📏 |x|
Intervalles et valeur absolue
Intervalles [a,b], ]a,b[, valeur absolue |x| et inégalités. 2nde.
Étape 1 — La droite des réels
🧠 Tu connais déjà la droite numérique depuis le collège. Chaque point sur cette droite est un nombre réel.
Les réels comprennent les entiers, les décimaux, et même des nombres comme √2 ou π.
En 2nde, on va apprendre à désigner des portions de la droite avec une nouvelle notation : ]a, b[ et [a, b].
Les réels comprennent les entiers, les décimaux, et même des nombres comme √2 ou π.
En 2nde, on va apprendre à désigner des portions de la droite avec une nouvelle notation : ]a, b[ et [a, b].
Tous les points de la droite forment l'ensemble ℝ des réels.
Étape 2 — Intervalle fermé [a, b]
[a, b] = intervalle fermé
Les crochets fermés [ ] signifient que les bornes SONT incluses.
Exemple : [2, 5] contient 2, 3, 4, 5 et tous les réels entre 2 et 5.
✅ 2 ∈ [2, 5] · 3,7 ∈ [2, 5] · 5 ∈ [2, 5]
❌ 1,9 ∉ [2, 5] · 5,1 ∉ [2, 5]
Les crochets fermés [ ] signifient que les bornes SONT incluses.
Exemple : [2, 5] contient 2, 3, 4, 5 et tous les réels entre 2 et 5.
✅ 2 ∈ [2, 5] · 3,7 ∈ [2, 5] · 5 ∈ [2, 5]
❌ 1,9 ∉ [2, 5] · 5,1 ∉ [2, 5]
Les points remplis ● indiquent que les bornes sont incluses.
💡 Mémo crochet fermé : le crochet [ ] "serre" la borne, comme une pince — la borne EST prise.
✅ 2 ∈ [2, 5] · ✅ 5 ∈ [2, 5]
✅ 2 ∈ [2, 5] · ✅ 5 ∈ [2, 5]
🧩 Test rapide — étape 3
3,7 ∈ [2, 5] ?
[2, 5] = tous les réels entre 2 et 5, bornes incluses
[2, 5] = tous les réels entre 2 et 5, bornes incluses
Étape 4 — Intervalle ouvert ]a, b[
]a, b[ = intervalle ouvert
Les crochets ouverts ] [ signifient que les bornes NE sont PAS incluses.
Exemple : ]2, 5[
❌ 2 ∉ ]2, 5[ (2 est exclu !)
✅ 3,7 ∈ ]2, 5[
❌ 5 ∉ ]2, 5[ (5 est exclu !)
Les crochets ouverts ] [ signifient que les bornes NE sont PAS incluses.
Exemple : ]2, 5[
❌ 2 ∉ ]2, 5[ (2 est exclu !)
✅ 3,7 ∈ ]2, 5[
❌ 5 ∉ ]2, 5[ (5 est exclu !)
Les cercles vides ○ indiquent que les bornes sont exclues.
❌ Contre-exemple : 2 ∈ [2, 5] MAIS 2 ∉ ]2, 5[
Même borne, résultat opposé ! Le crochet ] [ "repousse" la borne — elle est exclue.
💡 Mémo : ] ouvert = borne dehors · [ fermé = borne dedans
Même borne, résultat opposé ! Le crochet ] [ "repousse" la borne — elle est exclue.
💡 Mémo : ] ouvert = borne dehors · [ fermé = borne dedans
🧩 Test rapide — étape 5
5 ∈ ]2, 5[ ?
]2, 5[ : les crochets ] [ excluent les bornes
]2, 5[ : les crochets ] [ excluent les bornes
Étape 6 — Intervalles mixtes et infinis
On peut aussi mélanger crochets fermés et ouverts :
[a, b[ → a inclus, b exclu · 2 ≤ x < 5
]a, b] → a exclu, b inclus · 2 < x ≤ 5
Et pour les intervalles infinis, on utilise +∞ et −∞ :
]−∞, a] → tous les réels ≤ a (ex: ]−∞, 3] = x ≤ 3)
[a, +∞[ → tous les réels ≥ a (ex: [2, +∞[ = x ≥ 2)
[a, b[ → a inclus, b exclu · 2 ≤ x < 5
]a, b] → a exclu, b inclus · 2 < x ≤ 5
Et pour les intervalles infinis, on utilise +∞ et −∞ :
]−∞, a] → tous les réels ≤ a (ex: ]−∞, 3] = x ≤ 3)
[a, +∞[ → tous les réels ≥ a (ex: [2, +∞[ = x ≥ 2)
−∞ et +∞ ont toujours un crochet ouvert
Pourquoi ∞ est toujours ouvert ? Parce que l'infini n'est pas un nombre — on ne peut pas l'atteindre ni l'inclure.
Récap des 6 formes :
[a, b] → a ≤ x ≤ b · ]a, b[ → a < x < b
[a, b[ → a ≤ x < b · ]a, b] → a < x ≤ b
]−∞, b] → x ≤ b · [a, +∞[ → x ≥ a
Récap des 6 formes :
[a, b] → a ≤ x ≤ b · ]a, b[ → a < x < b
[a, b[ → a ≤ x < b · ]a, b] → a < x ≤ b
]−∞, b] → x ≤ b · [a, +∞[ → x ≥ a
🧩 Test rapide — étape 7
−1 ∈ ]−∞, 3[ ?
]−∞, 3[ = tous les réels strictement inférieurs à 3
]−∞, 3[ = tous les réels strictement inférieurs à 3
Prêt !
Tu connais maintenant les intervalles ouverts, fermés et infinis. 🎉
Lance l'entraînement pour tester tes connaissances !
Lance l'entraînement pour tester tes connaissances !
Étape 1 — La valeur absolue |x|
|x| = la distance de x à 0 sur la droite numérique.
|3| = 3 (3 est à 3 unités de 0)
|−3| = 3 (−3 est aussi à 3 unités de 0)
💡 La valeur absolue est toujours positive ou nulle. Jamais négative !
|3| = 3 (3 est à 3 unités de 0)
|−3| = 3 (−3 est aussi à 3 unités de 0)
💡 La valeur absolue est toujours positive ou nulle. Jamais négative !
📐 Définition précise :
Si x ≥ 0 → |x| = x (ex : |5| = 5)
Si x < 0 → |x| = −x (ex : |−3| = −(−3) = 3)
Autrement dit : on enlève le signe négatif. Le résultat est toujours ≥ 0.
Si x ≥ 0 → |x| = x (ex : |5| = 5)
Si x < 0 → |x| = −x (ex : |−3| = −(−3) = 3)
Autrement dit : on enlève le signe négatif. Le résultat est toujours ≥ 0.
🧩 Test rapide — étape 2
|−7| = ?
La valeur absolue = distance à 0
La valeur absolue = distance à 0
Étape 3 — Calculer |x − a|
|x − a| = la distance entre x et a sur la droite.
Exemple : |x − 2| = distance entre x et 2.
|5 − 2| = |3| = 3 · (5 est à 3 unités de 2)
|−1 − 2| = |−3| = 3 · (−1 est aussi à 3 unités de 2)
Exemple : |x − 2| = distance entre x et 2.
|5 − 2| = |3| = 3 · (5 est à 3 unités de 2)
|−1 − 2| = |−3| = 3 · (−1 est aussi à 3 unités de 2)
🧩 Test rapide — étape 4
|−4| = ?
|x| = distance de x à 0, toujours ≥ 0
|x| = distance de x à 0, toujours ≥ 0
Étape 5 — Lien avec les intervalles
Il y a un lien puissant entre valeur absolue et intervalles :
|x| ≤ 3 signifie : x est à moins de 3 unités de 0
↔ −3 ≤ x ≤ 3
↔ x ∈ [−3, 3]
|x| < 3 ↔ −3 < x < 3 ↔ x ∈ ]−3, 3[
|x| ≤ 3 signifie : x est à moins de 3 unités de 0
↔ −3 ≤ x ≤ 3
↔ x ∈ [−3, 3]
|x| < 3 ↔ −3 < x < 3 ↔ x ∈ ]−3, 3[
|x| ≤ a ↔ x ∈ [−a, a]
|x| < a ↔ x ∈ ]−a, a[
Prêt !
Tu maîtrises la valeur absolue ! Lance l'entraînement. 💪
Étape 1 — Appartenance = inégalité double
Écrire x ∈ [2, 7] et écrire 2 ≤ x ≤ 7 c'est la même chose !
Le crochet fermé [ → signe ≤ (inférieur ou égal)
Le crochet ouvert ] → signe < (strictement inférieur)
Le crochet fermé [ → signe ≤ (inférieur ou égal)
Le crochet ouvert ] → signe < (strictement inférieur)
🔑 L'astuce : regarde le crochet du côté de la borne.
Crochet fermé [ ou ] (pointe vers l'intérieur) → borne incluse → signe ≤
Crochet ouvert ] ou [ (pointe vers l'extérieur) → borne exclue → signe <
Crochet fermé [ ou ] (pointe vers l'intérieur) → borne incluse → signe ≤
Crochet ouvert ] ou [ (pointe vers l'extérieur) → borne exclue → signe <
| Notation intervalle | Inégalité équivalente |
|---|---|
| [2, 7] | 2 ≤ x ≤ 7 |
| ]−1, 4[ | −1 < x < 4 |
| [−3, 5[ | −3 ≤ x < 5 |
| ]0, +∞[ | x > 0 |
🧩 Test rapide — étape 2
x ∈ [−3, 5] équivaut à ?
[ = crochet fermé = borne incluse = signe ≤
[ = crochet fermé = borne incluse = signe ≤
Étape 3 — Méthode pas-à-pas
Pour savoir si un nombre appartient à un intervalle, remplace par la double inégalité :
Question : 6 ∈ [−3, 5] ?
Étape 1 : [−3, 5] ↔ −3 ≤ x ≤ 5
Étape 2 : Remplace x par 6 : −3 ≤ 6 ≤ 5
Étape 3 : Vrai ou faux ? → 6 ≤ 5 est FAUX
Réponse : 6 ∉ [−3, 5] ❌
Question : 6 ∈ [−3, 5] ?
Étape 1 : [−3, 5] ↔ −3 ≤ x ≤ 5
Étape 2 : Remplace x par 6 : −3 ≤ 6 ≤ 5
Étape 3 : Vrai ou faux ? → 6 ≤ 5 est FAUX
Réponse : 6 ∉ [−3, 5] ❌
🧩 Test rapide — étape 4
4 ∈ ]−1, 4[ ?
]−1, 4[ ↔ −1 < x < 4
]−1, 4[ ↔ −1 < x < 4
Étape 5 — Tableau récapitulatif
Mémo final pour ne jamais se tromper :
| Notation | Type | Inégalité |
|---|---|---|
| [a, b] | Fermé | a ≤ x ≤ b |
| ]a, b[ | Ouvert | a < x < b |
| [a, b[ | Semi-ouvert | a ≤ x < b |
| ]a, b] | Semi-ouvert | a < x ≤ b |
| ]−∞, b] | Infini gauche | x ≤ b |
| [a, +∞[ | Infini droit | x ≥ a |
Prêt !
Tu maîtrises le lien intervalles ↔ inégalités ! Lance l'entraînement. 🎯
✏️ Brouillon — pose tes calculs ligne par ligne (facultatif)
Bravo, séquence terminée ! Entraînement libre, sans note.
📸 Refaire ensuite cet exercice sur une vraie feuille et montrer ta copie (optionnel).
Sous-parcours
On retrouve les intervalles, mais avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on prédit, on complète, on corrige, et on finit par écrire un programme — jusqu'à un vrai balayage pour encadrer √2.
📌 Point de vigilance : en Python, un encadrement double peut s'écrire d'un coup, comme en maths :
2 <= x <= 5 teste si x est dans [2 ; 5]. Pour une borne exclue, on remplace le <= par un < strict.Chargement de la console Python…