Calcul littéral
(introduction)
5ème
Comprendre les lettres en maths, écrire et calculer des expressions littérales, réduire, tester une égalité — et, pour aller plus loin, trouver une valeur inconnue.
Un sachet contient toujours 6 bonbons.
Si tu achètes 2 sachets : tu as 2 × 6 = 12 bonbons.
Si tu achètes 5 sachets : tu as 5 × 6 = 30 bonbons.
Et si tu achètes un nombre de sachets que tu ne connais pas encore — disons n sachets — combien as-tu de bonbons, d'après toi ?
Tu viens de trouver 6 × n. Le calcul est toujours le même (× 6), seul le nombre de sachets change — c'est justement ça, une lettre en maths.
Un ticket de bus coûte 1,50 €. Si tu achètes t tickets, combien payes-tu ? Réfléchis avant de continuer… C'est 1,50 × t.
Tu as 12 ans aujourd'hui. Dans x années (un nombre d'années que tu ne connais pas encore), quel âge auras-tu ? C'est 12 + x.
Dans ces trois situations, la lettre (n, t ou x) n'est jamais « n'importe quoi » : elle représente toujours quelque chose de précis (un nombre de sachets, de tickets, d'années). Sa valeur peut changer, mais le calcul autour d'elle reste le même.
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre représente un nombre.
Karim dit : « Dans 2 × a + 5, la lettre a veut dire abricot. »
❌ Non ! La lettre a représente un nombre, pas un objet.
Amina dit : « La lettre n vaut toujours 14 car n est la 14ème lettre de l'alphabet. »
❌ Non ! La lettre n peut valoir n'importe quel nombre.
Marcus dit : « Dans l'expression 3 × x, la lettre x vaut toujours la même chose. »
❌ Non ! La lettre x peut valoir 2 dans un exercice et 7 dans un autre.
• Une lettre en maths = un nombre inconnu ou variable (pas un objet)
• Elle peut valoir n'importe quel nombre
• Sa valeur peut changer d'une situation à l'autre, mais le calcul autour d'elle reste le même
• Une expression littérale = une formule avec une ou plusieurs lettres
En général, c'est la lettre x qu'on choisit. On lui donne plusieurs noms : inconnue, variable, ou encore indéterminée.
La lettre x et le signe « fois » × se ressemblent énormément à l'écrit. Pour ne surtout pas les confondre :
• le signe de la multiplication s'écrit toujours × (jamais avec la lettre x)
• la lettre s'écrit toujours en italique : x
C'est justement pour éviter cette confusion qu'on va, la plupart du temps, supprimer le signe × devant une lettre.
On va découvrir une nouvelle convention d'écriture. Une convention, c'est une règle qu'on applique tous, mais qu'on n'a écrite nulle part — comme se dire bonjour quand on rencontre quelqu'un : aucune loi ne l'oblige, mais tout le monde le fait.
À ton avis, dans quels cas peut-on supprimer le signe × ? Devine avant de valider.
Tu viens de trouver la règle !
Règle 1 — On supprime le signe × entre un nombre et une lettre, ou entre deux lettres
Règle 2 — Entre deux nombres, on GARDE toujours le ×
Si a = 4, alors 2a = 2 × 4 = 8. Pas 24 !
Règle 3 — Le nombre se met TOUJOURS avant la lettre
Règle 4 — Quand le nombre devant est 1, on l'efface
Pourquoi ? Parce que multiplier par 1 ne change rien.
Règle 5 — Quand une lettre se multiplie par elle-même
• a² = a × a (le nombre multiplié par lui-même)
• 2a = 2 × a (le double du nombre)
Avec a = 3 : a² = 3 × 3 = 9 — 2a = 2 × 3 = 6. Pas pareil !
• 3 × a = 3a (on supprime le ×)
• 1 × a = a (on supprime le 1)
• a × a = a² (on écrit « au carré »)
• Le nombre se met TOUJOURS avant la lettre : 2a, pas a2
• a² (a fois a) ≠ 2a (2 fois a)
Le prix d'une pizza se calcule avec la formule : P = 3n + 2
où n est le nombre de garnitures choisies.
Amir veut une pizza avec 4 garnitures. À ton avis, combien va-t-il payer ?
On remplace n par 4 dans la formule :
La pizza d'Amir coûte 14 euros.
Ce qu'on vient de faire s'appelle substituer : on a remplacé la lettre par un nombre, puis on a calculé. C'est comme remplir un trou dans une formule.
1. Recopier l'expression
2. Remplacer chaque lettre par le nombre donné
3. Rétablir les signes × invisibles
4. Calculer étape par étape — une seule opération par ligne
5. Écrire le résultat final
Exemple avec un carré : Calculer a² + 2a pour a = 3.
Exemple avec des valeurs négatives : Calculer a − b + c pour a = −2, b = 3 et c = −1.
Exemple avec un nombre décimal : Calculer 4a + 1 pour a = 2,5.
Pour 10 − n avec n = −3, on écrit 10 − (−3) = 13. Sans les parenthèses, on lirait 10 − 3 = 7 : ce n'est pas la même chose.
Mehdi calcule 5x pour x = 2 et écrit : « 5x = 52 ».
❌ 5x ne veut pas dire « cinquante-deux » ! 5x = 5 × x, donc pour x = 2 : 5 × 2 = 10, pas 52.
• Substituer = remplacer la lettre par un nombre
• On écrit le calcul en cascade (une ligne par étape)
• On met TOUJOURS des parenthèses autour du nombre substitué
• C'est obligatoire quand le nombre est négatif
• 10 − (−3) = 13 : les parenthèses évitent les erreurs de signe
• 5n veut dire 5 × n, pas « cinquante-n »
Dans un entrepôt :
• Il y a 3 caisses de pommes et encore 2 caisses de pommes.
• Il y a aussi 5 caisses d'oranges.
À ton avis, peut-on dire simplement combien il y a « de caisses en tout » ?
On peut additionner les caisses de pommes entre elles : 3 + 2 = 5 caisses de pommes. Mais les oranges restent à part — on ne mélange pas pommes et oranges.
En algèbre, c'est pareil. Les a sont comme les pommes, les b sont comme les oranges. On peut additionner les a avec les a, les b avec les b. Mais pas les a avec les b.
On peut additionner ou soustraire des termes semblables, c'est-à-dire des termes qui ont la même partie littérale (même lettre, même exposant).
Exemple : Réduire 3a + 5 + 2a − 1
Exemple avec a² : Réduire 2a² + 3a + a² − a
Lucas calcule 3x + 2x et écrit : 3x + 2x = 5.
❌ Le bon résultat est 5x, pas 5 !
Vérification avec x = 2 : 3×2 + 2×2 = 10, et 5x = 5×2 = 10. ✔️
• Termes semblables = même lettre, même exposant
• 3a + 2a = 5a (pas 5 !)
• 3a + 2 ne se réduit pas
• 5a + 3a² ne se réduit pas (a et a² ne sont pas semblables)
Léa : « L'égalité 2n + 1 = 11 est vraie pour n = 5. »
Ibrahim : « Non, 2n + 1 = 11 est vraie pour n = 4. »
Comment le savoir à coup sûr ?
On teste n = 5 :
On teste n = 4 :
Léa avait raison.
1. Calculer la valeur du côté gauche (avant le =) en substituant
2. Calculer la valeur du côté droit (après le =)
3. Comparer : s'ils sont égaux → la valeur est solution
Exemple : Est-ce que n = 6 est solution de 4n − 5 = 2n + 7 ?
Programme A : Prends un nombre, multiplie par 2, ajoute 5.
Programme B : Prends un nombre, ajoute 5, multiplie le tout par 2.
Donnent-ils toujours le même résultat ? On teste avec n = 3 :
Ici, on ne fait que tester une valeur qu'on te propose. Le signe = exprime une égalité entre deux côtés, pas « appuie sur la touche résultat ».
(Plus loin dans ce parcours, tu apprendras à trouver toi-même la valeur inconnue, sans qu'on te la propose — c'est la partie « Aller plus loin ».)
• Tester = substituer dans les deux côtés et comparer
• Même résultat → la valeur est solution
• Résultats différents → pas solution
• Le signe = exprime une égalité, pas un calcul
À ton avis, comment écrire le prix total avec une expression littérale ?
1. Repérer ce qu'on ne connaît pas → on l'appelle avec une lettre
2. Traduire l'énoncé mot à mot en calcul
3. Simplifier l'écriture (conventions vues avant)
D'autres situations, même méthode :
Ça marche aussi pour les formules de géométrie déjà connues :
Ce sont des expressions littérales ! Chaque formule est un raccourci qui marche pour toutes les tailles possibles.
Certains mots se traduisent toujours par le même symbole. Devine avant de vérifier :
• la somme de x et 3 → x + 3
• x diminué de 4 → x − 4
• le double de x → 2x — le triple de x → 3x
• le produit de x par 7 → 7x
❌ Quand on ne connaît pas la valeur de n, l'expression 3n + 2 EST la réponse. Une expression littérale est une réponse générale, valable pour tous les nombres possibles.
• 1. Repérer l'inconnue → 2. traduire mot à mot → 3. simplifier l'écriture
• Les formules de géométrie sont des expressions littérales
• somme=+, diminué=−, double=×2, triple=×3, produit=×
• Une expression littérale est une vraie réponse, même sans valeur chiffrée
1. Applique ce programme pour les nombres 2, 5 et 10.
2. Si on appelle « n » le nombre de départ, écris l'expression du résultat.
3. Rédige la réponse sur ton cahier.
Un programme mystère part d'un nombre que tu ne connais pas, lui ajoute 7, et affiche 15.
Quel était le nombre de départ, d'après toi ?
Si on appelle x le nombre de départ, le programme mystère dit : x + 7 = 15. C'est une égalité avec une inconnue.
Pour retrouver x, on fait l'opération inverse de celle du programme : le programme a ajouté 7, donc pour revenir en arrière on soustrait 7.
Rappelle-toi : un sachet contient toujours 6 bonbons. Diego achète plusieurs sachets et compte 42 bonbons en tout.
Combien de sachets a-t-il achetés, d'après toi ?
Si on appelle x le nombre de sachets, la situation dit : 6 × x = 42.
Le programme a multiplié par 6, donc pour revenir en arrière on divise par 6.
1. Repérer quelle opération relie l'inconnue au résultat (+, −, × ou ÷)
2. Appliquer l'opération inverse pour isoler l'inconnue
3. Vérifier en remplaçant dans l'égalité de départ
❌ Le programme a ajouté 9 : pour revenir en arrière, il fallait soustraire 9, pas ajouter. Bonne réponse : x = 20 − 9 = 11.
• x + b = c → x = c − b (on inverse le +)
• a × x = c → x = c ÷ a (on inverse le ×)
• On vérifie toujours en remplaçant x par la valeur trouvée
• La lettre qui représente la valeur qu'on cherche s'appelle l'inconnue, et le bon nombre trouvé est le candidat qui rend l'égalité vraie
Écris toutes les étapes, une par ligne, avec le signe = en début de chaque ligne.
Puis rédige seul : un magasin vend des stylos à n euros. Nora en achète 3 et Tom en achète 2. Écris et réduis le total.
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.