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Fonctions
3ème

Vitesse, facture, température : les fonctions décrivent tout. Explore chaque thème, rédige sur ton cahier, valide.

🛠 Comprendre ce qu'est une fonction

La leçon — étape 1 sur 3
🛠 Tu connais déjà les programmes de calcul : on part d'un nombre, on lui applique des opérations, et on trouve un autre nombre.

Voici un programme : choisis un nombre, multiplie-le par 3, puis ajoute 1.
🎯 Essaie d'abord !
Applique ce programme au nombre 4. Que trouves-tu à l'arrivée ?
✅ 4 × 3 + 1 = 13. Si tu recommences avec 4 demain, tu retrouveras encore 13 : à un même nombre de départ correspond toujours le même nombre d'arrivée, un seul.

On dit que le nombre d'arrivée s'exprime en fonction du nombre de départ. Cette relation de dépendance s'appelle une fonction.
x
➔
🛠 f
× 3, puis + 1
➔
3x + 1

On écrit f(x) = 3x + 1. On dit que f est la fonction qui, à x, associe 3x + 1.

⭐ À savoir par cœur
Une fonction, c'est une règle qui associe à chaque nombre de départ un seul nombre d'arrivée.
On note f(x) le nombre d'arrivée associé à x par la fonction f.
La leçon — étape 2 sur 3
🤔 Une fonction a-t-elle forcément besoin d'un calcul ? Léa décide, au hasard : « pour 1 au départ, je trouve 8 ; pour 2, je trouve −7 ; pour 8, je trouve −10 ». Et c'est tout : sa règle ne concerne que trois nombres.
Départ128
Arrivée8−7−10
🎯 Essaie d'abord !
Aucun calcul, seulement trois nombres… Est-ce quand même une fonction ?
✅ Oui, c'est bien une fonction : chaque nombre de départ a un seul nombre d'arrivée, et c'est tout ce qu'on demande. Elle n'a aucune utilité, c'est vrai — c'est pour ça que dans ce chapitre, on va s'intéresser aux fonctions qui ont une vraie relation de calcul entre le départ et l'arrivée.
🤔 Hugo propose à son tour une règle : « pour 1, je trouve 4 ; pour 1, je trouve aussi 9 ; pour 2, je trouve 6 ».
Départ112
Arrivée496
🎯 Est-ce une fonction ?
Avec la règle de Hugo, si on part de 1, où arrive-t-on ? Est-ce une fonction ?
❌ Non : en partant de 1, on ne sait pas si on arrive à 4 ou à 9. Une fonction doit donner un seul nombre d'arrivée pour chaque nombre de départ.
💡 Pour aller plus loin (curiosité)

Tu as déjà défini des fonctions sans le savoir, en probabilités : quand tu lances un dé, à chaque face tu associes sa probabilité, 16 pour la face 1, 16 pour la face 2, et ainsi de suite. À chaque nombre de départ (la face), un seul nombre d'arrivée (sa probabilité) : c'est une fonction.

On peut même partir d'autre chose que de nombres : une roue à trois couleurs (jaune, rouge, vert) où chaque couleur a sa probabilité, c'est une fonction entre une couleur et un nombre.

La leçon — étape 3 sur 3
📈 Le tableau de valeurs range les nombres d'arrivée sous les nombres de départ, les uns à côté des autres. C'est plus visuel qu'une liste de calculs.
Pour f(x) = 2x + 1 :
x01234
f(x)13579

f(4) = 2 × 4 + 1 = 9. La case bleue montre le nombre d'arrivée associé à 4.

⭐ Bilan de la notion
• Une fonction associe à chaque nombre de départ un seul nombre d'arrivée : f(x).
• Elle n'a pas toujours besoin d'un calcul (mais celles qu'on étudie en ont un).
• Un tableau de valeurs range les nombres d'arrivée sous les nombres de départ.
🎯 Essaie d'abord !
f(x) = 3x. Kenji met x = 4. Que donne f(4) ?

🔍 Lire et calculer une image — trouver un antécédent

La leçon — étape 1 sur 3
🎯 Reprends le programme : f(x) = 5x − 3.
🎯 Essaie d'abord !
Applique ce programme à 4 (remplace x par 4). Que trouves-tu ?
f(x) = 5x − 3
f(4) = 5 × 4 − 3
= 20 − 3
= 17
On dit que 17 est l'image de 4 par f, et que 4 est un antécédent de 17 par f.
Image : on connaît x, on cherche f(x)
Antécédent : on connaît f(x), on cherche x

💡 Calculer une image = remplacer x par le nombre donné. Une ligne par calcul, phrase de conclusion.

La leçon — étape 2 sur 3
🤔 Une image peut avoir plusieurs antécédents — jamais l'inverse (un antécédent ne donne toujours qu'une seule image, c'est la définition même d'une fonction).
🎯 Essaie d'abord !
g(x) = x². Calcule g(3) ET g(−3). Que remarques-tu ?
✅ g(3) = 3² = 9 et g(−3) = (−3)² = 9. 9 a deux antécédents : 3 et −3. C'est possible pour une image — mais chaque antécédent, lui, ne donne toujours qu'une seule image.
La leçon — étape 3 sur 3
🔍 Trouver un antécédent, c'est le sens inverse : on connaît le nombre d'arrivée, on cherche le nombre de départ. On sait déjà faire ça — ça revient à résoudre une équation (comme au chapitre Équations).

f(x) = 5x − 3. Quel est l'antécédent de 17 ?
On cherche x tel que 5x − 3 = 17.
① Pose : 5x − 3 = 17
② Ajoute 3 des deux côtés : 5x = 20
③ Divise par 5 : x = 4
④ Vérifie : f(4) = 5 × 4 − 3 = 17 ✓
⭐ Bilan de la notion
• f(a) = b signifie : b est l'image de a, et a est un antécédent de b.
• Image : on remplace x et on calcule (substitution).
• Antécédent : on pose f(x) = k et on résout l'équation.
• Une image peut avoir plusieurs antécédents ; un antécédent ne donne qu'une seule image.
🎯 Essaie d'abord !
f(x) = 2x + 1. Quel est l'antécédent de 9 par f ?

📈 Lire et tracer une représentation graphique

La leçon — étape 1 sur 4
📊 On aime bien ranger les images dans un tableau de valeurs — c'est visuel. Mais un tableau a une limite : impossible de faire une colonne pour chaque nombre, il y en a une infinité !
🎯 Essaie d'abord !
f(x) = 2x + 1. Le tableau ne donne que quelques valeurs. Que vaut f(1,5), qui n'est pas dans le tableau ?
x0123
f(x)1357
✅ f(1,5) = 2×1,5 + 1 = 4, même si 1,5 n'était pas dans le tableau. Pour voir tout de suite ce genre de valeur sans la calculer, on utilise une représentation graphique : la courbe.
La leçon — étape 2 sur 4
👁 La courbe représentative d'une fonction, c'est l'ensemble des points (x ; f(x)) dans un repère.

Pour f(x) = 2x + 1 : chaque x donne un point.
• x = 0 → f(0) = 1 → point (0 ; 1)
• x = 2 → f(2) = 5 → point (2 ; 5)
• x = 3 → f(3) = 7 → point (3 ; 7)

💡 Axe horizontal = les x (abscisses). Axe vertical = les f(x) (ordonnées).

🎯 Essaie d'abord !
Et pour x = 1 ? Quel point de la courbe correspond à ce nombre de départ ?

f(1) = 2 × 1 + 1 = 3 : le point (1 ; 3) est sur la courbe. Le nombre de départ se lit toujours en premier, l'image en second.

La leçon — étape 3 sur 4
🔍 La courbe a un autre avantage : elle permet de lire des images et des antécédents sans les calculer. Voici la courbe de f(x) = 2x + 1, avec une ligne pointillée à la hauteur 7.
🎯 Essaie d'abord !
Sans calculer, en suivant la ligne pointillée jusqu'à la courbe puis en descendant : quel nombre de départ a pour image 7 ?
✅ On part de 7 sur l'axe vertical, on avance jusqu'à la courbe, on descend : on tombe sur 3. 3 est un antécédent de 7 — et on vérifie : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7.

Lire f(a) : repère a sur l'axe horizontal, monte verticalement jusqu'à la courbe, lis la hauteur → c'est f(a).
Lire un antécédent de k : repère k sur l'axe vertical, avance horizontalement jusqu'à la courbe, lis l'abscisse en dessous.

⚠️ Attention à ne pas confondre le sens de lecture : on part de l'axe horizontal pour une image, de l'axe vertical pour un antécédent.

💡 À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Des courbes, il y en a partout dès qu'un nombre dépend du temps : la météo (température sur la semaine), la médecine (courbe de croissance, tracé du cœur), le sport (vitesse pendant une course), la finance (cours d'une action). Dans tous les cas, c'est la même logique : un nombre de départ (souvent le temps) donne une image qu'on lit directement sur la courbe.

La leçon — étape 4 sur 4
🛠 Tracer une droite : méthode des deux points

Pour f(x) = 2x + 1 :
① Calcule deux images : f(0) = 1, f(3) = 7
② Place les points A(0 ; 1) et B(3 ; 7)
③ Trace la droite (AB)
⭐ Bilan de la notion
• Pour les fonctions de ce chapitre (comme f(x) = 2x + 1), la courbe est une droite ; deux points suffisent pour la tracer. Tu verras bientôt pourquoi.
• axe des abscisses (x) et axe des ordonnées (f(x) ou y) — ne jamais les confondre.
• Le tableau ne donne que quelques valeurs ; la courbe permet d'en lire une infinité.
🎯 Essaie d'abord !
Pour f(x) = 3x − 1, par quel point la droite passe-t-elle quand x = 2 ?

📈 Reconnaître et utiliser les fonctions linéaires

La leçon — étape 1 sur 3
🛋 Rappel express : au marché, des pommes coûtent 2 € le kilo. C'est une situation de proportionnalité : le prix est obtenu en multipliant la masse par un coefficient.
🎯 Essaie d'abord !
Des pommes coûtent 2 € le kilo. Combien coûtent 4 kg ?
✅ 4 × 2 = 8 €. Si on note x la masse et f(x) le prix, alors f(x) = 2x : x kilos → 2x €. On vient de définir une fonction linéaire — la représentation graphique d'une situation de proportionnalité.
⭐ À savoir par cœur
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax (avec a ≠ 0). Le nombre a est le coefficient de proportionnalité.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine (0 ; 0).
La leçon — étape 2 sur 3
🔍 f est une fonction linéaire, mais on ne connaît pas son coefficient. On sait seulement que f(6) = 18.
🎯 Essaie d'abord !
Par quel nombre faut-il multiplier 6 pour obtenir 18 ? Autrement dit, quel est le coefficient a ?
✅ Comme dans un tableau de proportionnalité, le coefficient s'obtient par une division :
a = f(6) ÷ 6 = 18 ÷ 6 = 3, donc f(x) = 3x.

Un seul nombre de départ et son image suffisent pour trouver a, parce que la droite passe forcément par l'origine.
La leçon — étape 3 sur 3 — Type Brevet
📄 Problème type Brevet :
Moussa paie un abonnement de téléphone. Le prix (en €) est proportionnel au nombre de mois x.
Pour 3 mois, il paie 45 €. Quelle est la fonction qui modélise cette situation ?
Le prix est proportionnel aux mois, donc f(x) = ax.
f(3) = 45, donc a = 45 ÷ 3 = 15.
Réponse : f(x) = 15x.
Vérification : f(3) = 15 × 3 = 45 ✓
⭐ Bilan de la notion
• Fonction linéaire : f(x) = ax — droite passant par l'origine, a = coefficient de proportionnalité.
• Une situation de proportionnalité se traduit toujours par une fonction linéaire.
• Pour trouver a : a = f(x) ÷ x (un seul point suffit, car la droite passe par l'origine).
🎯 Essaie d'abord !
f est linéaire et f(5) = 20. Quel est le coefficient a ?

📈 Reconnaître et utiliser les fonctions affines

La leçon — étape 1 sur 4
🚗 Diego prend un taxi. Le trajet coûte 2 € par kilomètre, plus 5 € de prise en charge dès qu'il monte dans le taxi.
🎯 Essaie d'abord !
Combien Diego paie-t-il pour un trajet de 3 km ?
✅ 3 × 2 + 5 = 11 €. Pour x km, Diego paie 2x + 5 €. Contrairement à la fonction linéaire, il y a un + 5 qui reste même si x = 0 (la prise en charge). C'est une fonction affine : f(x) = ax + b.
⭐ À savoir par cœur
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b.
• a = coefficient directeur (la pente)
• b = ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe vertical) ; f(0) = b toujours.
• Si b = 0 : c'est une fonction linéaire. Si a = 0 : f(x) = b, une fonction constante (droite horizontale).
La leçon — étape 2 sur 4
📊 Pour un taxi, le prix monte quand les kilomètres augmentent. Mais toutes les droites ne montent pas : c'est le signe de a qui décide.
🎯 Essaie d'abord !
f(x) = −3x + 7. Cette fonction est-elle croissante ou décroissante ?
✅ a = −3 < 0, donc la droite descend : f est décroissante.
⭐ À savoir par cœur
Variation de f(x) = ax + b :
• a > 0 → fonction croissante (monte de gauche à droite)
• a < 0 → fonction décroissante
• a = 0 → fonction constante
La leçon — étape 3 sur 4 — Le vrai défi
🔍 Jusqu'ici, tu es parti de la formule pour tracer la droite. La vraie difficulté, c'est l'inverse : retrouver la formule f(x) = ax + b à partir de la courbe. C'est ce qu'on va apprendre maintenant — si tu maîtrises ça, tu seras bien avancé pour le lycée.

La droite passe par A(0 ; 1) et B(3 ; 7).

🎯 Étape 1 — Trouver a
De A à B, l'antécédent (x) augmente de 3, et l'image (y) augmente de 6. Quel est le coefficient a (l'accroissement de l'image divisé par l'accroissement de l'antécédent) ?
a = différence des imagesdifférence des antécédents = y₂ − y₁x₂ − x₁

a = (7 − 1) ÷ (3 − 0) = 6 ÷ 3 = 2.

🎯 Étape 2 — Trouver b
A a pour abscisse x = 0. Or f(0) = b toujours. Donc, en lisant l'ordonnée de A, combien vaut b ?
Méthode complète (quand aucun point n'a x = 0) :
1. Calcule a = (différence des images) ÷ (différence des antécédents).
2. Remplace a et UN point connu dans f(x) = ax + b, puis résous pour trouver b.
⭐ À savoir par cœur
Pour déterminer une fonction affine à partir de deux points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) :
• a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
• Remplace a et les coordonnées d'un point dans f(x) = ax + b pour trouver b.
La leçon — étape 4 sur 4 — Type Brevet
📄 Problème type Brevet (DNB) :
Zoé prend le train. Le billet coûte 0,15 € par km + 3 € de frais fixe.
Exprime le prix f(x) en fonction du nombre de km x.
Pour 200 km, combien paie-t-elle ?
f(x) = 0,15x + 3
f(200) = 0,15 × 200 + 3 = 30 + 3 = 33 €
Zoé paie 33 € pour 200 km.
⭐ Bilan de la notion
• Fonction affine : f(x) = ax + b ; a = pente, b = ordonnée à l'origine = f(0).
• a > 0 croissante, a < 0 décroissante, a = 0 constante.
• Déterminer f à partir de 2 points : a = (diff. images) ÷ (diff. antécédents), puis b par substitution.
🎯 Essaie d'abord !
f(x) = 2x + 1. Anya calcule f(0). Quelle est la valeur de b (ordonnée à l'origine) ?

🏆 Bilan du chapitre

Avant de passer à la pratique, voici ce que tu as vu dans ce chapitre :

⭐ L'essentiel à retenir
Une fonction associe à chaque nombre un seul nombre d'arrivée (image) ; on lit image et antécédent dans un tableau ou sur une courbe ; une fonction linéaire (f(x) = ax) est une droite par l'origine, une fonction affine (f(x) = ax + b) une droite quelconque — et savoir retrouver a et b à partir de deux points, c'est LE point clé pour le brevet.

🧭 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère
🧭 Trois exercices comme au Brevet :

Le premier, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu te débrouilles presque tout seul.

Lis l'énoncé deux fois, traduis en calcul, rédige en colonne, phrase de réponse.
Exercice 1 — Type Brevet
Léa prend un taxi. Le prix est f(x) = 2x + 4 (x = km, f(x) = €).

1. Calcule f(5) et explique ce que représente ce résultat.
2. Léa paie 18 €. Combien de km a-t-elle parcourus ?
3. Quel est le coût fixe (prise en charge) ? Quelle est la pente ?
💡 Lis l'énoncé deux fois. Qu'est-ce qu'on te demande exactement ?

Entraînement

✏️ Brouillon — pose tes calculs ligne par ligne (facultatif)

✍️ Je rédige seul

Exercice — Sur la feuille numérique
Brevet blanc — Fonctions

1. f(x) = 3x − 2. Calcule f(5) en rédigeant chaque étape en colonne.
2. Même fonction. Quel est l'antécédent de 10 ? Montre ton calcul.
3. Moussa et Imane louent chacun un vélo. Prix en € pour x km — Moussa : p(x) = 5x. Imane : q(x) = 3x + 8.
Pour combien de km leurs prix sont-ils égaux ? Justifie avec un calcul.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

Une remarque à faire ?
🐛Bug
💡Idée
❓Question
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