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Espaces et solides
3ème
Sphère, cylindre, cône, pyramide — calculer leurs volumes et leurs aires, couper un solide en section, l'agrandir ou le réduire.
La leçon — étape 1 sur 4
🏟 Lena range les provisions de la colo : boîtes de conserve cylindriques, ballon de foot sphérique, entonnoir en forme de cône, boîte pyramidale de chocolats. Chaque emballage a une forme géométrique précise.
Tu connais déjà le pavé droit, les prismes droits, le cylindre, le cône et les pyramides. Il est temps de rencontrer la sphère — ou la boule, selon les situations :
Sphère / Boule
Cylindre
Cône
Pyramide
🎯 Essaie d'abord !
Dans quel cas parle-t-on de la sphère, et dans quel cas de la boule ? Le ballon de foot de Lena est plein d'air à l'intérieur. Si on ne s'intéresse qu'à l'enveloppe de cuir (sans l'air dedans), de quoi parle-t-on à ton avis ?
⭐ À savoir par cœur
Sphère : la surface arrondie, tous ses points à égale distance du centre (rayon r) — comme le cercle vu en 6e, mais en trois dimensions.
Boule : le solide plein délimité par la sphère (la sphère + tout l'intérieur) — comme le disque par rapport au cercle.
Cylindre : deux disques parallèles reliés par une surface latérale.
Cône : un disque (base) et un sommet reliés par une surface latérale.
Pyramide : une base polygonale et un sommet — les faces latérales sont des triangles. Un solide dont toutes les faces sont planes (comme la pyramide ou le pavé droit) s'appelle un polyèdre ; le cylindre, le cône et la boule ont une surface courbe, ce ne sont pas des polyèdres.
Sphère : la surface arrondie, tous ses points à égale distance du centre (rayon r) — comme le cercle vu en 6e, mais en trois dimensions.
Boule : le solide plein délimité par la sphère (la sphère + tout l'intérieur) — comme le disque par rapport au cercle.
Cylindre : deux disques parallèles reliés par une surface latérale.
Cône : un disque (base) et un sommet reliés par une surface latérale.
Pyramide : une base polygonale et un sommet — les faces latérales sont des triangles. Un solide dont toutes les faces sont planes (comme la pyramide ou le pavé droit) s'appelle un polyèdre ; le cylindre, le cône et la boule ont une surface courbe, ce ne sont pas des polyèdres.
La leçon — étape 2 sur 4
🔍 Sections planes : si on coupe un solide avec un plan, on obtient une section. La forme dépend du solide et de l'angle de coupe.
Coupe perpendiculaire → disque
Coupe par le centre → grand cercle
💡 Règle des sections :
• Cylindre coupé perpendiculairement à son axe → disque
• Cylindre coupé en biais → ellipse
• Boule coupée par un plan → disque (et la sphère, sa surface, donne un cercle) ; le plus grand passe par le centre
• Cylindre coupé perpendiculairement à son axe → disque
• Cylindre coupé en biais → ellipse
• Boule coupée par un plan → disque (et la sphère, sa surface, donne un cercle) ; le plus grand passe par le centre
La leçon — étape 3 sur 4
👆 Fais glisser chaque curseur : le plan de coupe se déplace, regarde ce qui change dans la section — et ce qui ne change pas.
Pavé coupé parallèlement à une face
Devant
Derrière
La section reste un rectangle de mêmes dimensions, où que tu coupes.
Cylindre coupé perpendiculairement à l'axe
En haut
En bas
La section reste un disque de même rayon, où que tu coupes le long de l'axe.
Boule coupée par un plan
Haut
Bas
Rayon de la boule R = 6 cm. Distance au centre d = 0 cm — rayon de la section r = 6 cm.
✅ Bilan : pour le pavé et le cylindre, la section garde toujours la même forme et la même taille, seule sa position change. Pour la boule, la section reste un disque mais sa taille change : elle grandit jusqu'au centre, puis rétrécit à nouveau — et R² = d² + r².
La leçon — étape 4 sur 4
📜 Les patrons : déplier un solide donne son patron — une figure plane qu'on peut découper et replier pour retrouver le solide.
Diego doit emballer un tube de bonbons (cylindre). Il lui faut savoir quelle forme découper dans une feuille.
Diego doit emballer un tube de bonbons (cylindre). Il lui faut savoir quelle forme découper dans une feuille.
⭐ À savoir par cœur
Patron du cylindre : 2 disques de rayon r + 1 rectangle de dimensions 2πr × h.
Patron du cône : 1 disque (base) + 1 secteur de cercle (surface latérale).
Patron du cylindre : 2 disques de rayon r + 1 rectangle de dimensions 2πr × h.
Patron du cône : 1 disque (base) + 1 secteur de cercle (surface latérale).
🃴 Le savais-tu ? Archimède et la sphère ▶
Il y a 2 300 ans, Archimède découvrit que le volume d'une boule est exactement les deux tiers du volume du cylindre qui la contient. Il était si fier de cette découverte qu'il demanda que l'on grave une sphère inscrite dans un cylindre sur sa tombe.
C'est l'une des plus belles relations de la géométrie solide, et elle est encore valable aujourd'hui.
C'est l'une des plus belles relations de la géométrie solide, et elle est encore valable aujourd'hui.
La découverte d'Archimède : V_boule = (23) × V_cylindre.
🎯 Essaie d'abord !
Kenji coupe une boule de pâte à modeler avec un couteau. Quelle est la forme de la section ?
La leçon — étape 1 sur 3
🔄 Petit rappel avant de commencer : la formule du volume de la boule utilise l'aire d'un disque. Te souviens-tu de sa formule ?
🎯 Rappel express
Quelle est l'aire d'un disque de rayon r ?
⚽ Un ballon de foot, c'est une sphère creuse.
Anya veut savoir combien d'air il contient (volume) et quelle surface de cuir il faut pour le fabriquer (aire).
Le rayon du ballon officiel est r = 11 cm.
Anya veut savoir combien d'air il contient (volume) et quelle surface de cuir il faut pour le fabriquer (aire).
Le rayon du ballon officiel est r = 11 cm.
📊 Une vraie expérience de classe : on remplit d'eau un cône de rayon R et de hauteur 2R (même rayon que la boule, et une hauteur égale à son diamètre). On verse ensuite ce cône plein dans une boule creuse de même rayon R.
🎯 Essaie d'abord !
D'après toi, combien de fois faut-il vider entièrement ce cône d'eau pour remplir complètement la boule ?
💡 On en déduit la formule : Vboule = 2 × Vcône = 2 × 13 × πR² × (2R) = 43 × π × R³.
⭐ À savoir par cœur
Volume de la boule de rayon r :
V = 43 × π × r³
Aire de la sphère de rayon r :
A = 4 × π × r²
Volume de la boule de rayon r :
V = 43 × π × r³
Aire de la sphère de rayon r :
A = 4 × π × r²
💬 En clair : le volume utilise r au cube (r³). L'aire utilise r au carré (r²). Ne pas confondre les deux.
La leçon — étape 2 sur 3
📈 Calculer le volume du ballon (r = 11 cm) :
V = 43 × π × r³
donc V = 43 × π × 11³
donc V = 43 × π × 1 331
donc V ≈ 5 575,3 cm³
🖉 La calculatrice est indispensable : on ne calcule pas π × r³ de tête.
💡 Unités :
• Si r est en cm, V est en cm³, A est en cm².
• Toujours écrire l'unité dans la réponse.
• Si r est en cm, V est en cm³, A est en cm².
• Toujours écrire l'unité dans la réponse.
La leçon — étape 3 sur 3
⚡ Piège fréquent : confondre diamètre et rayon.
Si on te donne le diamètre d = 22 cm, alors r = d ÷ 2 = 11 cm.
Divise toujours le diamètre par 2 avant de calculer.
Si on te donne le diamètre d = 22 cm, alors r = d ÷ 2 = 11 cm.
Divise toujours le diamètre par 2 avant de calculer.
⚠️ Oublier de diviser par 2, c'est multiplier le volume final par 8 ! L'erreur la plus classique du brevet.
🎯 Essaie d'abord !
La leçon — étape 1 sur 3
🍲 Imane remplit des verres cylindriques pour l'anniversaire de sa petite sœur.
Chaque verre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.
Chaque verre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.
⭐ À savoir par cœur
Volume du cylindre :
V = π × r² × h
Aire latérale du cylindre (rectangle déroulé) :
Aₗₐₜ = 2 × π × r × h
Aire totale (avec les deux disques) :
Aₜₒₜ = 2 × π × r × h + 2 × π × r²
Volume du cylindre :
V = π × r² × h
Aire latérale du cylindre (rectangle déroulé) :
Aₗₐₜ = 2 × π × r × h
Aire totale (avec les deux disques) :
Aₜₒₜ = 2 × π × r × h + 2 × π × r²
La leçon — étape 2 sur 3
🍦 Le cône — exemple : un cône de glace
Moussa commande un cône de glace. Le cône a r = 3 cm et h = 12 cm.
Moussa commande un cône de glace. Le cône a r = 3 cm et h = 12 cm.
🎯 Essaie d'abord !
Imagine un cylindre plein rempli d'eau. On verse cette eau dans un cône vide de MÊME rayon et de MÊME hauteur. D'après toi, combien de cônes peut-on remplir avec l'eau d'un seul cylindre ?
⭐ À savoir par cœur
Volume du cône :
V = 13 × π × r² × h
Le volume du cône est le tiers du volume du cylindre de mêmes dimensions — comme la pyramide est le tiers du prisme. C'est la même division par 3 pour toutes les figures « à pointe ».
Volume du cône :
V = 13 × π × r² × h
Le volume du cône est le tiers du volume du cylindre de mêmes dimensions — comme la pyramide est le tiers du prisme. C'est la même division par 3 pour toutes les figures « à pointe ».
V = 13 × π × r² × h
donc V = 13 × π × 3² × 12
donc V = 13 × π × 9 × 12
donc V = 36π ≈ 113,1 cm³
La leçon — étape 3 sur 3
⚡ Résumé comparatif :
V cylindre = πr²h
V cône = 13 πr²h
Même base, même hauteur : le cône occupe le tiers du cylindre. C'est une propriété remarquable !
💬 En clair : pour V du cylindre, c'est l'aire du disque (πr²) fois la hauteur. Pour le cône, pareil mais divisé par 3.
🎯 Essaie d'abord !
La leçon — étape 1 sur 2
🏭 La pyramide de Gizeh (Égypte) a une base carrée de côté 230 m et une hauteur d'environ 146 m. Quel est son volume de pierre ?
🎯 Essaie d'abord !
Un prisme droit et une pyramide ont exactement la même base et la même hauteur. D'après ce que tu as vu avec le cylindre et le cône, quelle fraction du prisme représente le volume de la pyramide ?
⭐ À savoir par cœur
Volume d'une pyramide :
V = 13 × Aire de la base × h
Pour une pyramide à base carrée de côté a :
V = 13 × a² × h
Volume d'une pyramide :
V = 13 × Aire de la base × h
Pour une pyramide à base carrée de côté a :
V = 13 × a² × h
💬 En clair : le volume d'une pyramide est toujours le tiers du prisme de même base et même hauteur. Formule identique pour le cône (base = disque).
La leçon — étape 2 sur 2
📈 Calcul du volume de la pyramide de Gizeh :
V = 13 × a² × h
donc V = 13 × 230² × 146
donc V = 13 × 52 900 × 146
donc V ≈ 2 574 467 m³
Soit environ 2,57 millions de m³ de pierre. La calculatrice est indispensable.
🎯 Essaie d'abord !
La leçon — étape 1 sur 3
🍰 Kenji coupe un gâteau en forme de pavé, bien droit, avec un couteau parallèle à l'une des faces du dessus.
🎯 Essaie d'abord !
Quelle est la forme de la tranche qu'il obtient ?
⭐ À savoir par cœur
Couper un pavé droit (ou un cube) par un plan parallèle à une face donne une section de même forme que cette face (un rectangle, ou un carré pour le cube).
Tu as déjà vu pour le cylindre : coupe perpendiculaire à l'axe → disque ; coupe passant par l'axe → rectangle.
Couper un pavé droit (ou un cube) par un plan parallèle à une face donne une section de même forme que cette face (un rectangle, ou un carré pour le cube).
Tu as déjà vu pour le cylindre : coupe perpendiculaire à l'axe → disque ; coupe passant par l'axe → rectangle.
La leçon — étape 2 sur 3
🍳 Et si on coupe une boule ? Imagine une orange que l'on coupe bien droit, n'importe où, avec un couteau.
🎯 Essaie d'abord !
On coupe l'orange une première fois près du centre, puis une deuxième fois plus loin du centre. Que peut-on dire des deux sections obtenues ?
⭐ À savoir par cœur
La section d'une sphère de centre O et de rayon R, par un plan, est un cercle.
Si d est la distance du centre O au plan de coupe, et r le rayon du cercle obtenu (le triangle OAM est rectangle en A) :
R² = d² + r²
La section d'une sphère de centre O et de rayon R, par un plan, est un cercle.
Si d est la distance du centre O au plan de coupe, et r le rayon du cercle obtenu (le triangle OAM est rectangle en A) :
R² = d² + r²
Sphère de rayon R = 7,4 cm, plan à d = 2,4 cm du centre. Rayon r du cercle de coupe ?
R² = d² + r²
donc 7,4² = 2,4² + r²
donc r² = 54,76 − 5,76 = 49
donc r = √49 = 7 cm
Plus la coupe s'éloigne du centre (d grand), plus le cercle obtenu est petit. Si d = R, le plan ne fait plus que « toucher » la sphère en un seul point.
La leçon — étape 3 sur 3
🏠 Et pour un cône ou une pyramide ? Si on les coupe par un plan parallèle à leur base, on obtient une base plus petite, mais de la même forme que l'originale — un mini-cône, ou une mini-pyramide.
💡 On appelle ça une réduction : une figure plus petite mais de même forme. C'est exactement la notion qu'on approfondit juste après avec la boule.
🎯 Essaie d'abord !
La leçon — étape 1 sur 2
⚽ On peut agrandir ou réduire une boule en gardant sa forme — c'est ce qu'on appelle un agrandissement (ou une réduction) de rapport k.
🎯 Essaie d'abord !
On double le rayon d'une boule (le rapport est k = 2). D'après toi, par combien son volume est-il multiplié ?
⭐ À savoir par cœur
Le coefficient k est le rapport entre la nouvelle longueur et la longueur de départ (k = nouvelle longueur ÷ longueur d'origine). Si k > 1, c'est un agrandissement ; si k < 1, c'est une réduction.
Pour une boule de rayon r agrandie (ou réduite) avec un coefficient k :
• le nouveau rayon vaut k × r ;
• l'aire de la sphère est multipliée par k² ;
• le volume de la boule est multiplié par k³.
Le coefficient k est le rapport entre la nouvelle longueur et la longueur de départ (k = nouvelle longueur ÷ longueur d'origine). Si k > 1, c'est un agrandissement ; si k < 1, c'est une réduction.
Pour une boule de rayon r agrandie (ou réduite) avec un coefficient k :
• le nouveau rayon vaut k × r ;
• l'aire de la sphère est multipliée par k² ;
• le volume de la boule est multiplié par k³.
Boule de rayon 3 cm (V = 36π cm³), agrandie avec k = 2. Nouveau volume ?
nouveau rayon = k × r = 2 × 3 = 6 cm
nouveau volume = k³ × V = 2³ × 36π
donc nouveau volume = 8 × 36π = 288π ≈ 904,8 cm³
La leçon — étape 2 sur 2
🌕 Un astronome découvre deux planètes, Magnus et Minus, chacune assimilée à une sphère. Le rayon de Magnus est 2 832 km. Le volume de Minus vaut exactement 18 du volume de Magnus.
🎯 Essaie d'abord !
Si le volume de Minus vaut 18 de celui de Magnus, quel est le coefficient k qui permet de passer du rayon de Magnus au rayon de Minus ?
Volume de Minus = 18 × Volume de Magnus, donc k³ = 18
donc k = 12 (car (12)³ = 18)
rayon de Minus = k × rayon de Magnus = 12 × 2 832
donc rayon de Minus = 1 416 km
⚠️ Piège classique du brevet : ne jamais confondre le coefficient sur les longueurs (k) avec son effet sur les volumes (k³) !
🎯 Essaie d'abord !
Une boule de rayon 4 cm est réduite avec un coefficient k = 0,5. Quel est le rayon de la boule réduite ?
Avant de passer à la pratique, voici ce que tu as vu dans ce chapitre :
⭐ L'essentiel à retenir
Sphère = surface, boule = solide plein : V = (43)×π×r³, A = 4×π×r².
Cylindre : V = πr²h. Cône et pyramide : le tiers du cylindre/prisme de mêmes dimensions.
Section d'une sphère : toujours un cercle, avec R² = d² + r².
Agrandissement/réduction (coefficient k) d'une boule : les longueurs ×k, l'aire ×k², le volume ×k³.
Sphère = surface, boule = solide plein : V = (43)×π×r³, A = 4×π×r².
Cylindre : V = πr²h. Cône et pyramide : le tiers du cylindre/prisme de mêmes dimensions.
Section d'une sphère : toujours un cercle, avec R² = d² + r².
Agrandissement/réduction (coefficient k) d'une boule : les longueurs ×k, l'aire ×k², le volume ×k³.
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te donne ses tuyaux avant le brevet :
Un problème de solide, ça se résout en 4 étapes : identifier le solide, noter les mesures, choisir la bonne formule, calculer proprement avec les unités.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, juste un coup de pouce. Le troisième, tu gères seul. Comme au brevet !
Un problème de solide, ça se résout en 4 étapes : identifier le solide, noter les mesures, choisir la bonne formule, calculer proprement avec les unités.
Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, juste un coup de pouce. Le troisième, tu gères seul. Comme au brevet !
Exercice 1
Fatou a une balle de tennis de rayon 7 cm.
1. Calculer le volume de la balle (laisser π dans la réponse exacte, puis donner une valeur approchée).
2. Calculer l'aire de la surface de la balle.
3. Rédiger les réponses avec l'unité.
1. Calculer le volume de la balle (laisser π dans la réponse exacte, puis donner une valeur approchée).
2. Calculer l'aire de la surface de la balle.
3. Rédiger les réponses avec l'unité.
💡 Commence par identifier : c'est une boule. Quelles sont les deux formules à utiliser ?
✏️ Brouillon (facultatif)
Exercice — Sur la feuille numérique
Un phare est modélisé par un cylindre (r = 6 m, h₁ = 8 m) surmonté d'un cône (r = 6 m, h₂ = 10 m).
1. Calculer le volume total du phare.
2. On repeint la partie cylindrique du phare (sa surface latérale seulement, sans les disques). Calculer l'aire à repeindre.
3. Rédiger les calculs en colonne, avec unités.
1. Calculer le volume total du phare.
2. On repeint la partie cylindrique du phare (sa surface latérale seulement, sans les disques). Calculer l'aire à repeindre.
3. Rédiger les calculs en colonne, avec unités.
📸 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.