La suite de la partie 1 : on pose un repère dans l'espace, on calcule des coordonnées, et on écrit l'équation d'une droite avec un paramètre.
🔎 Départ
Avant de commencer
Quatre petits rappels dont tu vas te servir dans cette partie : la combinaison linéaire (vue dans la partie 1), les vecteurs colinéaires, le milieu d'un segment, et résoudre une petite équation. Rien de nouveau.
Rappel — combinaison linéaire
Rappel — vecteurs colinéaires
Rappel — milieu d'un segment
Rappel — résoudre une petite équation
Bien joué
Tu as ce qu'il faut. On pose maintenant un repère dans l'espace.
🧱 Décomposer un vecteur
Une base de l'espace
Trois vecteurs i, j, k forment une base de l'espace si les trois vecteurs sont non coplanaires.
Tu sais déjà vérifier ça : c'est exactement ce que tu faisais dans la partie 1 pour montrer que trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
Coordonnées d'un vecteur dans une base
Soit (i ; j ; k) une base de l'espace. Dans cette base, tout vecteur u peut s'écrire comme combinaison linéaire de i, j et k :
u = xi + yj + zk
À savoir par cœur
On dit alors que (x ; y ; z) sont les coordonnées de u dans la base (i ; j ; k).
Exemple du cours — le cube
Cube ABCDEFGH, muni de la base (AB ; AD ; AE).
Exemple du cours — des points alignés
On considère trois points de l'espace A, B et C non alignés, et les points M et N définis par AM = 12AB et BN = 3AC − 2AB.
📋 Bilan de la notion
Pour décomposer un vecteur dans une base, on l'écrit comme combinaison linéaire des trois vecteurs de la base : chaque coefficient est une coordonnée. Pour montrer que trois points sont alignés avec des vecteurs, on montre que deux vecteurs portés par ces points sont colinéaires.
📍 Repère et coordonnées
Un repère de l'espace
Un repère de l'espace, noté (O ; i ; j ; k), est formé du point O et d'une base (i ; j ; k).
👆 Fais tourner : i, j et k ne sont jamais coplanaires — sinon on ne pourrait plus atteindre tous les points de l'espace, seulement ceux d'un plan.
Dans un repère (O ; i ; j ; k), pour tout point M de l'espace il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que OM = xi + yj + zk. On dit que (x ; y ; z) sont les coordonnées du point M.
À savoir par cœur
x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M.
Exemple du cours — le cube
Cube ABCDEFGH muni du repère (A ; AB ; AD ; AE). Donner les coordonnées des points C, F, G et H.
Calculs de coordonnées
Soient A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) deux points de l'espace.
AB(xB−xA ; yB−yA ; zB−zA)
Pour deux vecteurs u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z') et un réel k :
u+v (x+x' ; y+y' ; z+z')
ku (kx ; ky ; kz)
À savoir par cœur
Milieu I de [AB] : I(xA+xB2 ; yA+yB2 ; zA+zB2)
Exemple du cours
Soient A(−2 ; 8 ; 9), B(−4 ; 4 ; 5), C(0 ; 4 ; −3), D(−8 ; 6 ; 7) et E(1 ; −2 ; 3) des points de l'espace muni d'un repère (O ; i ; j ; k). On note I et J les milieux respectifs de [AB] et [DC].
📋 Bilan de la notion
Les coordonnées d'un point se lisent dans le repère ; les coordonnées d'un vecteur se calculent en soustrayant celles du point de départ à celles du point d'arrivée. Les formules de somme, de produit par un réel et de milieu marchent coordonnée par coordonnée.
📏 Droite paramétrée
Vecteur directeur, encore
Soit d une droite de l'espace passant par le point A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u(a ; b ; c). Pour tout point M(x ; y ; z) de la droite d, il existe un nombre réel t tel que :
x = xA + a×t y = yA + b×t z = zA + c×t
À savoir par cœur
Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite d. t est le paramètre.
Exemple du cours
On considère la droite d passant par A(5 ; −1 ; 3) et de vecteur directeur u(2 ; 7 ; −4).
📋 Bilan de la notion
Pour savoir si un point appartient à une droite donnée par sa représentation paramétrique, on résout les trois équations : si elles donnent toutes la MÊME valeur de t, le point appartient à la droite. Sinon, il n'appartient pas.
📄 Exercices d'entraînement
Exercices d'entraînement
Les 21 exercices du cours, numérotés comme sur ta feuille, regroupés par thème. Travaille-les dans l'ordre ou choisis directement ce que tu veux revoir.
🧱Thème — Décomposer et aligner avec des vecteurs
Exercice 1 — milieu et alignement
Dans un triangle ABC, on considère le point I milieu du segment [AC] et les points M et N définis par AM = 3AB et BN = 2BC. 1. Exprimer les vecteurs BI et MN en fonction des vecteurs BA et BC. 2. Que peut-on en déduire pour les droites (BI) et (MN) ?
Exercice 2 — une base ratée
On considère un cube ABCDEFGH et les milieux I et J des segments [BE] et [FG]. 1. Montrer que 2IJ = BG + EF. 2. En déduire que les vecteurs IJ, EF et BG ne forment pas une base de l'espace.
📝 Rédige la démonstration complète (2IJ=BG+EF, puis la conclusion sur la base), puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
📍Thème — Coordonnées dans un repère : le cube
Exercice 3 — cube avec points définis par fractions
On considère le cube représenté avec les points K et L définis par DK = 34DH et GL = 23GC. On note aussi les milieux M, N, P et Q respectifs des segments [CD], [EH], [BF] et [GH]. 1. Donner les coordonnées de tous les points dans le repère (A ; AB ; AD ; AE). 2. Donner les coordonnées des vecteurs suivants dans le même repère : a) AF b) AQ c) MP d) CN e) EM f) NQ g) CK h) BL
🧮Thème — Calculer des coordonnées
Exercice 4 — combinaisons de vecteurs
Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points A(1;−2;3), B(−1;2;0), C(3;1;−2), D(0;−1;1) et E(2;0;−1). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : a) u=2AB+CE b) v=AD−3BC c) w=−2BD+EA d) t=3CA−DC
Exercice 5 — milieux et parallélogramme
Dans un repère de l'espace, on considère les points A(1;5;2), B(−2;3;4), C(−2;−2;0) et D(7;−3;1). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD. 2. Calculer les coordonnées des milieux des segments [AB] et [CD]. 3. Déterminer les coordonnées du point K tel que ABCK est un parallélogramme.
🔷Thème — Base et coplanarité, en coordonnées
Exercice 6 — base ou pas ?
Dans un repère de l'espace, on considère les points A(1;5;2), B(−2;3;4), C(−2;−2;0) et D(7;−3;1). Déterminer si les vecteurs AB, AC et AD forment une base de l'espace.
Exercice 7 — base ou pas ?
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les vecteurs u(−2;−1;1), v(−1;1;−2) et w(1;−2;−1). Les trois vecteurs forment-ils une base de l'espace ? Justifier.
Exercice 8 — coplanaires ?
Dans une base de l'espace, on donne les vecteurs u(1;−2;0), v(3;1;3) et w(−1;−5;−3). 1. Calculer les coordonnées du vecteur 2u−v−w. 2. En déduire que les vecteurs u, v et w sont coplanaires.
1. A(3;2;−1) ; B(−3;0;5) ; C(1;1;−2) ; D(−11;−3;10). Les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ?
2. A(2;−1;4) ; B(3;2;−5) ; C(−11;−40;121). Ces points sont-ils alignés ?
3. A(−4;−3;1) ; B(0;3;−5) ; C(2;1;1) ; D(3;5;−5). Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?
4. A(−2;1;0) ; B(1;3;5) ; C(15;20;25). a) Calculer AB et AC. b) Le point C appartient-il à la droite (AB) ?
Exercice 10 — appartenance à un plan
Dans un repère de l'espace, on donne le point A(−1;2;3) et les vecteurs u(1;0;3) et v(0;1;3). P est le plan (A ; u ; v). 1. Démontrer que le point B(1;−1;0) appartient au plan P. 2. Le point C(−2;7;10) appartient-il au plan P ?
Exercice 11 — position de deux droites
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points A(2;1;5), B(4;2;4), C(3;3;5) et D(0;3;7). 1. Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. 2. Déterminer si le vecteur AD est combinaison linéaire des vecteurs AB et CD. 3. En déduire la position relative des droites (AB) et (CD).
🔶Thème — Plans entre eux
Exercice 12 — un plan et une droite
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points A(−1;0;5), B(2;1;3), C(1;1;1), D(4;−2;1) et E(1;0;1). 1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan. 2. Déterminer si le vecteur DE est combinaison linéaire des vecteurs AB et AC. 3. En déduire la position de la droite (DE) et du plan (ABC).
Exercice 13 — deux plans
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points A(1;2;−3), B(−1;0;2), C(2;−1;1), D(−3;2;1), E(1;0;1) et F(0;1;−1). Déterminer si les plans (ABC) et (DEF) sont parallèles ou sécants.
Exercice 14 — droite, plans parallèles
Dans un repère de l'espace, on donne les points A(1;−1;2), B(0;3;−4) et les vecteurs u(1;0;1), v(0;3;5), w(1;3;6) et t(2;−3;−3). On note P le plan (A ; u ; v), Q le plan (B ; w ; t) et d une droite de vecteur directeur w. 1. Démontrer que la droite d est parallèle au plan P. 2. Déterminer la position relative des plans P et Q.
📏Thème — Représentation paramétrique d'une droite
Exercice 15 — représentation paramétrique
On donne le point A(1;−2;−1) et le vecteur u(−1;1;2). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point A et de vecteur directeur u. 2. Montrer que le point B(0;−1;1) appartient à cette droite. 3. Le point C(1;2;3) appartient-il à la droite ?
Exercice 16 — lire une représentation paramétrique
Déterminer les éléments caractéristiques (un point et un vecteur directeur) des droites suivantes.
a) x=−2t, y=−1+t, z=−3−4t b) x=−2−k, y=−3k, z=−4−k
c) x=−t+3, y=t+1, z=−4t d) x=t, y=1, z=2−t
Exercice 17 — droite (AB)
On donne les points A(1;0;−3) et B(2;5;0). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). 2. Les points C(−1;2;−3) et D(3;10;3) appartiennent-ils à la droite (AB) ? Justifier.
Exercice 18 — droite (MN), alignement
On donne les points M(2;−1;4) et N(1;2;3). 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (MN). 2. Les points M, N et P(−1;4;−2) sont-ils alignés ? Justifier.
Exercice 19 — deux droites, parallèles ou sécantes ?
Justifier si les droites d et d' dont les représentations paramétriques sont données sont parallèles ou sécantes.
a) d : x=−4+2t, y=1−t, z=5+3t et d' : x=3−4t', y=4t', z=2+4t'
b) d : x=−1+2t, y=5t, z=−3−3t et d' : x=1−4t', y=2−10t', z=6t'
🎲Thème — Exercices de synthèse : le cube
Exercice 20 — intersection droite / plan dans un cube
On considère le cube représenté ci-contre. On définit les points M et N tels que BM = 14BE et CN = 34CH.
1. Donner les coordonnées de chacun des sommets du cube dans le repère (A ; AB ; AD ; AE).
2a. Calculer les coordonnées des points M et N dans ce repère.
2b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (MN) dans ce repère.
2c. En déduire les coordonnées du point P, point d'intersection entre (MN) et le plan (ABD).
3a. Justifier que P, B et G ne sont pas alignés. 3b. Justifier que P, B et C sont alignés.
4a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BC). 4b. En déduire le paramètre correspondant pour le point P.
Exercice 21 — droite, plan, et affirmations à justifier
Partie A — Premiers résultats. On considère le cube ci-contre. I est le milieu de [EF], J le milieu de [EH], et K le point tel que AK = 14AD. On munit l'espace du repère (A ; AB ; AD ; AE).
a) Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (AE).
b) Déterminer un couple de vecteurs directeurs du plan (FHK).
c) Démontrer que la droite (AE) et le plan (FHK) ne sont pas parallèles.
Exercice 21 — Partie B : l'intersection
1a. M est un point de la droite (AE). Justifier qu'il a pour coordonnées (0;0;a), où a est un nombre réel.
1b. Justifier que le point M appartient au plan (FHK) s'il vérifie HM = xHF + yHK (avec x et y réels).
1c. Calculer les coordonnées du point d'intersection M de (AE) et (FHK), puis en déduire les valeurs de x et y.
Exercice 21 — Partie C : justifier des affirmations
(O ; i ; j ; k) est un repère de l'espace. P est le plan qui passe par A(1;0;−2) et de vecteurs directeurs u(−1;0;−3) et v(0;1;2). Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier.
1. Le point M(−1;−1;−10) est un point du plan P.
2. La droite d qui passe par B(0;−1;3) et de vecteur directeur w(1;−2;4) est parallèle au plan P.
3. Le plan Q, qui passe par C(−1;2;−1) et de vecteurs directeurs v1(−1;1;−1) et v2(−3;2;−5), est parallèle au plan P.
📝 Rédige les 3 justifications complètes (vrai/faux + calcul), puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🧭 Méthode à suivre
Quelle méthode utiliser ?
Pour savoir si des vecteurs/points sont colinéaires, alignés ou coplanaires : compare les coordonnées (un vecteur est un multiple de l'autre), ou cherche si l'un est combinaison linéaire des autres (résous le système, puis vérifie la dernière équation).
Pour une droite : écris sa représentation paramétrique (point + vecteur directeur), puis résous pour savoir si un point lui appartient, ou pour trouver l'intersection avec un plan.
Pour un plan (A ; u ; v) : un point M lui appartient si AM est combinaison linéaire de u et v. Deux plans sont parallèles si les vecteurs directeurs de l'un sont combinaisons linéaires de ceux de l'autre.