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Formules d'aires

Rectangle, triangle, parallélogramme, disque, figures composées. On observe, on manipule, puis on calcule.

🟪 L'aire, une grandeur

La leçon — étape 1 sur 2
🎯 Deux champs sont dessinés sur une feuille quadrillée. Chaque carreau vaut 1 unité d'aire.

Clique sur les carreaux du champ A pour les compter, puis fais la même chose pour le champ B.
Champ A : 0
Champ B : 0
🎯 D'après ton comptage
Quel champ a la plus grande aire ?
La leçon — étape 2 sur 2
💡 Si on découpe une figure en morceaux et qu'on les recolle autrement — sans en perdre, sans les superposer — l'aire totale ne change pas.

Ces 6 carreaux sont toujours les mêmes, juste rangés autrement :

Aire = 6 carreaux, dans les deux cas.

🎯 Vérifie !
Une figure recouvre 7 carreaux de 1 cm² chacun. Quelle est son aire ?

▭ Rectangle et carré

🎯 Rappel de 6e — à ton avis
Quelle est l'aire d'un rectangle de 6 cm sur 4 cm ?

🔺 Aire du triangle

La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Un rectangle mesure 8 cm sur 5 cm. Trace sa diagonale, puis sépare les deux morceaux : que remarques-tu ?
🎯 Vérifie
Les deux triangles obtenus sont-ils superposables (identiques) ?
La leçon — étape 2 sur 3
Et pour un triangle qui n'est PAS rectangle ? La formule reste la même : on utilise une base et sa hauteur.
A = (base × hauteur) ÷ 2

La hauteur (en pointillé) est perpendiculaire à la base.

Exemple : base = 14 cm, hauteur = 5 cm → A = (14 × 5) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35 cm².

La leçon — étape 3 sur 3
⚠️ Attention : dans un triangle qui a un angle obtus, la hauteur peut tomber en dehors du triangle !
⭐ À savoir par cœur A = (base × hauteur) ÷ 2. La hauteur est TOUJOURS perpendiculaire à la base, y compris si elle tombe hors du triangle.
🎯 Vérifie !
Base = 10 cm, hauteur = 6 cm. Aire du triangle ?

▱ Aire du parallélogramme

La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Ce parallélogramme a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Découpe le petit triangle d'un côté et recolle-le de l'autre : que obtiens-tu ?
🎯 D'après la figure obtenue
Le rectangle obtenu a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Quelle est son aire ?
La leçon — étape 2 sur 3
A = base × hauteur

La hauteur (en pointillé) est PERPENDICULAIRE à la base — jamais le côté incliné.

Exemple : base = 5,5 cm, hauteur = 3 cm → A = 5,5 × 3 = 16,5 cm².

La leçon — étape 3 sur 3
On peut aussi retrouver une longueur manquante à partir de l'aire.

Un parallélogramme a une aire de 20 cm² et une base de 4 cm. Sa hauteur vaut : hauteur = aire ÷ base = 20 ÷ 4 = 5 cm.

⭐ À savoir par cœur A = base × hauteur, donc hauteur = A ÷ base et base = A ÷ hauteur.
🎯 Vérifie !
Base = 6 cm, hauteur = 3 cm. Aire ?

⚪ Aire du disque

La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Un disque de rayon 3 carreaux est dessiné sur un quadrillage (1 carreau = 1 cm²). Clique sur les carreaux entièrement à l'intérieur pour estimer son aire.

Carreaux comptés : 0

La leçon — étape 2 sur 3

Rayon = 7 cm, arrondi au dixième :

A = π × 7² = π × 49 = 49π cm² (valeur EXACTE) ≈ 3,14 × 49 ≈ 153,9 cm² (valeur APPROCHÉE).

« À cause » de π, on ne peut donner qu'un arrondi de l'aire — sauf si on la laisse « en fonction de π ». Dans les exercices, prends π ≈ 3,14.

La leçon — étape 3 sur 3
Et si on double le rayon d'un disque ?
🎯 À ton avis
Si on double le rayon d'un disque, son aire :
🎯 Vérifie !
Rayon = 4 cm. Aire en fonction de π ?

🧩 Figures composées

La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Cette fenêtre n'est ni un rectangle, ni un disque tout seul. Comment calculer son aire totale ?
🎯 À ton avis
Pour calculer l'aire d'une figure composée de plusieurs formes simples, il faut :
La leçon — étape 2 sur 3
Et quand une forme est RETIRÉE (un trou) ? On soustrait au lieu d'additionner.

Plaque 14 cm × 8 cm → aire = 112 cm². Trou de rayon 3 cm → aire ≈ 3,14 × 3² ≈ 28,26 cm². Aire restante ≈ 112 − 28,26 = 83,74 cm².

⭐ À savoir par cœur Figure composée : décomposer en formes simples → calculer chaque aire → ADDITIONNER (ajout) ou SOUSTRAIRE (trou, partie retirée).
La leçon — étape 3 sur 3
Petit rappel d'unités, pour les grandes surfaces.

Quand chaque carreau mesure 1 cm de côté, l'aire se compte en cm². Pour une pièce, un terrain, on utilise plutôt le m² (mètre carré).

⭐ À savoir par cœur 1 m² = 10 000 cm² (un carré de 1 m de côté = 100 cm de côté, donc 100 × 100 = 10 000 petits carrés de 1 cm²).
🎯 Vérifie !
Une salle mesure 3 m². Combien de cm² ?

🏆 Bilan général

Tout le chapitre en un coup d'œil
1. L'aire, une grandeur — l'aire, c'est le nombre d'unités (carreaux) qui recouvrent une figure ; elle ne change pas si on découpe et recolle sans rien perdre.
2. Rectangle et carré — A = L × l ; A = c × c.
3. Triangle — A = (base × hauteur) ÷ 2. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base, même si elle tombe à l'extérieur.
4. Parallélogramme — A = base × hauteur (jamais le côté incliné).
5. Disque — A = π × r² (à ne pas confondre avec le périmètre 2 × π × r).
6. Figures composées — décomposer en formes simples, calculer chaque aire, additionner ou soustraire. 1 m² = 10 000 cm².
⭐ L'essentiel à retenir Rectangle : L × l. Carré : c × c. Triangle : (b × h) ÷ 2. Parallélogramme : b × h. Disque : π × r².
🎯 Vérif 1 sur 4 — Rectangle
Aire d'un rectangle de 9 cm sur 5 cm ?
🎯 Vérif 2 sur 4 — Triangle
Base = 8 cm, hauteur = 5 cm. Aire ?
🎯 Vérif 3 sur 4 — Disque
Rayon = 5 cm. Aire en fonction de π ?
🎯 Vérif 4 sur 4 — Figure composée
Un rectangle d'aire 50 cm² contient un trou d'aire 8 cm². Aire restante ?

📝 Méthode à suivre

Exercice 1
Une fenêtre est formée d'un rectangle de 10 cm sur 6 cm, surmonté d'un demi-disque de même largeur (rayon 5 cm).

Calcule l'aire totale de cette fenêtre (π ≈ 3,14). Rédige : formule → remplacement → calcul → unité, pour chaque forme, puis la somme.
💡 Identifie les deux formes simples qui composent la figure (ici : un rectangle et un demi-disque).

Entraînement

📝 Je rédige seul

Exercice de synthèse
18 cm10 cmr = 4 cm
Une plaque de bois rectangulaire mesure 18 cm de longueur sur 10 cm de largeur. On y perce un trou circulaire de rayon 4 cm pour y passer un câble.

Calcule l'aire de la plaque percée, en cm² (π ≈ 3,14, arrondis au centième). Rédige entièrement : formule → remplacement → calcul → unité, pour chaque forme, puis la soustraction finale.
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

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