🖰🪟

Aires & Volumes
3ème — spécial brevet

Imagine : il faut repeindre une pièce, remplir un réservoir, ou choisir le récipient le plus grand pour le même prix. Le brevet adore ce genre de problème — et toi aussi, bientôt.

🎯 S'entraîner geste par geste
🎯 Ce que tu vas consolider ici

Tu connais déjà les aires simples, le pavé, le prisme, le cylindre — et tu viens de découvrir (ou tu vas découvrir) la pyramide, le cône et la boule dans le chapitre « Espace et solides ».

Ici, on rassemble tout pour le jour du brevet : calculer une aire composée, retrouver n'importe quelle formule de volume sans hésiter, distinguer aire latérale et aire totale, convertir sans erreur, et rédiger un vrai problème du brevet du début à la fin.
Tu te sens perdu ? Commence par les petits gestes : reconnaître le solide, trouver la base et la hauteur, une chose à la fois.
Les petits gestes d'Aires et volumes →

📑 Les aires des figures planes

Avant de recalculer — étape 1 sur 4
🎯 Un peintre doit repeindre deux murs. Le mur A est un rectangle de 4 m sur 3 m. Le mur B est un triangle de base 6 m et de hauteur 4 m.

Sans calculer, à vue d'œil : quel mur a la plus grande surface à peindre ?
Mur A Mur B
🧠 Ton avis d'abord
La leçon — étape 2 sur 4
Le rectangle : l'aire, c'est le nombre de petits carrés qu'il contient. On les compte par lignes × colonnes.

Le triangle, lui, c'est toujours la moitié d'un rectangle : celui qui l'entoure exactement (même base, même hauteur).
h base
Rectangle : L × l  •  Triangle : (base × h) ÷ 2
⭐ À savoir par cœur
Aire du rectangle = Longueur × largeur
Aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2 — la hauteur est toujours perpendiculaire à la base.
Mur A (rectangle 4 m × 3 m) et mur B (triangle base 6 m, hauteur 4 m)
Aire A = 4 × 3 = 12 m²
Aire B = (6 × 4) ÷ 2 = 12 m²
Les deux murs ont la même surface !
La leçon — étape 3 sur 4
Le parallélogramme : si on coupe un triangle sur un côté et qu'on le recolle de l'autre, on obtient un rectangle de même base et même hauteur. D'où sa formule, presque identique à celle du rectangle.

Le trapèze : il a deux côtés parallèles, la grande base et la petite base — on fait leur moyenne avant de multiplier par la hauteur.
base grande base petite base
⭐ À savoir par cœur
Aire du parallélogramme = base × hauteur
Aire du trapèze = (grande base + petite base) × hauteur ÷ 2
Bilan de la notion — étape 4 sur 4
• Rectangle : L × l  •  Triangle : (b × h) ÷ 2
• Parallélogramme : b × h  •  Trapèze : (B + b) × h ÷ 2
• Disque : π × r² (notion suivante)
⚠️ La hauteur d'un triangle ou d'un parallélogramme n'est presque jamais un côté écrit sur la figure — c'est la perpendiculaire à la base, souvent en pointillés.
🎯 Essaie d'abord !
Un trapèze a une grande base de 10 cm, une petite base de 6 cm et une hauteur de 5 cm. Quelle est son aire ?

⚫ Calculer l'aire du disque

La leçon — étape 1 sur 3
⚫ Un disque, c'est quoi exactement ?

Le disque est la surface à l'intérieur d'un cercle. Le cercle, lui, c'est juste le bord.

On repère deux longueurs importantes :
• le rayon r — du centre au bord.
• le diamètre d = 2r — d'un bord à l'autre en passant par le centre.
r d = 2r O

Le diamètre vaut le double du rayon : d = 2r. Donc r = d ÷ 2.

La leçon — étape 2 sur 3
π Le nombre pi est une constante universelle ≈ 3,14159…

Il exprime le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. On l'écrit π et on utilise la calculatrice pour avoir de la précision.
Aire du disque = π × r²
⭐ À savoir par cœur
Aire du disque de rayon r : π × r²
Si on connaît le diamètre d : d'abord r = d ÷ 2, puis π × r².
Aire d'un disque de rayon 5 cm
A = π × 5²
A = π × 25
A ≈ 78,54 cm²
La leçon — étape 3 sur 3
Les deux pièges classiques :

⚠️ Piège 1 : confondre rayon et diamètre. Le rayon, c'est la moitié du diamètre.

⚠️ Piège 2 : écrire π × 2r au lieu de π × r². Le r est élevé au carré (pas le tout).
❗ Rappel des unités : si r est en cm, l'aire est en cm². Si r est en m, l'aire est en m². Les unités d'aire se mettent toujours au carré.
🎯 Essaie d'abord !
Un disque a un diamètre de 10 cm. Quelle formule utilise-t-on pour son aire ?

🧩 Les figures composées

Avant la méthode — étape 1 sur 3
🎯 Voici le plan d'une terrasse en forme de L. On veut calculer son aire, mais ce n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un disque tout seul.

À ton avis, comment pourrait-on s'y prendre pour calculer son aire ?
8 m 6 m 4 m 3 m 2 m
🧠 Ton idée
La leçon — étape 2 sur 3
Deux méthodes possibles :

• Découper la figure en formes simples (rectangles, triangles…), puis additionner leurs aires.
• Compléter la figure pour obtenir une forme simple, calculer son aire, puis soustraire le morceau ajouté en trop.
⭐ À savoir par cœur
Une figure composée = des formes simples qu'on additionne (découpage) ou qu'on soustrait (complétée puis retirée). Jamais de formule directe.
Terrasse en L (rectangle 8×6 moins un coin 3×2)
Grand rectangle : 8 × 6 = 48 m²
Coin manquant : 3 × 2 = 6 m²
Aire de la terrasse = 48 − 6 = 42 m²
Anneau = grand disque − petit disque
Bilan de la notion — étape 3 sur 3
⚠️ Piège classique : oublier de vérifier que les longueurs utilisées correspondent bien aux VRAIS côtés des formes découpées (pas toujours données directement sur la figure — parfois à déduire par différence).
🎯 Essaie d'abord !
Un carré de 10 cm de côté contient un disque de rayon 4 cm découpé dedans. Comment calcule-t-on l'aire qui reste ?

🪟 Calculer un volume de cylindre

La leçon — étape 1 sur 3
🪟 Un cylindre droit, c'est comme une boîte de conserve ou un tube : deux disques identiques (les bases), reliés par une surface latérale droite.

On repère :
• le rayon r de la base.
• la hauteur h du cylindre.
r h
La leçon — étape 2 sur 3
Idée géométrique : un cylindre, c'est comme une pile de disques identiques les uns sur les autres.

Volume = aire de la base × hauteur.
L'aire de la base (un disque de rayon r) vaut πr².
Donc : Volume = π × r² × h.
V = π × r² × h
⭐ À savoir par cœur
Volume du cylindre de rayon r et de hauteur h :
V = π × r² × h
Cylindre : r = 3 cm, h = 10 cm
V = π × 3² × 10
V = π × 9 × 10
V = 90π
V ≈ 282,74 cm³
La leçon — étape 3 sur 3

Visualise : on remplit un cube de 1 m d'arête avec des petits cubes de 1 dm :

0 cubes de 1 dm
🎯 Essaie d'abord !
Un cylindre a un rayon de 4 cm et une hauteur de 5 cm. Quel est son volume (valeur exacte) ?

🏗 Calculer un volume de prisme

La leçon — étape 1 sur 3
🏗 Un prisme droit, c'est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, et dont les faces latérales sont des rectangles.

Exemples : barre de Toblerone (triangle), piscine rectangulaire, radiateur.
h base
La leçon — étape 2 sur 3
La même idée que pour le cylindre : on empile des tranches identiques.

Volume = aire de la base × hauteur
La difficulté : calculer l'aire de la base (qui peut être un triangle, un rectangle, un trapèze…).
Vprisme = Airebase × h
⭐ À savoir par cœur
Volume du prisme droit :
V = Aire de la base × hauteur
La hauteur, c'est la longueur perpendiculaire aux bases (pas un côté incliné).
Prisme à base triangulaire : base = 6 cm, hauteur du triangle = 4 cm, hauteur du prisme = 10 cm
Aire de la base = 6 × 42 = 12 cm²
V = 12 × 10 = 120 cm³
La leçon — étape 3 sur 3
Identifier la bonne hauteur :

Sur une figure de prisme triangulaire, il y a deux types de hauteur :
• La hauteur du triangle (pour calculer l'aire de la base).
• La hauteur du prisme (la longueur perpendiculaire aux deux bases).

Ne pas les confondre !
❗ Le volume s'exprime en cm³ ou m³ ou dm³. Vérifier les unités avant de calculer.
🎯 Essaie d'abord !
Un prisme à base rectangulaire mesure 5 cm × 3 cm pour la base, et 8 cm de hauteur. Quel est son volume ?

🔄 Toutes les formules de volume

Avant la fiche — étape 1 sur 3
🎯 Tu as déjà rencontré la pyramide et le cône dans le chapitre « Espace et solides » — ce sont des solides à pointe. Le prisme et le cylindre, eux, n'ont pas de pointe : ce sont des solides à deux bases identiques.

À ton avis, une pyramide et un prisme qui ont exactement la même base et la même hauteur — lequel des deux a le plus grand volume ?
Prisme Pyramide
🧠 Ton avis
La leçon — étape 2 sur 3
⚠️ Le point le plus important à retenir : pour les solides à pointe (pyramide, cône), on retrouve la même idée que pour le prisme et le cylindre (aire de la base × hauteur) — mais on divise par 3.
Vpyramide/cône = (Aire base × h) ÷ 3
La boule suit une formule à part, qui ne dépend que du rayon R :
Vboule = 43 × π × R³
Boule de rayon 5 cm
V = 43 × π × 5³
V = 43 × π × 125 = 5003π
V ≈ 523,6 cm³
Bilan de la notion — la fiche à connaître par cœur
⭐ Les 6 formules de volume
• Pavé droit / cube : L × l × h
• Prisme droit : Aire base × h
• Cylindre : π × r² × h
• Pyramide : (Aire base × h) ÷ 3
• Cône : (π × r² × h) ÷ 3
• Boule : 43 × π × r³
🔄 Bonus brevet — agrandissement/réduction : si toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par un nombre k, alors les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
Exemple : un cube de volume 8 cm³ est agrandi avec k = 2. Son nouveau volume est 8 × 2³ = 8 × 8 = 64 cm³.
🎯 Essaie d'abord !
Un cône a pour aire de base 12 cm² et pour hauteur 9 cm. Quel est son volume ?

🌐 Aire latérale et aire totale

Avant la leçon — étape 1 sur 3
🎯 Il faut repeindre une pièce cylindrique (une tour de château !) : le mur qui fait le tour, mais pas le sol ni le plafond.

Si on déplie ce mur cylindrique à plat, à ton avis, quelle forme obtient-on ?
→ rectangle !
🧠 Ton avis
La leçon — étape 2 sur 3
L'aire latérale, c'est l'aire de la surface qui « fait le tour » (sans les bases). L'aire totale, c'est l'aire latérale + les bases.

Pour le cylindre déplié : la largeur du rectangle, c'est la hauteur h. La longueur du rectangle, c'est le tour du cercle : le périmètre du disque, soit 2 × π × r.
Alatérale = 2 × π × r × h
⭐ À savoir par cœur
Cylindre : Alatérale = 2πr × h  •  Atotale = Alatérale + 2 × (πr²)
Pavé droit / prisme droit : Alatérale = périmètre de la base × h  •  Atotale = Alatérale + 2 × Aire de la base
Cylindre : r = 3 cm, h = 8 cm — aire totale
Alatérale = 2 × π × 3 × 8 = 48π cm²
2 bases : 2 × π × 3² = 18π cm²
Atotale = 48π + 18π = 66π ≈ 207,3 cm²
Bilan de la notion — étape 3 sur 3
⚠️ Piège du problème « peinture » : lis bien l'énoncé. On peint parfois seulement les murs (aire latérale, sans le sol ni le plafond), parfois toute la surface (aire totale). Une seule phrase de l'énoncé change tout le calcul.
🎯 Essaie d'abord !
Un pavé droit mesure 4 m × 3 m × 2,5 m (hauteur). On veut peindre seulement les 4 murs (pas le sol ni le plafond). Quelle formule utiliser ?

🔄 Convertir des unités

La leçon — étape 1 sur 3
🪟 Pourquoi 3 colonnes par unité pour les volumes ?

Un cube de 1 m d'arête : on le remplit de petits cubes de 1 dm. Une ligne = 10, un étage = 100, 10 étages = 1000.
Donc 1 m³ = 1 000 dm³ — et chaque changement d'unité multiplie ou divise par 1 000.
0 cube
La leçon — étape 2 sur 3
💧 Le litre, ce n'est pas une nouvelle unité :

Le litre (L) est exactement le volume d'un cube de 1 dm d'arête.
Il occupe la colonne du dm³ dans le tableau.
⭐ À savoir par cœur
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
1 m³ = 1 000 L

Maintenant manipule le tableau de conversion :

Écris un nombre dans le tableau, un chiffre par case, puis déplace la virgule vers l'unité d'arrivée.

💧 Colonne dm³ = le litre (L) ; colonne cm³ = le millilitre (mL).

La leçon — étape 3 sur 4
Méthode en 3 étapes pour convertir :

① Je repère l'unité de départ dans le tableau.
② J'écris mon nombre (un chiffre par case, le chiffre des unités dans la bonne colonne).
③ Je déplace la virgule sous l'unité d'arrivée et je lis le résultat.
Convertir 2,5 dm³ en cm³
2,5 dm³ → déplacer la virgule de 3 rangs vers la droite
= 2 500 cm³
Vérification : 2,5 dm³ = 2,5 L = 2 500 mL = 2 500 cm³ ✅
🎯 Essaie d'abord !
3,5 dm³ = combien de litres ?
Bilan de la notion — étape 4 sur 4
📑 Attention, les aires ne se convertissent pas comme les volumes !

Une aire, c'est une surface à 2 dimensions (longueur × largeur) : chaque unité vaut donc 2 colonnes dans le tableau (pas 3 comme pour les volumes).
⭐ À savoir par cœur
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² — 2 colonnes par unité (au lieu de 3 pour les volumes).

2,3 m² = 230 dm² = 23 000 cm² — vérifie en déplaçant la virgule de 2 rangs par unité.

🎯 Essaie d'abord !
4,2 m² = combien de cm² ?

🧠 Résoudre un problème

Bilan général du chapitre
• Aires planes : rectangle L×l, triangle (b×h)÷2, disque πr².
• Figure composée : on découpe ou on complète, puis on additionne/soustrait.
• Volumes : pavé/prisme/cylindre = Aire base × h  •  pyramide/cône = ÷ 3 en plus.
• Aire latérale = « le tour »  •  aire totale = latérale + les bases.
• 1 dm³ = 1 L   1 m² = 10 000 cm².
🎯 Vérifie tes bases !
Un cône et un cylindre ont la même base et la même hauteur. Lequel a le plus grand volume ?
La leçon — étape 2 sur 2
Comment attaquer un problème mixte aire/volume :

① Identifier la ou les figures géométriques en jeu.
② Repérer les données utiles : rayon ? diamètre ? hauteur ? Et les données inutiles, à ignorer.
③ Choisir la bonne formule (aire simple, composée, latérale/totale, ou volume).
④ Convertir les unités si besoin avant de calculer.
⑤ Donner le résultat avec l'unité et une phrase de réponse.
Peinture : une chambre rectangulaire de 5 m sur 4 m, hauteur sous plafond 2,5 m. On peint les 4 murs (pas le sol, pas le plafond). Un pot de peinture couvre 10 m². Combien de pots faut-il ?
Périmètre de la pièce = 2 × (5 + 4) = 18 m
Aire des murs = 18 × 2,5 = 45 m²
Nombre de pots = 45 ÷ 10 = 4,5 → il faut 5 pots (on arrondit toujours au pot supérieur).
Réservoir : un réservoir cylindrique a un diamètre de 60 cm et une hauteur de 1,2 m. Combien de litres peut-il contenir ?
r = 60 ÷ 2 = 30 cm = 0,3 m   h = 1,2 m
V = π × 0,3² × 1,2 = π × 0,09 × 1,2
V ≈ 0,3393 m³ = 339,3 L
Le réservoir peut contenir environ 339 L.

⚠️ Toujours convertir dans la même unité AVANT de calculer — et penser à arrondir dans le bon sens selon la question (au pot supérieur pour de la peinture, jamais l'inverse).

☕ Méthode à suivre

Le conseil du grand frère
☕ Ton grand frère te file ses tuyaux avant le brevet :

Un problème de géométrie, ça se lit deux fois, ça se traduit en calcul avec la bonne formule, et ça se rédige proprement avec l'unité à chaque ligne.

Le premier exercice, je te guide pas à pas. Le deuxième, je t'aide un peu. Le troisième, tu gères presque seul. Comme au brevet !
Exercice 1 — guidé ★☆☆
7 cm
Calculer l'aire du disque de rayon 7 cm. Donner le résultat arrondi au dixième de cm².
💡 Rappelle-toi la formule de l'aire du disque. Quel est le rayon ici ?

Entraînement

✏️ Brouillon (facultatif)

📝 Je rédige seul

Je prépare le brevet

3 vrais sujets de brevet, du plus guidé jusqu'à la rédaction sur ton cahier.

📝 Contrôle d'entraînement

Un vrai petit contrôle, sur ce chapitre : tu rédiges, comme sur une copie — pas de clic.

Comment veux-tu le faire ?

Choisis ensuite les problèmes à inclure, puis génère ton contrôle.

Une remarque à faire ?
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