⚖️
Équations et
inéquations
3ème
Tester, résoudre une équation ou une inéquation, mettre un problème en équation et rédiger une démarche complète.
Vrai ou faux ?
Une égalité, c’est une écriture avec un signe « = ». Mais une égalité peut très bien être fausse ! Clique pour dire si chacune est vraie ou fausse.
3 + 5 = 9
53 = 89
53 = 159
Retiens : la vérité d’une égalité ne dépend jamais de son apparence, mais du calcul.
La leçon
Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, souvent noté x.
Tester une valeur, c’est remplacer x dans les deux membres et effectuer les deux calculs. Si on obtient le même résultat, c’est une solution.
⭐ À savoir par cœur
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
Exemple : pour 3x − 1 = 8 et x = 3 :
3 × 3 − 1 = 8
donc 8 = 8.
La valeur 3 est une solution.
3 × 3 − 1 = 8
donc 8 = 8.
La valeur 3 est une solution.
📌 Petit bilan : tester une solution, c’est remplacer x par la valeur proposée dans les deux membres, puis comparer les deux résultats obtenus.
La leçon
Une balance reste en équilibre si on effectue la même opération dans les deux membres.
On regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre, puis on divise.
⭐ À savoir par cœur
Pour conserver une égalité, on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser ses deux membres par un même nombre non nul.
Pour conserver une égalité, on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser ses deux membres par un même nombre non nul.
Exemple :
3x − 1 = 8
donc 3x = 9
donc x = 93
donc x = 3.
3x − 1 = 8
donc 3x = 9
donc x = 93
donc x = 3.
En clair : ce qui passe de l’autre côté du « = » change d’opération (+ devient −, × devient ÷). Ce raccourci traduit toujours une même opération effectuée des deux côtés.
📌 Petit bilan : résoudre une équation, c’est appliquer la même opération aux deux membres jusqu’à isoler x, puis vérifier la solution trouvée.
La leçon
Mettre un problème en équation, c’est traduire l’énoncé avec une inconnue.
On choisit d’abord ce que représente x. L’équation se construit ensuite à partir des relations de l’énoncé.
⭐ À savoir par cœur
1. Poser x et préciser ce qu’il représente.
2. Traduire l’énoncé par une équation.
3. Résoudre l’équation.
4. Vérifier et conclure par une phrase.
1. Poser x et préciser ce qu’il représente.
2. Traduire l’énoncé par une équation.
3. Résoudre l’équation.
4. Vérifier et conclure par une phrase.
Exemple : « je multiplie un nombre par 3 puis j’ajoute 4, j’obtiens 19 » se traduit par 3x + 4 = 19.
📌 Petit bilan : mettre un problème en équation, c’est poser x, traduire l’énoncé, résoudre, puis conclure par une phrase qui répond à la question posée.
La leçon
Un produit peut être nul sans que tous ses facteurs soient nuls.
⭐ À savoir par cœur
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
Donc (x − a)(x − b) = 0 lorsque x − a = 0 ou x − b = 0.
Exemple : (x − 3)(x + 2) = 0
donc x − 3 = 0 ou x + 2 = 0
donc x = 3 ou x = −2.
donc x − 3 = 0 ou x + 2 = 0
donc x = 3 ou x = −2.
À toi : (x − 3)(x + 2) = 0
Clique sur chaque facteur pour l’annuler et trouver sa solution.
📌 Petit bilan : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul — ce qui peut donner plusieurs solutions.
La leçon
Le carré d’un nombre et celui de son opposé sont égaux : 7² = (−7)² = 49.
⭐ À savoir par cœur
Si a > 0, l’équation x² = a a deux solutions : √a et −√a.
Si a = 0, elle a une solution : 0.
Si a < 0, elle n’a aucune solution réelle.
Si a > 0, l’équation x² = a a deux solutions : √a et −√a.
Si a = 0, elle a une solution : 0.
Si a < 0, elle n’a aucune solution réelle.
Exemple : x² = 49
donc x = √49 ou x = −√49
donc x = 7 ou x = −7.
donc x = √49 ou x = −√49
donc x = 7 ou x = −7.
En clair : un carré n’est jamais négatif.
À toi : x² = 36
Et x² = −9 ?
📌 Petit bilan : x² = a a deux solutions si a > 0, une seule si a = 0, aucune si a < 0 (un carré n’est jamais négatif).
Vrai ou faux ?
8 < 9 : vrai ou faux ?
Et maintenant : 8x − 2 < 9 ?
La leçon
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue : elle peut devenir vraie ou fausse selon la valeur choisie — exactement comme une équation.
On résout une inéquation avec les mêmes transformations qu’une équation (ajouter, soustraire, multiplier, diviser des deux côtés). La solution n’est pas UN nombre, mais TOUS les nombres qui rendent l’inégalité vraie.
⭐ À savoir par cœur
Résoudre une inéquation, c’est isoler x comme pour une équation. La solution est un ensemble de nombres, qu’on représente sur une droite graduée.
Résoudre une inéquation, c’est isoler x comme pour une équation. La solution est un ensemble de nombres, qu’on représente sur une droite graduée.
Exemple :
8x − 2 < 9
donc 8x < 11
donc x < 118
donc x < 1,375.
Tous les nombres plus petits que 1,375 sont solutions.
8x − 2 < 9
donc 8x < 11
donc x < 118
donc x < 1,375.
Tous les nombres plus petits que 1,375 sont solutions.
À toi : 3x + 2 < 11
Étape 1 — Neutralise le « + 2 » des deux côtés.
3x <
📌 Petit bilan : résoudre une inéquation, c’est appliquer les mêmes transformations qu’une équation pour isoler x. La solution est un ensemble de nombres (pas une seule valeur), représentable sur une droite graduée.
Cherchons l’erreur
Résous −2x < 8 comme une équation : divise les deux membres par −2.
x <
📌 Petit bilan : diviser ou multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens. C’est le seul cas où une inéquation se traite différemment d’une équation.
Le conseil du grand frère
🧭 Ton grand frère te file sa méthode avant le contrôle :
Une équation se résout en gardant l’égalité équilibrée. Écris une transformation par ligne, puis vérifie la valeur trouvée.
Une équation se résout en gardant l’égalité équilibrée. Écris une transformation par ligne, puis vérifie la valeur trouvée.
⭐ À savoir par cœur
Canevas officiel :
1. Poser l’inconnue si l’équation vient d’un problème.
2. Écrire l’équation.
3. Effectuer la même opération dans les deux membres, une transformation par ligne.
4. Donner la solution.
5. Vérifier dans l’équation de départ et conclure.
Canevas officiel :
1. Poser l’inconnue si l’équation vient d’un problème.
2. Écrire l’équation.
3. Effectuer la même opération dans les deux membres, une transformation par ligne.
4. Donner la solution.
5. Vérifier dans l’équation de départ et conclure.
Exercice 1 — très guidé
Résoudre 4x − 7 = 21, puis vérifier la solution.
💡 Commence par neutraliser « − 7 » en ajoutant 7 dans les deux membres.
Exercice numérique autonome
Fatou choisit un nombre. Elle le multiplie par 3, puis retire 8. Elle obtient le double du nombre de départ augmenté de 5.
Déterminer ce nombre. Poser l’inconnue, construire l’équation, la résoudre, vérifier et conclure.
Déterminer ce nombre. Poser l’inconnue, construire l’équation, la résoudre, vérifier et conclure.
📸 Refaire ensuite l’exercice sur une vraie feuille et, si tu le souhaites, montrer la copie.
Fiche à recopier ou imprimer
Je sais :
• tester une solution ;
• résoudre une équation du premier degré, avec parenthèses ou x dans les deux membres ;
• mettre un problème en équation ;
• résoudre une équation produit nul ;
• résoudre x² = a ;
• résoudre une inéquation, y compris avec un coefficient négatif.
• tester une solution ;
• résoudre une équation du premier degré, avec parenthèses ou x dans les deux membres ;
• mettre un problème en équation ;
• résoudre une équation produit nul ;
• résoudre x² = a ;
• résoudre une inéquation, y compris avec un coefficient négatif.
⭐ L’essentiel
Une transformation conserve l’égalité lorsqu’on effectue la même opération dans les deux membres.
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
Une inéquation se résout comme une équation, sauf quand on multiplie ou divise par un nombre négatif : le sens change alors.
La rédaction se termine par une vérification et une phrase de conclusion.
Une transformation conserve l’égalité lorsqu’on effectue la même opération dans les deux membres.
Un produit est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.
Une inéquation se résout comme une équation, sauf quand on multiplie ou divise par un nombre négatif : le sens change alors.
La rédaction se termine par une vérification et une phrase de conclusion.
Bilan des compétences : chercher les informations utiles, modéliser par une équation, raisonner par transformations successives, calculer et communiquer une conclusion complète.
✏️ Zone de calcul intermédiaire (brouillon)
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.