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Arithmétique
Diviseurs, PGCD et PPCM — 3ème

Tu connais déjà les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. Ce chapitre va plus loin : décomposer un nombre, trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres (le PGCD) et le plus petit multiple commun (le PPCM) — deux outils puissants pour les fractions et les problèmes de partage.

On se retrouve
Prends le nombre 60. Sans aide, essaie de trouver 3 diviseurs et 2 multiples de 60.
3 diviseurs de 60 (des nombres qui divisent 60 exactement)
2 multiples de 60 (des nombres dans lesquels 60 rentre exactement)
On confirme avec les bons mots
15 est dans la table de 3 et de 5 : on dit qu'il est divisible par 3, par 5 ; 3 et 5 sont des diviseurs de 15 ; 15 est un multiple de 3 et de 5. C'est exactement ce que tu viens de retrouver avec 60.

🔒 Nombres premiers, un rappel

On tente d'abord
Regarde cette fraction : 1740. Trouve un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (autre que 1), pour la simplifier.
On regarde ce qui s'est passé
Tu as sans doute essayé 2, 3, 5… et tu n'as rien trouvé, à part 1. Ce n'est pas un hasard : 17 refuse tout diviseur commun avec 40, quel que soit le nombre que tu testes (à part 1). Ce genre de nombre « increvable », tu l'as déjà croisé en 5e.
Rappel — nombre premier Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. C'est pour ça que 17 ne se laisse « attraper » par aucun autre diviseur.
Contre-exemple : 8 n'est pas premier, car il a quatre diviseurs : 1, 2, 4 et 8.
Le sais-tu ? Les nombres premiers et les codes secrets ›
Les nombres premiers ne servent pas qu'en cours de maths : ce sont eux qui protègent tes données quand tu payes en ligne ou que tu envoies un message. Il est facile de multiplier deux très grands nombres premiers entre eux, mais quasiment impossible de retrouver ces deux nombres à partir du résultat, même avec un ordinateur puissant. C'est cette difficulté qui rend le code impossible à casser.
Bilan de la notion
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre pair (sauf 2) n'est jamais premier — mais attention, un nombre impair n'est pas forcément premier non plus !
Je m'entraîne

📏 Critères de divisibilité

Un petit rappel avant de foncer
36 est-il divisible par 9 ?
Rappel — critères de divisibilité Un nombre est divisible :
par 2 si son chiffre des unités est pair (0, 2, 4, 6, 8) ;
par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
par 10 s'il se termine par 0 ;
par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Bilan express — vrai ou faux ?
48 est divisible par 3
125 est divisible par 2
90 est divisible par 9
203 est divisible par 5
Je m'entraîne — j'applique le critère

🧩 Nombres composés

On tente d'abord
Prends une minute : note tous les diviseurs de 36 que tu trouves.
Rappel — la méthode par paires On cherche les diviseurs par paires, dans l'ordre : 1×36, puis 2×18, puis 3×12, puis 4×9… jusqu'à ce que les deux facteurs se croisent (ici 6×6). On est alors certain de n'avoir rien oublié.
Tout nombre qui n'est pas premier (donc qui a plus de deux diviseurs) s'appelle un nombre composé — ce sont tout simplement les nombres que tu manipules au quotidien.
Bilan de la notion
Pour lister tous les diviseurs d'un nombre sans en oublier, on avance par paires (1×, 2×, 3×…) jusqu'à ce que les deux facteurs se rejoignent.
Je m'entraîne

🤝 Diviseur commun

On tente d'abord
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Que remarques-tu en comparant les deux listes ?
Diviseur commun Un diviseur commun à deux nombres est un nombre qui divise exactement chacun des deux. Tu l'as déjà utilisé sans le nommer, notamment quand tu simplifies une fraction : diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, c'est diviser par un de leurs diviseurs communs.
Cas particulier — nombres premiers entre eux Quand deux nombres n'ont aucun diviseur commun à part 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux. Exemple : 12 et 35 — diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; diviseurs de 35 : 1, 5, 7, 35. Le seul nombre commun aux deux listes est 1 : 12 et 35 sont premiers entre eux.
Bilan de la notion
Un diviseur commun à deux nombres divise exactement les deux. Quand le seul diviseur commun est 1, les deux nombres sont premiers entre eux.
Je m'entraîne

✕️ Décomposition en facteurs premiers

On tente d'abord
Reprends 36 : peux-tu l'écrire comme un produit qui n'utilise QUE des nombres premiers ?
Décomposition en produit de facteurs premiers Tout nombre entier (autre que 1) peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près). Méthode : on divise par le plus petit nombre premier possible, on recommence avec le résultat obtenu, et on continue jusqu'à n'obtenir plus que des nombres premiers.
Décomposition de 84
84 = 2 × 42
84 = 2 × 2 × 21
84 = 2 × 2 × 3 × 7
donc 84 = 2² × 3 × 7
Bilan de la notion
Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on divise par le plus petit nombre premier possible, encore et encore, jusqu'à ce qu'il ne reste que des nombres premiers.
Je m'entraîne

🏆 Le PGCD

On tente d'abord
Les diviseurs communs à 12 et 18 sont : 1, 2, 3, 6. Lequel choisirais-tu pour simplifier une fraction d'un seul coup ?
On compare deux façons de faire
Reprends 8430. Si tu divises juste par 2 : tu obtiens 4215 — peux-tu encore simplifier ? Oui, par 3 : 145. Si tu avais divisé directement par 6 (le plus grand diviseur commun trouvé), tu arrivais tout de suite à 145, en une seule étape.
Le PGCD — Plus Grand Commun Diviseur Le PGCD de deux nombres est le plus grand de leurs diviseurs communs. Si on divise en haut et en bas d'une fraction par ce nombre, on obtient tout de suite la fraction irréductible : c'est rapide, simple et efficace.
Méthode officielle : décomposer les deux nombres en produit de facteurs premiers, repérer les facteurs premiers communs (à la plus petite puissance commune), puis les multiplier entre eux.
PGCD(84, 30)
84 = 2² × 3 × 7
30 = 2 × 3 × 5
facteurs premiers communs : 2 et 3
PGCD(84, 30) = 2 × 3 = 6
Bilan de la notion
Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui les divise tous les deux. On le calcule en décomposant les deux nombres en facteurs premiers, puis en multipliant les facteurs premiers communs.
Je m'entraîne
Le sais-tu ? Une autre façon de calculer le PGCD ›
Quand les nombres sont grands et difficiles à décomposer, il existe une autre méthode, bien plus ancienne : l'algorithme d'Euclide, décrit il y a plus de 2300 ans dans son livre Les Éléments. On fait des divisions successives, jusqu'à tomber sur un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple : PGCD(3480, 1479) :
3480 = 1479 × 2 + 522
1479 = 522 × 2 + 435
522 = 435 × 1 + 87
435 = 87 × 5 + 0
Le dernier reste non nul est 87 : PGCD(3480, 1479) = 87.

Ce n'est pas la méthode exigée en cours (on te demandera la décomposition en facteurs premiers), mais c'est bon à savoir : elle fonctionne même quand décomposer prendrait trop de temps.

➕➖ Fraction irréductible

On tente d'abord
Rends cette fraction irréductible en une seule fois, avec ce que tu viens d'apprendre : 3648
On compare deux façons de faire
Léa a divisé 3648 juste par 2, sans vérifier plus loin, et s'est arrêtée à 1824. Cette fraction est-elle déjà irréductible ?
Fraction irréductible Une fraction ab est irréductible quand a et b sont premiers entre eux : il n'existe plus aucun diviseur commun (à part 1) pour la simplifier davantage.
Méthode en 3 étapes, pour être sûr d'y arriver du premier coup :
1 • décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers ;
2 • calculer leur PGCD ;
3 • diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.
Bilan de la notion
Pour rendre une fraction irréductible en une seule fois, on décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers, on calcule leur PGCD, puis on divise les deux par ce PGCD.
Je m'entraîne

🚌 Le PPCM

On tente d'abord
Deux bus repassent au même arrêt toutes les 12 minutes pour l'un, toutes les 18 minutes pour l'autre. Partis ensemble à 8h00, à quelle heure se croiseront-ils à nouveau ?
Le PPCM — Plus Petit Commun Multiple Le PPCM de deux nombres est le plus petit de leurs multiples communs (autre que 0). Au collège, on le trouve en listant les multiples de chaque nombre, dans l'ordre, jusqu'à repérer le premier qui apparaît dans les deux listes.
Bilan de la notion
Le PPCM de deux nombres est le plus petit nombre qui est à la fois multiple de l'un et de l'autre. On le trouve en listant les multiples de chaque nombre jusqu'au premier qu'ils ont en commun.
Je m'entraîne

🧭 PGCD ou PPCM ?

Deux problèmes, un seul bon outil
« Partager équitablement des bonbons en faisant le plus grand lot possible » → PGCD ou PPCM ?
« Au bout de combien de temps se retrouve-t-on tous ensemble ? » → PGCD ou PPCM ?
La grille de reconnaissance On cherche le PGCD quand l'énoncé parle de : partager équitablement, faire des lots/paquets identiques, en utilisant tout, avec le plus grand lot (ou nombre de lots) possible.
On cherche le PPCM quand l'énoncé parle de : se retrouver ensemble, se croiser à nouveau, un événement qui se répète à intervalles réguliers (rythmes, cycles).
Le bon réflexe : ne jamais appliquer une méthode sans avoir d'abord repéré, dans les mots de l'énoncé, ce qui est vraiment demandé.
Bilan de la notion
Partager en faisant le plus grand lot possible → PGCD. Retrouver un rythme commun dans le temps → PPCM. On lit d'abord l'énoncé, on choisit ensuite l'outil.
Je m'entraîne — 3 problèmes type brevet

🏆 Bilan général

Tout le chapitre en un coup d'œil
Neuf notions, un même fil : nombres premiers et critères de divisibilité (rappels), nombres composés (lister les diviseurs par paires), diviseur commun et nombres premiers entre eux, décomposition en facteurs premiers, le PGCD (nommé ici pour la première fois), la fraction irréductible (application directe du PGCD), le PPCM, puis PGCD ou PPCM ? pour choisir le bon outil dans un problème.
À savoir par cœur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) — décomposer les deux nombres en facteurs premiers, multiplier les facteurs premiers communs. Sert à simplifier une fraction en une seule fois, ou à partager équitablement en faisant le plus grand lot possible.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) — lister les multiples de chaque nombre jusqu'au premier commun. Sert à retrouver un rythme commun (deux événements qui se répètent).

🧭 Méthode à suivre

Le conseil du grand frère
À chaque fois qu'on te demande de rendre une fraction irréductible, le même canevas fonctionne :
  1. Identifier le numérateur a et le dénominateur b.
  2. Décomposer a et b en produit de facteurs premiers.
  3. Repérer les facteurs premiers communs aux deux décompositions.
  4. Multiplier ces facteurs communs pour obtenir le PGCD(a, b).
  5. Diviser a et b par ce PGCD.
  6. Vérifier que le résultat est bien irréductible (plus aucun diviseur commun).
3 exercices, de plus en plus autonome

Entraînement

✏️ Brouillon

✎ Je rédige seul

Exercice — Sur la feuille numérique
Un fleuriste dispose de 84 roses et de 60 tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chacun), en utilisant toutes les fleurs, et en faisant le plus grand nombre de bouquets possible.

Combien de bouquets peut-il réaliser ? Combien de roses et de tulipes contient chaque bouquet ? Rédige toute la démarche en colonnes (décomposition en facteurs premiers, calcul du PGCD, puis conclusion), une étape par ligne, et termine par une phrase de réponse.
📷 Refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.

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