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Géométrie
dans l'espace — Terminale

Vecteurs, droites et plans dans l'espace : on regarde des figures qu'on fait tourner avec le doigt, on démontre, et on apprend à reconnaître les positions relatives.

🔎 Départ

Avant de commencer
On se remet en confiance avec des petites questions sur les vecteurs vus en 2de. Rien de nouveau : juste des réflexes à retrouver.
Un rappel de 2de : le parallélogramme
À savoir par cœur
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC (vecteurs) : même direction, même sens, même longueur.

Attention à l'ordre des lettres : AB = DC, pas AB = CD.

Conséquence (règle du parallélogramme) : AB + AD = AC.
Le parallélogramme, en vecteurs
Attention au piège
La règle du parallélogramme
La relation de Chasles
On enchaîne deux fois Chasles
Le vecteur opposé
Le vecteur nul
Additionner deux vecteurs
Multiplier un vecteur par un nombre
Vecteurs colinéaires
Reconnaître des vecteurs colinéaires
Bien joué
Ces automatismes sont là : tu as ce qu'il faut pour attaquer la suite. On continue avec un vrai cube.
Un cube ABCDEFGH
Voici un cube ABCDEFGH. A, B, C, D forment la base ; E, F, G, H sont juste au-dessus (E au-dessus de A, F au-dessus de B, etc.).
Fais tourner le cube avec le doigt. Repère bien où se trouve chaque sommet, sous tous les angles.
Une flèche sur le cube
En rouge : le vecteur BG. C'est une flèche qui part de B et arrive en G.
🎯 Essaie d'abord !
Fais tourner la figure. Parmi ces flèches du cube, laquelle a exactement la même direction, le même sens et la même longueur que BG ?
On nomme ce qu'on vient de voir
À savoir par cœur
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme (longueur).

BG = AH : les deux flèches se superposeraient si on les faisait glisser l'une sur l'autre.
C'est exactement ce que tu viens de repérer en tournant le cube.

➡️ Vecteurs de l'espace

Ce qu'on a vu change d'échelle
Tu connais déjà les vecteurs dans le plan. Dans l'espace, c'est pareil : la translation de vecteur AB est la translation qui transforme A en B. Ce vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme — exactement ce que tu viens de voir avec BG et AH, qui sont égaux.
Tous les vecteurs égaux à BG (même direction, même sens, même norme — où qu'ils soient placés) sont des représentants d'un même vecteur, qu'on peut noter simplement u, sans préciser de point de départ.
À savoir par cœur
Les opérations (somme, différence, produit par un réel) et les propriétés de calcul — relation de Chasles, règle du parallélogramme — vues dans le plan restent valables dans l'espace.
🎯 Essaie d'abord !
Pour tous points A, B, C de l'espace, quelle écriture correspond à la relation de Chasles ?
Combinaison linéaire
Soient u, v et w trois vecteurs de l'espace. On dit que w est une combinaison linéaire de u et v s'il existe des réels α et β tels que w = αu + βv.
Dans ce cas, u, v et w sont coplanaires (on peut les représenter dans un même plan).
À savoir par cœur
Si deux vecteurs parmi u, v, w sont colinéaires, alors u, v, w sont coplanaires.
Exemple du cours — construire un point
Triangle ABC. On construit M tel que AM =  13AB − 2AC. Que peut-on dire des vecteurs AM, AB et AC ?
📐 Sur une feuille quadrillée, place A, B et C. Tu vas construire M toi-même, étape par étape. Garde cette figure, elle sert pour la suite.
Exemple du cours — le cube
Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, on veut justifier que EG = 2AB + BD.
Technique
Sur un cube, ramène-toi à l'origine : choisis un sommet de départ (ici A) et exprime tout à partir de lui. Les trois arêtes qui partent de A sont tes briques ; les autres arêtes du cube leur sont égales.
Même cube — une coplanarité
À savoir par cœur
Le vecteur opposé de AB est BA : on inverse juste les deux lettres (−AB = BA).
En additionnant un vecteur et son opposé, on obtient le vecteur nul, noté 0 : AB + BA = 0.
Toujours dans ce cube : montrer que CF, AD et CG sont coplanaires.
Exemple du cours — le tétraèdre
ABCD est un tétraèdre. E est le point tel que CE = 34AD + 12AC − 34BD. Démontrer que AE, AB et AC sont coplanaires.
📋 Bilan de la notion
Pour montrer que des vecteurs sont coplanaires : écris l'un d'eux comme combinaison linéaire des deux autres (relation de Chasles), ou repère que deux d'entre eux sont colinéaires.

📏 Droites de l'espace

Vecteur directeur
Soit A et B deux points distincts de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points M tels que AM = kAB, avec k∈ℝ. On dit que AB est un vecteur directeur de la droite (AB).
Ne confonds pas les deux écritures : (AB), sans flèche, c'est la droite — un objet infini, sans longueur ni sens. AB, avec sa flèche, c'est le vecteur — il a une direction, un sens et une longueur précise. La droite (AB) admet une infinité de vecteurs directeurs ; le vecteur AB n'est que l'un d'eux.
Tout vecteur colinéaire à AB est aussi un vecteur directeur de la droite (AB) — il y en a une infinité, tous parallèles entre eux.
À savoir par cœur
A, B, C sont alignés si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires.

(AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, AB et CD sont colinéaires.
Deux droites dans l'espace : 4 positions possibles
Dans le plan, deux droites sont parallèles (confondues comprises) ou sécantes. Dans l'espace, il y a une 3ᵉ possibilité : elles peuvent ne pas être dans un même plan.
Droites coplanairesDroites non coplanaires
Parallèles, confondues OU sécantesNon parallèles et non sécantes
Deux droites non coplanaires n'ont donc aucun point commun, sans pour autant être parallèles.
Piège classique : deux droites parallèles de l'espace sont toujours coplanaires — c'est la colonne de gauche du tableau. Le cas nouveau, propre à l'espace, c'est « ni sécantes, ni parallèles, ni confondues » : les deux droites ne sont alors dans aucun plan commun. En 2de, ce cas n'existait pas.
Exemple du cours — le cube
Fais tourner le cube pour bien voir chaque paire de droites, puis choisis sa position.
a) (EF) et (FH)
b) (CD) et (BH)
c) (BC) et (FG)
📋 Bilan de la notion
Pour deux droites dans l'espace : d'abord se demander si elles sont coplanaires (même plan) ; seulement ensuite, parallèles / confondues / sécantes.

🔷 Plans de l'espace

Le plan (ABC)
Soit A, B et C trois points non alignés de l'espace. Le plan (ABC) est l'ensemble des points M tels que AM = xAB + yAC, avec x et y des réels.
AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC), et (A ; AB ; AC) est un repère du plan.
Droite et plan : 2 positions
Parallèle au planSécante au plan
La droite ne touche jamais le plan, OU elle est incluse dedansL'intersection est un seul point
Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de montrer qu'elle est parallèle à une droite de ce plan.
Exemple — a) (CH) et le plan (ABC)
Le plan (ABC) est coloré. Fais tourner la figure pour voir où la droite (CH) le traverse.
b) (AB) et le plan (CGH)
Le plan (CGH) est coloré. Quelle est la position de la droite (AB) par rapport à ce plan ?
c) (BG) et le plan (FGC)
Le plan (FGC) est coloré. Quelle est la position de la droite (BG) par rapport à ce plan ?
Deux plans : parallèles ou sécants
ParallèlesSécants
Jamais de point commun, OU confondus (le même plan)L'intersection est une droite
Si un plan contient deux droites sécantes, toutes deux parallèles à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.
a) Les plans (ABC) et (FEH) sont colorés. Sont-ils parallèles, confondus ou sécants ?
b) Les plans (ABD) et (DCG)
Les plans (ABD) et (DCG) — colorés — sont sécants. Observe bien la droite commune aux deux plans en tournant la figure.
c) Les plans (BAD) et (CAB)
Repère les points A, B, C et D sur le cube. Les plans (BAD) et (CAB) sont-ils parallèles, confondus ou sécants ?
📋 Bilan de la notion
Droite/plan : parallèle (jamais de point commun, ou incluse) ou sécante (un point). Plan/plan : parallèles (ou confondus) ou sécants (une droite commune).

🏠 Théorème du toit

Le théorème
À savoir par cœur — Théorème 16
Si deux plans sécants P et P' contiennent respectivement deux droites d et d' parallèles entre elles, alors leur droite d'intersection d'' est parallèle à ces deux droites.
Le nom vient de la forme obtenue : comme deux pans d'un toit qui se rejoignent sur une arête, cette arête est parallèle au bas des deux pans.
L'exemple du cours
Soit un tétraèdre ABCD. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. H est un point de [AD], distinct de son milieu. (HI) et (DB) se coupent en M ; (HJ) et (DC) se coupent en N.
1. (IJ) et (BC) sont-elles parallèles ?
On va d'abord le montrer avec les vecteurs — sans théorème du toit, juste Chasles et les milieux.
2. On applique le théorème du toit
On veut maintenant en déduire que (IJ) et (MN) sont parallèles.
M est sur (HI) et sur (DB) ; N est sur (HJ) et sur (DC).
📋 Bilan de la notion
Le théorème du toit sert à trouver la direction d'une intersection de deux plans sécants, dès qu'on connaît deux droites parallèles, une dans chaque plan.

🧭 Méthode à suivre

Quelle méthode utiliser ?
Le butLa méthode
Montrer que des vecteurs sont coplanairesÉcrire l'un comme combinaison linéaire des deux autres (ou repérer 2 vecteurs colinéaires)
Montrer que A, B, C sont alignésMontrer que AB et AC sont colinéaires
Montrer qu'une droite est parallèle à un planTrouver une droite du plan qui lui est parallèle
Trouver l'intersection de deux plans sécants qui contiennent deux droites parallèlesThéorème du toit
Quelle méthode ?
Un petit bilan pour s'entraîner à choisir, avant le grand bilan mélangé.
Bilan général — tout mélangé

🎯 S'entraîner par notion

Choisis ce que tu veux travailler
Chaque bouton t'amène directement sur la bonne notion ou le bon exercice.
Vecteurs de l'espace
Droites de l'espace
Plans de l'espace
Théorème du toit

📄 Exercices d'entraînement

Exercices d'entraînement
6 exercices du cours, numérotés dans l'ordre et regroupés par thème. Sur chacun, choisis « sur la feuille » (ici) ou « sur mon cahier » (tu rédiges et tu montres ta copie).
➡️Thème — Construire un point
Exercice 1 — construire un point (2 parties)
a) Triangle ABC. Construire Z tel que BZ = 2AB − 3CB.
b) Parallélogramme DEFG. Construire K tel que DK = 2DE + 2DG − DF.
Cet exercice est une construction : il se fait au crayon, pas sur l'écran. Bascule sur « Sur mon cahier » pour tracer Z et K, puis montre ta copie.
Exercice 2 — construire un point, cube et tétraèdre
a) Cube ABCDEFGH. Construire X tel que AX = 2AB + BH + 12EF.
b) Tétraèdre ABCD. Construire G tel que AG = 12AD − 12CD + 13CB.
Cet exercice est une construction : il se fait au crayon, pas sur l'écran. Bascule sur « Sur mon cahier » pour tracer X et G, puis montre ta copie.
🔷Thème — Démontrer une coplanarité
Exercice 3 — coplanarité avec quatre milieux
Tétraèdre ABCD. I, J, K, L sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [AC], [AD] et [CD]. Montrer que IJ, KL et AB sont coplanaires.
Exercice 4 — coplanarité, milieux et translation
Tétraèdre ABCD. E et F sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] ; N est le point tel que AN = DE. Montrer que CE = DN − 2DF, puis conclure pour CE, DF et DN.
Exercice 5 — coplanarité, combinaison de trois vecteurs
Tétraèdre ABCD. M, N, P, Q sont définis par :
AM = 2AB
AN = 3AC
AP = 43AD
AQ = −4AB + 18AC − 4AD
Exprime MN, MP et MQ, puis conclus.
📏Thème — Positions relatives de droites
Exercice 6 — positions relatives dans un cube
Dans un cube ABCDEFGH, donne la position relative des droites suivantes : a) (CF) et (AE) — b) (AC) et (DH) — c) (AH) et (BG) — d) (BF) et (AC).
a) (CF) et (AE)
b) (AC) et (DH)
c) (AH) et (BG)
d) (BF) et (AC)

🏆 Arène libre

Choisis une catégorie, les questions défilent et se mélangent à chaque partie.

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