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Ensembles de nombres — 2nde
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — intervalles — valeur absolue. Les notations essentielles pour la seconde !
La leçon — étape 1 sur 3
Il existe 4 grands ensembles de nombres, du plus petit au plus grand :
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} — les entiers naturels (positifs ou nuls)
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} — les entiers relatifs (positifs et négatifs)
ℚ = fractions ab (a et b entiers, b ≠ 0) — les rationnels
ℝ = tous les réels (y compris √2, π) — les réels
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …} — les entiers naturels (positifs ou nuls)
ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} — les entiers relatifs (positifs et négatifs)
ℚ = fractions ab (a et b entiers, b ≠ 0) — les rationnels
ℝ = tous les réels (y compris √2, π) — les réels
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble est inclus dans le suivant !
La leçon — étape 2 sur 3
Un nombre dans ℕ est aussi dans ℤ, ℚ et ℝ !
Exemple avec 3 :
Exemple avec 3 :
3 ∈ ℕ
3 ∈ ℤ
3 ∈ ℚ
3 ∈ ℝ
En revanche, −5 :
−5 ∉ ℕ (pas dans les naturels)
−5 ∈ ℤ (entier relatif ✓)
−5 ∈ ℚ (−51 est une fraction ✓)
−5 ∈ ℝ (tout entier est réel ✓)
−5 ∉ ℕ (pas dans les naturels)
−5 ∈ ℤ (entier relatif ✓)
−5 ∈ ℚ (−51 est une fraction ✓)
−5 ∈ ℝ (tout entier est réel ✓)
La leçon — étape 3 sur 3
Les irrationnels sont dans ℝ mais pas dans ℚ !
√2 ≈ 1,4142… (ne s'écrit pas comme fraction ab) → √2 ∈ ℝ, √2 ∉ ℚ
π ≈ 3,1415… → π ∈ ℝ, π ∉ ℚ
√2 ≈ 1,4142… (ne s'écrit pas comme fraction ab) → √2 ∈ ℝ, √2 ∉ ℚ
π ≈ 3,1415… → π ∈ ℝ, π ∉ ℚ
| Nombre | ℕ | ℤ | ℚ | ℝ |
|---|---|---|---|---|
| 5 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| −3 | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 12 | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
| √2 | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ |
La leçon — étape 1 sur 2
∈ se lit « appartient à » | ∉ se lit « n'appartient pas à »
Exemples :
−3 ∈ ℤ (−3 est un entier relatif ✓)
−3 ∉ ℕ (−3 est négatif, pas dans ℕ ✗)
12 ∈ ℚ (c'est une fraction ✓)
12 ∉ ℤ (pas un entier ✗)
√2 ∈ ℝ (c'est un réel ✓)
√2 ∉ ℚ (irrationnel ✗)
Exemples :
−3 ∈ ℤ (−3 est un entier relatif ✓)
−3 ∉ ℕ (−3 est négatif, pas dans ℕ ✗)
12 ∈ ℚ (c'est une fraction ✓)
12 ∉ ℤ (pas un entier ✗)
√2 ∈ ℝ (c'est un réel ✓)
√2 ∉ ℚ (irrationnel ✗)
La leçon — étape 2 sur 2
🗺️ Méthode pour classer un nombre :
- Est-ce un entier ≥ 0 ? → Il est dans ℕ (et aussi ℤ, ℚ, ℝ)
- Est-ce un entier négatif ? → Il est dans ℤ\ℕ (et aussi ℚ, ℝ)
- Est-ce une fraction ab (non entier) ? → Il est dans ℚ\ℤ (et aussi ℝ)
- Est-ce √2, π, etc. ? → Il est dans ℝ\ℚ seulement
La leçon — étape 1 sur 3
Un intervalle est un ensemble de réels entre deux bornes.
[a ; b] : a inclus, b inclus → a ≤ x ≤ b
]a ; b[ : a exclu, b exclu → a < x < b
[a ; b[ : a inclus, b exclu → a ≤ x < b
]a ; b] : a exclu, b inclus → a < x ≤ b
[a ; b] : a inclus, b inclus → a ≤ x ≤ b
]a ; b[ : a exclu, b exclu → a < x < b
[a ; b[ : a inclus, b exclu → a ≤ x < b
]a ; b] : a exclu, b inclus → a < x ≤ b
Crochet fermé [ ] = borne incluse (point plein) · Crochet ouvert ] [ = borne exclue (cercle vide)
La leçon — étape 2 sur 3
Les intervalles peuvent être infinis :
]−∞ ; a] : tous les réels ≤ a (−∞ est toujours exclu !)
[a ; +∞[ : tous les réels ≥ a
]−∞ ; +∞[ = ℝ : tous les réels
]−∞ ; a] : tous les réels ≤ a (−∞ est toujours exclu !)
[a ; +∞[ : tous les réels ≥ a
]−∞ ; +∞[ = ℝ : tous les réels
x ≤ 3 → x ∈ ]−∞ ; 3]
x > −2 → x ∈ ]−2 ; +∞[
⚠️ On écrit toujours ]−∞ et +∞[ avec des crochets ouverts — jamais [−∞ ou +∞]
La leçon — étape 3 sur 3
🎯 Traduction intervalle ↔ inégalités :
| Intervalle | Inégalité |
|---|---|
| [−3 ; 5] | −3 ≤ x ≤ 5 |
| ]2 ; 7[ | 2 < x < 7 |
| [0 ; +∞[ | x ≥ 0 |
| ]−∞ ; −1[ | x < −1 |
La leçon — étape 1 sur 2
|x| = la distance de x à 0 sur la droite numérique.
|x| = x si x ≥ 0 (ex : |3| = 3)
|x| = −x si x < 0 (ex : |−4| = −(−4) = 4)
|x| ≥ 0 toujours !
|x| = x si x ≥ 0 (ex : |3| = 3)
|x| = −x si x < 0 (ex : |−4| = −(−4) = 4)
|x| ≥ 0 toujours !
|7| = 7
|−7| = 7
|0| = 0
La leçon — étape 2 sur 2
🎯 Résoudre |x| = k :
Si k > 0 : |x| = k → x = k ou x = −k (deux solutions)
Si k = 0 : |x| = 0 → x = 0 (une solution)
Si k < 0 : |x| = −1 → pas de solution (|x| ≥ 0 toujours)
Si k > 0 : |x| = k → x = k ou x = −k (deux solutions)
Si k = 0 : |x| = 0 → x = 0 (une solution)
Si k < 0 : |x| = −1 → pas de solution (|x| ≥ 0 toujours)
|x| = 5 → x = 5 ou x = −5
|x| = 0 → x = 0
La leçon — étape 1 sur 2
E ⊂ F se lit « E est inclus dans F ».
Cela signifie : tout élément de E est aussi dans F.
Exemple : ℕ ⊂ ℤ car tout entier naturel (0, 1, 2…) est aussi un entier relatif.
Cela signifie : tout élément de E est aussi dans F.
Exemple : ℕ ⊂ ℤ car tout entier naturel (0, 1, 2…) est aussi un entier relatif.
ℕ ⊂ ℤ
ℤ ⊂ ℚ
ℚ ⊂ ℝ
La leçon — étape 2 sur 2
🚫 Contre-exemples d'inclusions fausses :
ℤ ⊄ ℕ car −1 ∈ ℤ mais −1 ∉ ℕ
ℚ ⊄ ℤ car 12 ∈ ℚ mais 12 ∉ ℤ
ℝ ⊄ ℚ car √2 ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ
ℤ ⊄ ℕ car −1 ∈ ℤ mais −1 ∉ ℕ
ℚ ⊄ ℤ car 12 ∈ ℚ mais 12 ∉ ℤ
ℝ ⊄ ℚ car √2 ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ
✅ À retenir : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ — dans ce sens seulement !
Sous-parcours
On reprend les ensembles de nombres, mais avec un langage précis : d'abord le français des algorithmes, puis Python. On lit, on prédit, on complète, on corrige, et on finit par écrire une fonction.
📌 Point de vigilance : un nombre décimal comme 6.0 ou −1.0 peut très bien être un entier — rien après la virgule. C'est ce que teste
x == int(x).Chargement de la console Python…
✏️ Brouillon — pose tes calculs ligne par ligne (facultatif)
Entraînement libre, sans note. Choisis une catégorie !
📸 Refaire ensuite cet exercice sur une vraie feuille et montrer ta copie (optionnel).