Complémentaires, supplémentaires, alternes-internes, correspondants, et premières démonstrations avec le parallélisme.
💡 Nommer et mesurer un angle
Un rappel avant de foncer
Une porte, une horloge, un toit
Une porte entrouverte, les aiguilles d'une horloge à 3h, la pente d'un toit : qu'est-ce qui, en maths, permet de décrire ce qui les rend différents les uns des autres ?
Cet écart entre deux côtés qui partent du même point, en maths, on l'appelle un angle.
À savoir par cœur
Un angle est formé de deux demi-droites qui partent du même point, le sommet. On le nomme avec 3 lettres : la lettre du milieu est toujours le sommet — ici, l'angle AOB (ou BOA).
Mesurer avec le rapporteur :
① Poser le centre du rapporteur sur le sommet
② Aligner le zéro avec un côté
③ Lire la mesure où passe l'autre côté
Les 4 familles d'angles :
• Aigu : entre 0° et 90° — plus petit qu'un coin de feuille
• Droit : exactement 90° — coin de feuille parfait (marqué □)
• Obtus : entre 90° et 180° — plus grand qu'un coin
• Plat : exactement 180° — une ligne droite, ça ne ressemble même plus à un angle
Bilan de la notion
Un angle = deux demi-droites + un sommet. Pour le nommer, la lettre du milieu est le sommet. Pour le mesurer, le rapporteur est centré sur le sommet, zéro aligné sur un côté.
Entraînement
💲 Complémentaires et supplémentaires
Un carreau coupé en deux
Yasmina découpe un carreau
Yasmina est carreleuse. Elle découpe un carreau carré en biais, en partant d'un coin. Le coin du carreau fait 90°. Un des deux morceaux fait un angle de 35°. Sans calculer précisément, à ton avis, l'autre morceau fait environ :
Le coin du carreau = 90°. La diagonale le coupe en deux : 90 − 35 = 55°. Deux angles qui font 90° ensemble sont complémentaires.
Et de l'autre côté d'une porte ?
Fatou ouvre une porte à 110°. De l'autre côté, entre la porte et le mur, il reste un espace. À ton avis, cet espace mesure :
La porte ouverte et le reste du mur forment un angle plat : 180°. L'espace = 180 − 110 = 70°. Deux angles qui font 180° ensemble sont supplémentaires.
À savoir par cœur
• Complémentaires → somme = 90° (un angle droit)
• Supplémentaires → somme = 180° (un angle plat)
💬 Moyen mnémotechnique :
• Complémentaires → Coin de feuille → 90°
• Supplémentaires → Sol (une ligne bien droite, à plat) → 180°
⚠️ Piège : 75° et 105° font 180°, donc supplémentaires, PAS complémentaires !
Bilan de la notion
Complémentaires = 90° ensemble. Supplémentaires = 180° ensemble. Un même angle a un complémentaire ET un supplémentaire différents.
Entraînement
✖ Adjacents et opposés par le sommet
Un carrefour
Deux routes se croisent
Deux routes se croisent, formant 4 « coins ». L'un de ces coins mesure 60°. À ton avis, le coin qui lui fait exactement face, de l'autre côté du carrefour, mesure :
Deux droites sécantes forment automatiquement quatre angles autour du point d'intersection. Les angles α et γ se font face → opposés par le sommet. Les angles α et β sont côte à côte, sur la même droite → adjacents.
À savoir par cœurAngles adjacents : ils ont un sommet commun ET un côté commun, en étant de part et d'autre de ce côté commun.
Angles opposés par le sommet : ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre (ils se font face). Ils sont toujours de même mesure.
Construis toi-même la preuve : pourquoi α et γ sont-ils forcément égaux ?
Exemple : α = 115° (donné)
β (adjacent à α, sur une même droite) = 180 − 115 = 65°
γ (opposé par le sommet à α) = 115°
δ (opposé par le sommet à β) = 65°
Vérification : 115 + 65 + 115 + 65 = 360° ✓
⚠️ « Opposés par le sommet » = en face, pas côte à côte ! Pense à la lettre X.
Bilan de la notion
Adjacents = un sommet et un côté communs. Quand leurs deux autres côtés forment une droite, ils sont supplémentaires (180° ensemble). Opposés par le sommet (en face) → toujours égaux.
Entraînement
✊ Alternes-internes
Une sécante qui coupe deux droites
Voici deux droites (d) et (d') — pas forcément parallèles — coupées par une troisième droite, la sécante (Δ).
α et β sont de part et d'autre de la sécante (Δ), et tous les deux à l'intérieur de la bande formée par (d) et (d').
Une position, avant toute propriété
Sur cette figure, (d) et (d') ne sont PAS parallèles. À ton avis, peut-on quand même dire que α et β sont « alternes-internes » ?
VocabulaireAlterne : les deux angles sont de part et d'autre de la sécante. Interne : ils sont à l'intérieur de la bande définie par (d) et (d').
Pour les repérer, cherche la lettre Z dans la figure.
⚠️ Attention, nuance importante : une configuration alterne-interne n'implique PAS que les droites sont parallèles. Le parallélisme est un cas particulier : quand (d) et (d') sont parallèles, les angles alternes-internes ont en plus la même mesure. Sans parallélisme, ils existent quand même, mais rien ne les oblige à être égaux.
Et maintenant, avec des rails parallèles
Deux rails de chemin de fer parallèles sont coupés par une traverse. À ton avis, les deux angles alternes-internes ont-ils, cette fois, la même mesure ?
À savoir par cœur
Si (d) // (d'), alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.
Réciproque : si deux angles alternes-internes sont de même mesure, alors (d) // (d').
D'où ça vient
On peut le démontrer avec la symétrie centrale (vue dans un autre chapitre). La sécante coupe (d) en A et (d') en B. Dans la symétrie de centre le milieu de [AB], A et B s'échangent, la sécante est envoyée sur elle-même, et la droite (d) est envoyée sur la droite parallèle à (d) passant par B : c'est exactement (d'). Cette symétrie échange donc les deux angles alternes-internes, et deux figures superposables par symétrie centrale ont forcément la même mesure d'angle.
💡 Bonus : si (d) // (d') et qu'une sécante (s) est perpendiculaire à (d), alors (s) est aussi perpendiculaire à (d').
Le canevas de rédaction à suivre, à chaque fois :
(d) // (d'). α = 58° (zone intérieure, à gauche de Δ). β est l'angle alterne-interne de α.
1) Les angles α et β sont alternes-internes, formés par (d), (d') et la sécante (Δ).
2) Or (d) et (d') sont parallèles.
3) Or si deux angles alternes-internes sont formés par deux droites parallèles, alors ils sont de même mesure.
4) Donc β = α = 58°.
Bilan de la notion
Alterne = de part et d'autre de la sécante. Interne = dans la bande. Une position n'est pas une propriété : seule la présence de deux droites PARALLÈLES rend les alternes-internes de même mesure (et réciproquement).
Entraînement
👆 Correspondants
Deux fenêtres, un même rayon de soleil
Le même côté, deux étages différents
Au 2e étage et au 5e étage d'un immeuble, un rayon de soleil entre par deux fenêtres, exactement dans la même direction — « ils regardent dans la même direction ». Ces deux angles sont-ils, à ton avis, du même côté de la sécante ou de part et d'autre ?
Vocabulaire
Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, mais avec des sommets différents — l'un dans la bande, l'autre en dehors. Pour les repérer, cherche la lettre F dans la figure.
💬 Récap :
Alternes-internes
Correspondants
Par rapport à (Δ)
De part et d'autre
Du même côté
Lettre souvenir
Z
F
Si (d)//(d') ?
Égaux
Égaux
À savoir par cœur
Si (d) // (d'), alors deux angles correspondants sont de même mesure.
Réciproque : si deux angles correspondants sont de même mesure, alors (d) // (d').
Le même canevas de rédaction, avec d'autres valeurs :
(d) // (d'). γ = 22°. δ est l'angle correspondant de γ.
1) Les angles γ et δ sont correspondants, formés par (d), (d') et la sécante (Δ).
2) Or (d) et (d') sont parallèles.
3) Or si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles, alors ils sont de même mesure.
4) Donc δ = γ = 22°.
Bilan de la notion
Correspondants = même côté de la sécante, sommets différents. Comme pour les alternes-internes, c'est le parallélisme qui rend leur mesure égale (et réciproquement).
Entraînement
△ Somme des angles d'un triangle
Le mystère des triangles
Toujours le même nombre ?
Dessine n'importe quel triangle, découpe ses trois coins, place-les côte à côte. À ton avis, la somme des trois angles d'un triangle est-elle toujours la même, quel que soit le triangle ?
À savoir par cœur
Dans tout triangle ABC : Â + B̂ + Ĉ = 180°
Deux angles mesurent 60° et 80°. Le troisième ?
 + B̂ + Ĉ = 180°
donc 60 + 80 + Ĉ = 180
donc Ĉ = 180 − 140 = 40°
💡 Cas particulier — triangle rectangle : les deux angles non-droits font 90° ensemble (complémentaires !). 💡 Cas particulier — triangle isocèle : deux côtés égaux → les angles à la base sont égaux.
Isocèle, angle au sommet = 40°. Angles à la base ?
B̂ = Ĉ (isocèle)
40 + 2 × B̂ = 180
B̂ = 70°
Une figure est-elle possible ?
Un élève affirme qu'un triangle a des angles de 90°, 95° et 30°. Cette figure est-elle possible ?
⚠️ Avant de conclure, vérifie toujours que la somme annoncée fait bien 180°, sinon la figure n'existe pas.
Bilan de la notion
Somme des angles d'un triangle = toujours 180°. Rectangle → 2 angles complémentaires. Isocèle → 2 angles à la base égaux. Une somme différente de 180° signale une figure impossible.
Entraînement
🧠 Première démonstration
Prouver, pas juste vérifier
Comment être sûr, pour TOUS les triangles ?
Mesurer beaucoup de triangles différents montre que la somme fait toujours 180°, mais ça ne PROUVE rien pour un triangle qu'on n'a pas mesuré. Comment un mathématicien peut-il le prouver, une fois pour toutes ?
On trace par B une parallèle à (AC). Elle forme 3 angles côte à côte : 1, B̂ et 2. Complète la démonstration :
À savoir par cœur
La somme des angles d'un triangle vaut 180° : cette preuve se fait en traçant, par un sommet, une parallèle au côté opposé, puis en appliquant deux fois la propriété des alternes-internes.
Bilan de la notion
On ne « vérifie » plus, on démontre : la propriété des alternes-internes, appliquée deux fois, reconstitue exactement un angle plat = 180°.
🔧 Méthode à suivre
Le conseil du grand frère
Sur une figure avec plusieurs droites, je ne trouve jamais un angle « au hasard » : je le déduis, en cascade, à partir de ce que je connais déjà.
Le canevas à suivre à chaque angle
Nommer la position exacte des deux angles (opposés par le sommet, adjacents, alternes-internes, correspondants).
Donner la donnée qui s'applique (parallélisme, ou rien à vérifier pour opposés/adjacents).
Invoquer la propriété au conditionnel (« Or si… alors… »).
Conclure avec la mesure trouvée — puis repartir de ce résultat pour l'angle suivant.
Sur cette figure, (AB) // (CD), et la sécante (EF) coupe (AB) en H et (CD) en G. L'angle CGH mesure 125°. Retrouve, en cascade, GHB puis AHE :
Une fois ce canevas bien en main, entraîne-toi sur des figures variées.
2. Complémentaires/supplémentaires — somme 90° ou 180°.
3. Adjacents/opposés par le sommet — deux adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont supplémentaires ; opposés par le sommet toujours égaux.
4-5. Alternes-internes et correspondants — une position ne devient une égalité que si les droites sont parallèles (et réciproquement).
6. Somme des angles d'un triangle — toujours 180°, avec les cas rectangle et isocèle.
7. Première démonstration — la somme du triangle se prouve avec une parallèle et les alternes-internes.
Le canevas de rédaction, à retenir pour tout le chapitre
1) Nommer la position des angles. 2) Donner la donnée du parallélisme. 3) Invoquer la propriété (« Or si… alors… »). 4) Conclure avec la mesure trouvée.
📝 Je rédige seul
Exercice — Sur la feuille numérique
Deux droites parallèles (d) et (d') sont coupées par une sécante. Un angle de la zone intérieure mesure 65°.
1. Calcule l'angle alterne-interne. Rédige les 4 temps du canevas (nommer, donnée, propriété, conclusion). 2. Calcule l'angle adjacent sur la droite (d). Rédige les 4 temps. 3. Un triangle a deux angles qui mesurent 65° et 40°. Calcule son troisième angle, en écrivant le calcul en colonne.
α est l'angle donné. β est l'angle de la question 1, γ celui de la question 2.
Le triangle de la question 3.
📷 Maintenant, refais cet exercice sur une vraie feuille et montre ta copie :
🎉 Parcours terminé !
Les résultats sont enregistrés.
📝 Contrôle d'entraînement
Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.
Comment veux-tu le faire ?
Choisis ensuite les notions à inclure, puis génère ton contrôle.
Choisis d'abord si tu veux faire ce contrôle dans l'appli ou sur une feuille.
Coche au moins une notion pour générer ton contrôle.
📷 Refais ce contrôle sur une vraie feuille et montre ta copie :