Combien de façons de choisir, de ranger, de former un code ? On apprend à reconnaître le bon modèle, puis à compter juste — sans tout écrire à la main.
🔎 Départ
12 jetons dans un sac
Voici 12 jetons, numérotés de 1 à 12. On en tire un au hasard.
Touche tous les jetons dont le numéro est pair — c'est l'ensemble A.
Un deuxième critère
Maintenant, sur les mêmes 12 jetons, touche tous ceux dont le numéro est un multiple de 3 — c'est l'ensemble B.
On cherche les jetons communs
Sur les mêmes 12 jetons, touche ceux qui sont À LA FOIS pairs ET multiples de 3 — regarde tes deux grilles précédentes si besoin.
C'est pour ça qu'on retire l'intersection : en additionnant Card(A)+Card(B), on compte deux fois ce qui est commun aux deux. Il faut l'enlever une fois pour retomber sur le vrai total.
🔵 Ensembles et cardinal
On nomme ce qu'on vient de voir
Tu viens de construire A (jetons pairs) et B (multiples de 3), et de repérer les jetons communs aux deux. On donne un nom à chaque idée.
Intersection de A et B, notée A∩B : l'ensemble des éléments qui sont dans A ET dans B en même temps (chez les jetons : 6 et 12).
Réunion de A et B, notée A∪B : l'ensemble des éléments qui sont dans A OU dans B (ou les deux) — chez les jetons : tous ceux comptés une seule fois, les 8.
Le cardinal d'un ensemble E, noté Card(E), c'est simplement son nombre d'éléments.
Deux ensembles qui ne se touchent pas
Parfois, deux ensembles n'ont AUCUN élément en commun : on dit qu'ils sont disjoints. Dans ce cas, A∩B est l'ensemble vide, noté ∅ (l'ensemble qui ne contient aucun élément).
🎯 Essaie d'abord !
A = les jours pairs du mois, B = les jours impairs du mois. A et B sont-ils disjoints ?
Si A et B sont disjoints, Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) directement — pas besoin de retirer quoi que ce soit, puisqu'il n'y a rien à retirer.
On formalise
À savoir par cœur
Si A et B sont disjoints (A∩B=∅) : Card(A∪B) = Card(A) + Card(B).
Si A et B sont quelconques : Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) − Card(A∩B).
Exactement ce que tu as trouvé avec les jetons : 6 + 4 − 2 = 8.
On applique avec d'autres nombres
Dans une classe, 18 élèves pratiquent le foot, 11 élèves pratiquent la natation, et 5 élèves pratiquent les deux.
⚠️ On retire l'intersection une seule fois — c'est juste pour corriger le double-comptage, pas pour l'enlever de la liste des pratiquants.
📋 Bilan de la notion
Disjoints (A∩B=∅)
Quelconques
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)
Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)
🔀 Produit cartésien et p-uplets
Un digicode à 2 chiffres
Un petit digicode utilise 2 chiffres, chacun choisi parmi {0 ; 1 ; 2}. On veut toutes les combinaisons possibles.
Regarde l'arbre : pour chaque valeur du 1ᵉʳ chiffre, le 2ᵉ chiffre peut prendre 3 valeurs.
Remarque : le couple (0 ; 1) est bien différent du couple (1 ; 0) — ce sont deux codes différents. L'ordre compte dans un couple.
On nomme et on formalise
À savoir par cœur
Un couple (a ; b) est une collection ORDONNÉE de 2 éléments : (a ; b) ≠ (b ; a) en général.
Le produit cartésien de E et F, noté E×F, est l'ensemble des couples (x ; y) avec x∈E et y∈F.
Card(E×F) = Card(E) × Card(F).
Dans ton digicode : E=F={0;1;2}, donc Card(E×F)=3×3=9, comme l'arbre.
À ton tour, avec un autre exemple : E={a;b} et F={3;4;5}.
Et avec trois éléments ou plus ?
On généralise : une liste ordonnée de p éléments (pas forcément distincts) s'appelle un p-uplet. L'ensemble des p-uplets de E est Ep = E×E×…×E (p fois).
🎯 Essaie d'abord !
Un 2-uplet, c'est comment on l'appelle aussi ?
Un code de carte bancaire (4 chiffres, répétitions permises) est un 4-uplet de E={0;1;…;9}.
La formule générale
À savoir par cœur
Card(Ep) = (Card E)p = np, où n=Card(E).
📋 Bilan de la notion
Retiens surtout : dans un p-uplet, l'ordre compte ET les répétitions sont permises (1111 est un code valide).
❗ Factorielle et permutations
Ranger 3 lettres, dans tous les ordres
On veut ranger les lettres a, b, c dans 3 places, chacune utilisée une seule fois. Combien de rangements différents ?
On nomme ce calcul
À savoir par cœur Factorielle n, notée n! : n! = 1 × 2 × … × (n−1) × n.
Par convention, 0! = 1 (il y a exactement une façon de ranger 0 objet : ne rien ranger).
Une permutation de E, c'est un rangement complet des n éléments de E, chacun utilisé une fois : il y en a exactement n!.
Ton calcul de tout à l'heure : le nombre de permutations de {a;b;c} est 3! = 6.
Écris-les toutes.
Un lien entre deux factorielles voisines
Compare 5! et 4! : 5! = 5×4×3×2×1, et 4! = 4×3×2×1. Que remarques-tu ?
Cette relation (n+1)! = (n+1)×n! est très utile pour simplifier des quotients de factorielles.
Dans ces exercices, tu vas avoir besoin de ça
Entraîne-toi avant de commencer : simplifier un quotient de factorielles revient à ne garder que les facteurs « en trop ».
On résout une équation avec des factorielles
Résous dans ℕ : (n+1)! = 6×(n−1)!
📋 Bilan de la notion
📦 Arrangements
Et si on ne remplit pas TOUTES les places ?
On a un ensemble A = {b ; j ; n ; o ; r ; u} (6 lettres). On veut former des mots de 4 lettres DIFFÉRENTES (pas toutes les 6 lettres, seulement 4 places).
Remarque : c'est comme une factorielle, mais on s'arrête après 4 facteurs au lieu d'aller jusqu'à 1 — on ne remplit pas toutes les places.
On formalise
À savoir par cœur
Un p-arrangement de E est un p-uplet d'éléments DISTINCTS de E.
Le nombre de p-arrangements de E (Card E=n) est :
Anp = n×(n−1)×…×(n−p+1) = n!(n−p)!
6×5×4×3 = 6!2! = 6!(6−4)! : exactement la même idée que « stopper la factorielle » à 4 places.
Un cas particulier
🎯 Essaie d'abord !
Si p=n (on remplit TOUTES les places), que devient un n-arrangement ?
Vérifie : Ann = n!(n−n)! = n!0! = n!1 = n! — bien le nombre de permutations.
🏋️ Entraînement guidé
6 gymnastes participent à une finale.
📋 Bilan de la notion
🧮 Combinaisons
Et si l'ordre ne comptait plus du tout ?
Prends le sous-ensemble {a ; b ; c} (3 lettres précises). Combien d'ORDRES différents peux-tu écrire avec ces 3 lettres ?
Donc le MÊME sous-ensemble {a;b;c} donne 6 arrangements ordonnés différents. Si on choisit 3 lettres parmi 4 (E={a;b;c;d}), il y a A⁴₃ = 4×3×2 = 24 arrangements.
C'est exactement l'idée d'une combinaison : on part des arrangements, et on « oublie l'ordre » en divisant par le nombre d'ordres possibles (p!).
On formalise
À savoir par cœur
Une combinaison de p éléments de E est un sous-ensemble de E à p éléments (l'ordre ne compte pas).
Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n, noté (le coefficient binomial, qui se lit « p parmi n »), est :
= n!p!(n−p)!
Vérifie avec l'exemple : = 4!3!×1! = 246 = 4 — bien ce que tu as trouvé.
Valeurs particulières et symétrie
Remplace p par n−p dans la formule, pour voir ce que donne (nn−p).
Intuitivement : choisir les p éléments qu'on GARDE revient exactement à choisir les n−p éléments qu'on LAISSE de côté — même nombre de façons.
La formule de Pascal — démonstration
Soit E un ensemble à n+1 éléments, et x un élément précis de E. On veut compter TOUS les sous-ensembles de E à p+1 éléments. On les sépare en deux familles, selon que x en fait partie ou non.
À savoir par cœur Formule de Pascal : pour tout 1 ≤ p ≤ n, (np) + (np+1) = (n+1p+1).
Le triangle de Pascal
Chaque nombre du triangle est la somme des deux nombres juste au-dessus de lui (formule de Pascal, visuellement) : 4 = 1+3, 6 = 3+3.
n\p
0
1
2
3
4
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
À toi de continuer la ligne n=5, en utilisant la règle « somme des deux nombres au-dessus ».
Toutes les parties d'un ensemble
Prends un tout petit ensemble : {a;b}. Liste tous ses sous-ensembles (y compris l'ensemble vide et {a;b} lui-même).
À savoir par cœur
Le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ (c'est aussi la somme de tous les (np), pour p allant de 0 à n).
📋 Bilan de la notion
🎓 Méthode à suivre
📋 La question à te poser avant tout calcul
Avant de calculer quoi que ce soit, pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il ? et les répétitions sont-elles permises ? Les réponses te disent quel modèle utiliser.
Répétitions ?
Ordre ?
Modèle
Formule
Oui
Oui
p-uplet
nᵖ
Non
Oui, p<n
Arrangement
n!(n−p)!
Non
Oui, p=n
Permutation
n!
Non
Non
Combinaison
n!p!(n−p)!
Les répétitions ne sont jamais permises dans un arrangement ou une combinaison — si l'énoncé permet de reprendre deux fois le même élément, c'est obligatoirement un p-uplet.
📋 Bilan général — questions mélangées
Un mélange de toutes les notions du chapitre, pour vérifier que tout est bien en place.
Choisir le bon modèle — questions mélangées
Ici, pas de calcul : seulement reconnaître quel modèle utiliser, avant même de calculer.
🎯 S'entraîner par notion
Choisis une notion : tu retrouves directement les exercices qui la travaillent.
Ensembles et cardinal
Produit cartésien et p-uplets
Factorielle et permutations
Arrangements
Combinaisons
Choisir le bon modèle
Exercices complets
17 exercices, par thème, renumérotés dans l'ordre. Tu termines par l'exercice de synthèse sur les musées.
📄 Exercices d'entraînement
Exercices d'entraînement
17 exercices, numérotés dans l'ordre et regroupés par thème. Certains te proposent de rédiger directement ici (« sur la feuille ») ou sur ton cahier papier.
🔵Thème — Ensembles et cardinaux
Exercice 1 — intersection et réunion
Soit A={6;7;13;20} et B={4;6;13;24;122}.
📝 Donne A∩B et A∪B (liste leurs éléments), puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 2 — ensembles disjoints
A et B sont deux ensembles disjoints tels que Card(A)=10 et Card(B)=9. Calcule Card(A∪B) et Card(A×B).
📝 Rédige : explique pourquoi on additionne pour Card(A∪B) (disjoints), calcule les deux réponses, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🔀Thème — Produit cartésien, p-uplets et codes
Exercice 3 — produit cartésien
Soit A={m;a;t;h;s} et B={0;1}.
📝 Donne Card(A×B) et énumère tous les couples de A×B, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🎯 Et pour vérifier...
Le couple (t ; 1) appartient-il à A×B ?
Et le couple (0 ; a) ?
Exercice 4 — compter des p-uplets
Une adresse IP identifie chaque ordinateur connecté à Internet. Une adresse IPv4 est composée de 4 nombres compris entre 0 et 255 inclus (256 valeurs chacun). Une adresse IPv6 est composée de 8 champs, chacun formé de 4 caractères (chiffres de 0 à 9 ou lettres de a à f, soit 16 possibilités par caractère).
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
📝 Rédige une phrase qui explique pourquoi IPv4 ne suffit pas et pourquoi IPv6 est largement suffisant, avec tes calculs.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 5 — trouver le plus petit n
On construit des nombres à n chiffres, en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3 et 4 (répétitions permises). On veut au moins 1000 nombres différents. Trouve la plus petite valeur de n.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite pour tester plusieurs valeurs de n.
📝 Rédige le nombre de codes en fonction de n, puis la plus petite valeur de n qui convient, avec ta vérification, et montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 6 — compter des codes avec préfixe
Les numéros commençant par « 06 » sont des 10-uplets formés du couple (0;6), complété par un 8-uplet de l'ensemble {0;1;…;9}.
📝 Rédige les trois réponses (préfixe 06, 06 ou 07, 067 et 068), avec ton calcul à chaque fois, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
❗Thème — Factorielles
Exercice 7 — simplifier des écritures
n est un entier naturel. Simplifie chacune des écritures suivantes.
📝 Rédige les 8 simplifications (a à h), avec l'étape intermédiaire pour chacune, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 8 — équation avec des factorielles
Résous dans ℕ l'équation : (n+2)! = 6×n!
📝 Rédige la résolution complète, de la simplification jusqu'à la conclusion (avec la vérification n∈ℕ), puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
📦Thème — Arrangements et permutations
Exercice 9 — arrangements et permutations
Soit A={b;i;e;n}.
📝 Donne le nombre de 2-arrangements, cite-les tous, puis le nombre de permutations, et montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🎯 Et pour vérifier...
« bi » est-il un 2-arrangement valide de A ?
Et « bb » ?
Exercice 10 — permutation et arrangement
8 coureurs sont au départ de la finale d'une course.
📝 Donne le nombre de classements complets puis le nombre de podiums, avec ton calcul, et montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 11 — compter un arrangement
Un professeur a préparé dix questions. L'application en choisit cinq au hasard et les propose les unes après les autres (sans répétition, dans un ordre).
📝 Rédige pourquoi c'est un arrangement et donne ton calcul complet, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 12 — chiffres distincts, avec contrainte
On dispose des chiffres 0, 1, 2 et 3.
📝 Rédige les 6 réponses (1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c), avec ton raisonnement, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 13 — démonstration générale
Soit A et B deux ensembles finis, non vides, disjoints, de cardinaux respectifs n et p. Combien de permutations de A∪B existe-t-il ?
📝 Rédige la démonstration complète, avec une phrase de justification à chaque étape, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🧮Thème — Combinaisons
Exercice 14 — combinaison ou arrangement ?
Dans un lycée, les 36 délégués doivent élire un comité de 3 élèves.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
📝 Rédige avec tes mots pourquoi la 1ʳᵉ question est une combinaison et la 2ᵉ un arrangement, avec les deux résultats, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 15 — compter une combinaison
À l'entrée en première, on demande aux élèves de choisir 3 spécialités parmi 6 proposées, sans restriction.
📝 Rédige pourquoi c'est une combinaison et ton calcul complet, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
Exercice 16 — combinaison puis produit
Sur une grille de loto, un joueur choisit 5 nombres entre 1 et 49 (sans ordre), puis un nombre « chance » entre 1 et 10.
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
📝 Rédige le calcul des 5 nombres puis le total avec le numéro chance, et montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🏛️Exercice de synthèse
Exercice 17 — synthèse
Un visiteur passe quelques jours dans une capitale européenne. Il s'intéresse à 11 musées différents : 7 musées d'art et d'histoire, et 4 musées scientifiques. Il n'aura le temps de visiter que 5 musées différents.
1) Sans tenir compte de l'ordre des visites :
a) Combien de façons de choisir ces 5 musées ?
b) Combien de façons de les choisir de sorte à visiter exactement 2 musées d'art et d'histoire ?
c) Combien de façons de les choisir de sorte à visiter au moins un musée scientifique ?
2) En tenant compte de l'ordre des visites :
a) Une fois les 5 musées choisis, combien de façons de les ordonner pour organiser les visites ?
b) Le visiteur décide d'en visiter un par jour, sauf un jour où il en visitera deux (sans préciser l'ordre des deux musées visités ce jour-là). Combien de façons d'organiser ces visites ?
🧮 Utilise la calculatrice en bas à droite.
📝 Rédige la réponse complète à la question 1 (a, b, c), avec une phrase de justification à chaque fois, puis montre ta copie.
✅ Copie envoyée, bien joué.
🏆 Arène libre
Choisis une catégorie, les questions défilent et se mélangent à chaque partie.