Divisibilité
Nombres premiers
5ème
Diviseurs, multiples, critères de divisibilité, nombres premiers, décomposition et simplification de fractions.
Tu viens de tester trois partages de 12 bonbons. Avec 2 amis et avec 3 amis, ça tombait juste (reste 0). Avec 5 amis, non (reste 2).
12 est divisible par 2 et par 3, mais pas par 5.
Il essaie avec 4 joueurs : 24 ÷ 4 = 6, reste 0. Ça marche !
Il essaie avec 5 joueurs : 24 ÷ 5 = 4, reste 4. Ça ne marche pas.
On peut dire cette chose de deux façons différentes :
• a est un diviseur de b
• b est un multiple de a
On peut aussi écrire : b = a × q
⚠️ Piège classique : « 4 est un multiple de 12 » → FAUX. C’est l’inverse : 12 est un multiple de 4. Le multiple est toujours le plus grand (ou égal).
Comment vérifier ? On calcule b ÷ a. Si le reste est 0 : oui, a divise b.
Trouver tous les diviseurs d’un nombre : les diviseurs vont par paires. Si 2 divise 18 et donne 9, on a trouvé 2 ET 9 d’un coup.
Tu as vu que tu peux décider sans poser de division, juste en regardant le dernier chiffre. C’est un critère de divisibilité.
Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.
Cette fois, Tom regarde 7 845 et affirme qu’il est divisible par 3, toujours sans poser la division. Son secret : il additionne les chiffres. 7 + 8 + 4 + 5 = 24. Et 24 est dans la table de 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
⚠️ Divisible par 9 → forcément divisible par 3. Mais divisible par 3 ≢ forcément divisible par 9.
🎯 En option — le critère par 4 ▶
Exemple : 7 316 → ses deux derniers chiffres forment 16, et 16 ÷ 4 = 4, reste 0 → 7 316 est divisible par 4.
Contre-exemple : 7 318 → 18 ÷ 4 = 4, reste 2 → pas divisible par 4.
| Diviseur | Règle | Exemple ✔ | Exemple ✖ |
|---|---|---|---|
| 2 | Dernier chiffre pair | 348 | 351 |
| 3 | Somme chiffres ÷ 3 | 312 (6) | 314 (8) |
| 4 (option) | 2 derniers chiffres ÷ 4 | 7 316 (16) | 7 318 (18) |
| 5 | Termine par 0 ou 5 | 125 | 123 |
| 9 | Somme chiffres ÷ 9 | 729 (18) | 726 (15) |
| 10 | Termine par 0 | 470 | 475 |
7 ne peut se ranger que d’une seule façon : il est comme un atome, impossible à découper autrement. 8, lui, se laisse découper en 2×4.
• 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur, lui-même)
• 2 est le seul nombre premier pair
Les 15 nombres premiers jusqu’à 50 :
51 = 3 × 17 • 57 = 3 × 19 • 77 = 7 × 11 • 91 = 7 × 13
Les 10 premiers nombres premiers à connaître :
⚠️ Piège : « ce nombre est impair, donc il est premier » → FAUX ! 9 est impair mais 9 = 3 × 3. Impair ≠ premier.
Pour un nombre isolé, on essaie de le diviser par les nombres premiers, dans l’ordre : 2, 3, 5, 7, 11…
Si aucun ne divise, le nombre est premier.
⚠️ Piège : tester seulement 2, 3 et 5 puis conclure trop vite. Il faut continuer tant que le carré du diviseur n’a pas dépassé le nombre.
À toi de jouer : divise 60, encore et encore, jusqu’à obtenir 1.
Tu viens de décomposer 60 tout seul, sans qu’on te donne la méthode. Voici comment on l’appelle et comment on la rédige.
1. Diviser par le plus petit nombre premier qui divise le nombre (on commence par 2)
2. Continuer avec le quotient
3. S’arrêter quand le quotient est 1
Vérification : 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 15 = 60 ✔
Cette décomposition est unique : quel que soit l’ordre choisi pour diviser, on retrouve toujours les mêmes nombres premiers (12 = 2 × 2 × 3, 30 = 2 × 3 × 5, 100 = 2 × 2 × 5 × 5).
⚠️ Piège 1 : s’arrêter trop tôt. « 60 = 4 × 15 » → 4 et 15 ne sont pas premiers !
⚠️ Piège 2 : oublier de vérifier en remultipliant.
⚠️ Piège 3 : si 2 divise encore, rester avec 2 (ne pas passer à 3 trop vite).
4860
À toi de jouer : trouve un diviseur commun, divise, et recommence tant qu’il en reste un.
Tu viens de simplifier 4860 tout seul, en trois passages. Voici la méthode.
Vérification : 18 ÷ 6 = 3 ✔ et 24 ÷ 6 = 4 ✔
Diviseur commun : 12 → 36 ÷ 12 = 3 et 24 ÷ 12 = 2 → 12 sachets (3 bonbons + 2 jouets chacun).
⚠️ Piège : s’arrêter trop tôt (diviser par 2 puis s’arrêter) alors qu’il reste encore un diviseur commun. Il faut continuer tant qu’il y en a un.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Pour simplifier une fraction : diviser par un diviseur commun, et recommencer tant qu’il en reste un.
• Divisible par 3 et par 5
• La somme de ses chiffres est égale à 6
• C’est un nombre impair
Quel est ce nombre ?
1. Retrouve le numérateur et le dénominateur.
2. Trouve un diviseur commun à ces deux nombres.
3. Simplifie la fraction au maximum.
4. Rédige la réponse avec des phrases.
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.