définie par u0 = 1500 et un+1 = 45un + 50 vérifie, pour tout n : 250 ≤ un ≤ 1600, et tu as étudié ses variations.

3) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ? Justifie.
4) Trouve la limite de la suite, si c'est possible. Justifie.

🐍 Algorithmique

Sous-parcours
On reprend les deux suites de la notion « Comparaison et gendarmes », mais avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on prédit, on corrige, et on finit par écrire.
📌 Deux théorèmes, deux formes d'encadrement : une seule borne qui explose (comparaison), ou deux bornes qui se resserrent vers la même limite finie (gendarmes). Les algorithmes ci-dessous vérifient ces encadrements sur beaucoup de valeurs, sans remplacer la démonstration.
Chargement de la console Python…

⚔️ L'arène des limites !

Entraînement libre, sans note. Choisis ton thème !

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