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Calcul littéral
4ème
La leçon — étape 1 sur 2
🔢 En calcul littéral, on simplifie l'écriture :
• 2 × a s'écrit 2a
• a × b s'écrit ab
• a × a s'écrit a²
• 1 × a s'écrit a (le 1 disparaît)
• 2 × a s'écrit 2a
• a × b s'écrit ab
• a × a s'écrit a²
• 1 × a s'écrit a (le 1 disparaît)
⭐ À savoir par cœur
On écrit toujours le nombre avant la lettre : 3a et non a3.
Le signe × entre un nombre et une lettre disparaît.
On écrit toujours le nombre avant la lettre : 3a et non a3.
Le signe × entre un nombre et une lettre disparaît.
La leçon — étape 2 sur 2
La lettre représente un nombre qu'on ne connaît pas encore.
Si a = 3, alors 2a = 2 × 3 = 6.
Si a = 5, alors 2a = 2 × 5 = 10.
Si a = 3, alors 2a = 2 × 3 = 6.
Si a = 5, alors 2a = 2 × 5 = 10.
🎯 Essaie !
Comment s'écrit « 5 × n » en calcul littéral ?
La leçon — étape 1 sur 2
Substituer = remplacer la lettre par sa valeur, puis calculer.
Si x = 4 : 3x + 1 = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13.
Si x = 4 : 3x + 1 = 3 × 4 + 1 = 12 + 1 = 13.
Si la valeur est négative, entoure-la toujours de parenthèses avant de calculer.
Si x = −2 : x² = (−2)² = (−2) × (−2) = 4 (et non −4 !)
Si x = −2 : x² = (−2)² = (−2) × (−2) = 4 (et non −4 !)
⚠️ Le piège à éviter
Pour x = 2, 5x ne se calcule jamais en collant les chiffres (5x ne devient pas 52) : il faut remettre le signe × avant de calculer, soit 5 × 2 = 10.
Ne confonds jamais la lettre x (l'inconnue) avec le signe × (la multiplication) : ce sont deux symboles différents, même s'ils se ressemblent à l'écrit.
Pour x = 2, 5x ne se calcule jamais en collant les chiffres (5x ne devient pas 52) : il faut remettre le signe × avant de calculer, soit 5 × 2 = 10.
Ne confonds jamais la lettre x (l'inconnue) avec le signe × (la multiplication) : ce sont deux symboles différents, même s'ils se ressemblent à l'écrit.
La leçon — étape 2 sur 2
⭐ À savoir par cœur
Toujours mettre des parenthèses autour d'une valeur négative avant de la substituer. (−3)² = 9, mais −3² = −9 : ce n'est pas pareil !
Toujours mettre des parenthèses autour d'une valeur négative avant de la substituer. (−3)² = 9, mais −3² = −9 : ce n'est pas pareil !
🎯 Essaie !
Pour x = −3, que vaut x² ?
Devine avant de savoir — 1 sur 3
Le programme secret de Karim
Karim dit : « Je prends un nombre, je le double, puis j’ajoute 3. » Avec x le nombre choisi, quelle expression traduit ce que fait Karim ?
Un programme, étape par étape — 2 sur 3
Le programme de Sofia
Sofia annonce : « Choisis un nombre. Ajoute 5. Multiplie le résultat par 2. » Avec x le nombre choisi, quelle expression donne le résultat final ?
Une vraie situation à traduire — 3 sur 3
Le rectangle mystère
Un rectangle a pour côtés x et (x + 4), en cm. Quelle expression donne son périmètre ?
Devine avant de savoir — 1 sur 3
Le sac de billes de Léa
Léa a 3x billes dans un sac, elle en gagne 5, puis elle en perd 2x. Sans calculer plus loin, quelle expression te semble la plus simple pour dire ce qu'elle a maintenant ?
Le terme piégé — 2 sur 3
Un terme caché dans une parenthèse
5x − (−2 + 3x) : tu voudrais bien rapprocher 5x et 3x, mais 3x est enfermé dans une parenthèse, précédée d'un signe −. À ton avis, que devient cette parenthèse si on la supprime ?
Bilan de la notion
Réduire, c'est regrouper les termes semblables : on rapproche les termes en gardant leur signe, on supprime les parenthèses en changeant tous les signes dedans si elles sont précédées d'un −, puis on réduit les coefficients.
Devine avant de savoir — 1 sur 4
12 × 7, sans la table de 12
Pour calculer 12 × 7 de tête, on peut décomposer 12 = 10 + 2, et écrire (10 + 2) × 7. On sait faire 10 × 7 = 70 et 2 × 7 = 14. Que vaut alors 12 × 7 ?
L'opération inverse — 2 sur 4
60 + 15, autrement
60 et 15 sont tous les deux dans la table de 5 : 60 = 5 × 12 et 15 = 5 × 3. On peut donc écrire 60 + 15 = 5 × 12 + 5 × 3. Le 5 est commun aux deux. Comment écrire ça avec le 5 mis « de côté », en facteur ?
Et si les DEUX facteurs contiennent une lettre ? — 3 sur 4
Deux parenthèses, combien de produits ?
Pour développer (x + 2)(x + 3), il n'y a plus un simple nombre devant la parenthèse : c'est toute une parenthèse qui multiplie l'autre. À ton avis, combien de produits faut-il calculer pour ne rien oublier ?
Combiner développer et réduire — 4 sur 4
Tu es presque un expert. Il te reste à manipuler toutes les techniques ensemble, dans des expressions bien longues comportant à la fois des multiplications, des additions et des soustractions. Parfois il faut développer, parfois réduire en supprimant les parenthèses — méfie-toi des signes.
Exemple rédigé
2(3x + 4) + 5x − 6
On développe la parenthèse :
= 6x + 8 + 5x − 6
On rapproche les termes semblables, puis on réduit :
= 6x + 5x + 8 − 6
= 11x + 2
Entraînement
Bilan de la notion
Développer : je multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur extérieur. Factoriser : je repère le plus grand facteur commun et je le mets de côté. Sur une expression longue, je développe d'abord, puis je réduis.
Devine avant de savoir — 1 sur 3
Leïla a-t-elle prouvé son égalité ?
Leïla veut savoir si 2(x + 4) = 2x + 8. Elle teste avec x = 3 : 2(3 + 4) = 14 et 2 × 3 + 8 = 14. « Ça marche, c'est prouvé ! » dit-elle. A-t-elle raison ?
Prouver pour de bon — 2 sur 3
Prouver = montrer avec du calcul littéral que deux expressions sont toujours égales, quelle que soit la valeur de la lettre. Pour ça, on réutilise exactement ce qu'on vient d'apprendre : on développe et on réduit chaque côté, et on regarde si on retombe sur la même expression.
Exemple rédigé
Prouver que 2(x + 4) = 2x + 8
On développe le côté gauche, en colonne :
2(x + 4)
= 2 × x + 2 × 4
= 2x + 8
On retombe exactement sur l'autre côté : c'est vrai pour toutes les valeurs de x. ✓
Le geste à travailler
Entraînement
Bilan de la notion
Tester une égalité avec une seule valeur ne prouve jamais qu'elle est toujours vraie — mais un seul contre-exemple suffit à prouver qu'elle est fausse. Pour prouver qu'elle est toujours vraie, on développe et on réduit chaque côté, et on vérifie qu'on obtient la même expression.
Le conseil du grand frère
Pour développer et réduire :
① Distribuer chaque facteur.
② Regrouper les termes semblables.
③ Écrire le résultat final.
① Distribuer chaque facteur.
② Regrouper les termes semblables.
③ Écrire le résultat final.
Exercice guidé
Développer et réduire : 3(2x + 1) + 4x − 5
💡 Commence par développer 3(2x + 1). Que donne 3 × 2x et 3 × 1 ?
✏️ Brouillon
Exercice — Sur la feuille numérique
Diego propose le programme de calcul suivant : « Choisis un nombre, ajoute 5, multiplie le résultat par 3, puis soustrais le triple du nombre de départ. » Zoé affirme qu'on obtient toujours 15, quel que soit le nombre choisi.
Note x le nombre choisi. Écris l'expression littérale correspondant à ce programme, développe-la et réduis-la pour vérifier si Zoé a raison.
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
Note x le nombre choisi. Écris l'expression littérale correspondant à ce programme, développe-la et réduis-la pour vérifier si Zoé a raison.
Rédige toute la démarche en colonnes, une étape par ligne, avec le signe = en début de ligne.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
Entraînement libre, sans note.