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Calcul littéral
et identités remarquables
3ème

Une même dépense peut s'écrire de deux façons très différentes — et pourtant dire exactement la même chose. Tu vas apprendre à passer de l'une à l'autre : développer, puis factoriser.

🎯 S'entraîner geste par geste

🔄 Rappels avant de foncer

Petit rappel, pas une nouveauté
Ce que tu sais déjà faire
Avant d'attaquer la vraie nouveauté du chapitre, un rappel rapide. Développe de tête : 4(5x − 3) = ?

📐 Développer avec deux parenthèses

Un grand rectangle à deux découpes
L'aire d'un grand rectangle
Un rectangle ABCD a un côté partagé en deux longueurs a et b, et l'autre côté partagé en deux longueurs c et d — ce qui crée 4 petits rectangles à l'intérieur. Comment écrire l'aire totale comme UN SEUL produit ?

🔢 Repérer un carré parfait

Entraîne ton œil
Carrés parfaits
36x² est-il un carré parfait ? Si oui, le carré de quelle expression ?

🧩 Identité (a+b)²

Un carré à 4 morceaux
L'aire d'un carré de côté (a+b)
Un carré de côté a+b est partagé en 4 morceaux : un carré a², deux rectangles ab, un petit carré b². Une fois réduite, quelle est la somme de ces 4 aires ?

🧩 Identité (a−b)²

À toi de jouer
Et avec un moins ?
Tu sais développer (a+b)² avec la double distributivité. Essaie, avec la même méthode, de développer (a−b)(a−b). Que trouve-t-on pour les deux termes du milieu ?

🧩 Identité (a+b)(a−b)

Un plus et un moins
(a+b)(a−b) : un cas différent
Et si la parenthèse de gauche a un + et celle de droite a un −, comme dans (a+b)(a−b) ? Développe avec la double distributivité, comme avant. Que se passe-t-il avec les deux termes du milieu ?

🏆 Bilan des 3 identités

Vue d'ensemble

Les 3 identités remarquables, côte à côte — repère ce qui change à chaque fois.

(a+b)² = a² + 2ab + b² — un + dans la parenthèse, un + devant 2ab.
(a−b)² = a² − 2ab + b² — un − dans la parenthèse, un − devant 2ab. Seul ce signe change par rapport à (a+b)².
(a+b)(a−b) = a² − b² — un + et un − dans les parenthèses : le terme du milieu disparaît complètement.
À toi de compléter

Complète le signe manquant dans chaque identité, de mémoire.

Entraînement mixte

Avant de développer, essaie de deviner ce qui va se passer avec le terme du milieu.

🔧 Factoriser : facteur commun

Le sens inverse de développer
Léa s'abonne à la salle de sport
Elle paie 50 € d'inscription, puis 3 € à chaque séance. Pour x séances, elle paie donc 50 + 3x. Peux-tu mettre un facteur commun (autre que 1) en évidence dans cette expression ?

⚡ Facteur commun caché

⚡ Le point le plus difficile du chapitre
Un facteur commun… entre parenthèses
5x + 15 = 5×x + 5×3 : tu sais mettre le 5 en facteur commun. Regarde maintenant A = (x−2)(x+3) + (x−2)(x+6), une somme de deux produits. Quel facteur est écrit deux fois, à l'identique, dans cette somme ?

🔍 Factoriser avec une identité

La méthode précédente ne suffit plus
D = y² − 64
D = y² − 64 : la méthode du facteur commun ne marche pas ici (pas de facteur commun visible). y² et 64 sont-ils tous les deux des carrés ?

🔀 Développer ou factoriser ?

Deux chemins possibles
(x−7)(2x−1) − (2x−1)²
Cette expression est une différence. Vois-tu un facteur commun visible directement, sans rien développer ?

🏆 Bilan général

Tout le chapitre en un coup d'œil
1. Développer — double distributivité : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.
2 à 4. Les 3 identités remarquables — (a+b)² = a² + 2ab + b², (a−b)² = a² − 2ab + b², (a+b)(a−b) = a² − b².
5 à 7. Factoriser — facteur commun simple (rappel de 4e), facteur commun caché derrière une parenthèse (le point le plus délicat du chapitre), et factoriser avec l'identité a² − b² (en vérifiant toujours que ce sont bien deux carrés).
8. Développer ou factoriser ? — savoir reconnaître, dans un exercice, quel chemin choisir.
Les 3 identités, côte à côte (a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²

🎒 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère

Sur un exercice de calcul littéral, je passe toujours par les mêmes étapes, dans cet ordre :

Le canevas à suivre à chaque fois
  1. Identifier la nature de l'expression (somme/différence ou produit) et ce que la question demande précisément.
  2. Choisir : développer (produit donné → somme voulue) ou factoriser (somme/différence donnée → produit voulu).
  3. Appliquer la règle ou l'identité qui convient (double distributivité, une des 3 identités remarquables, facteur commun — même caché).
  4. Réduire le résultat obtenu.
  5. Vérifier que le résultat est cohérent (relire les signes, ou tester une valeur simple).

Les 3 exercices qui suivent appliquent ce canevas, du plus guidé au plus autonome.

Entraînement

✏️ Brouillon

✎ Je rédige seul

Exercice — Sur la feuille numérique

Développe puis réduis complètement l'expression suivante :

E = (2x + 5)² − (x − 3)(x + 3)

Utilise deux identités remarquables différentes, une pour chaque terme. Rédige chaque étape en colonne dans le cahier ci-dessous — une transformation par ligne, chaque ligne commence par « = ».

📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

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